運用拉格朗日中值定理逆向巧解數(shù)學(xué)問題

孫娜

摘 要：該文主要研究了拉格朗日中值定理在數(shù)學(xué)問題中的巧妙應(yīng)用。文章首先對拉格朗日中值定理進行證明，對拉格朗日中值定理的主要內(nèi)容進行研究;其次，結(jié)合逆向思維，對拉格朗日中值定理處理極限問題、不等式問題、證明問題、函數(shù)問題等的方法進行研究，望為解決高等數(shù)學(xué)問題提供一定的參考。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué) ?拉格朗日中值定理 ?逆向思維 ?解題策略

中圖分類號：O178 ? ? ?文獻標(biāo)識碼：A ? ? ? ?文章編號：1674-098X（2015）10（c）-0255-02

拉格朗日中值定理作為高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，是溝通導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值之間的橋梁，是利用導(dǎo)數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì)的工具。只有把握拉格朗日中值定理的相關(guān)內(nèi)容，合理運用中值定理，將其與數(shù)學(xué)問題緊密結(jié)合在一起，才能夠快速、正確解題，找到解題的捷徑。

1 拉格朗日中值定理及其證明

眾所周知，拉格朗日中值定理是高等數(shù)學(xué)中值定理中最重要的一個，能夠有效處理極限問題、數(shù)列問題、函數(shù)問題及證明問題，在高等數(shù)學(xué)中具有非常廣泛的應(yīng)用，已經(jīng)成為高等數(shù)學(xué)解題的重要路徑。

1.1 拉格朗日中值定理的主要內(nèi)容

若函數(shù)f（x）滿足以下條件：（1）f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù);（2）f（x）在開區(qū)間（a，b）上可導(dǎo)，則函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)至少存在一點ξ，使得。除此之外，拉格朗日中值定理還可以表達成或。

1.2 拉格朗日中值定理的證明

在對拉格朗日中值定理進行證明的過程中可以適當(dāng)利用羅爾中值定理，將其作為橋介，得出中值定理的相關(guān)內(nèi)容，其具體證明如下：

依照拉格朗日中值定理形式做輔助函數(shù)。

當(dāng)依照羅爾中值定理證明的過程中輔助函數(shù)必須滿足F（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù);F（x）在開區(qū)間（a，b）上可導(dǎo)，且F（a）=F（b）。滿足以上條件后，由羅爾中值定理可知：

函數(shù)中至少存在一點ξ（a<ξ

除此之外，證明的過程中還可以選取其他方法構(gòu)建輔助函數(shù)，通過羅爾中值定理對其進行證明，如直接構(gòu)建輔助函數(shù)，同理可知輔助函數(shù)必須滿足在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù);在開區(qū)間（a，b）上可導(dǎo)，且==0。滿足以上條件后，由羅爾中值定理可知：

函數(shù)中至少存在一點ξ（a<ξ

2 逆向思維下拉格朗日中值定理的解題策略

拉格朗日中值定理解數(shù)學(xué)問題的過程中要把握好定理的限定條件，在上述基礎(chǔ)上逆向考慮定理與題目之間的關(guān)系，從定理出發(fā)構(gòu)建與題目相關(guān)的函數(shù)，從而準(zhǔn)確求解，快速得到相應(yīng)的答案。

2.1 極限問題的求解

求解極限問題的方法非常多，如，夾逼定理、洛必達法則、泰勒公式等。這些方法在求解極限問題時操作較為簡單，思路非常清晰，解題難度較小，求解效果非常好。但對于一些較為復(fù)雜的極限問題，運用上述求解方法并不能夠快速、準(zhǔn)確解題。在上述狀況下，可以適當(dāng)選取拉格朗日中值定理，通過拉格朗日中值定理的結(jié)論將某些差式的極限轉(zhuǎn)化為求積式型的極限，對題目進行轉(zhuǎn)變，從而達到簡化。

運用拉格朗日中值定理求極限的時候要把握好拉格朗日中值定理與極限問題之間的關(guān)聯(lián)，要尋找兩者之間的連接點，做好式子的簡化，這樣才能夠快速解題。除此之外，求解過程中還要保證極限式符合拉格朗日中值定理的限定條件，防止解題失誤。

2.2 不等式問題的求解

不等式證明的過程中常通過構(gòu)建函數(shù)，尋找函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系進行求解，確定在某限定條件下函數(shù)成立，從而證明不等式。這種題型使用初等函數(shù)解法一般不能夠求解出來，但直接運用拉格朗日中值定理后非常簡單，能夠快速求解。

拉格朗日中值定理求解不等式或證明不等式時非常簡單，只需要依照定理構(gòu)建符合拉格朗日中值定理條件的函數(shù)F（x）即可，然后依照中值定理的相應(yīng)內(nèi)容進行求證。

2.3 證明問題的求解

拉格朗日中值定理證明問題在當(dāng)前的高等數(shù)學(xué)中非常常見。在對上述證明問題進行處理的過程中，要把握好拉格朗日中值定理的基本內(nèi)容，要學(xué)會用逆向思維從題目回歸到定理，由題目尋找與定理相關(guān)的內(nèi)容，追本溯源，從而將題目與拉格朗日中值定理聯(lián)系在一起，逆向?qū)ふ易C明路徑，降低解題難度。

2.4 函數(shù)問題的求解

拉格朗日中值定理是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間連接的重要內(nèi)容。該定理將函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合在一起，對函數(shù)的性質(zhì)進行了深入研究，可以全面分析函數(shù)在區(qū)間上的符號、單調(diào)性、一直連續(xù)性、凹凸性等，對函數(shù)整體和局部的把握具有至關(guān)重要的意義，是求解函數(shù)問題的重要方法。

函數(shù)問題求解的過程中要做好逆向分析，從拉格朗日中值定理及其求證出發(fā)對其與函數(shù)性質(zhì)求證之間的關(guān)系進行分析，找出兩者的一致性。這樣才能夠快速、準(zhǔn)確求證，對函數(shù)問題進行簡化，達到事半功倍的效果。但上述求證的過程中一定要注意輔助函數(shù)的構(gòu)造，尋找最直接、最有效的輔助函數(shù)。

3 結(jié)語

拉格朗日中值定理在當(dāng)前數(shù)學(xué)問題處理中具有非常廣泛的應(yīng)用效益，已經(jīng)成為高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容。在對上述定理進行把握的過程中，要運用好逆向思維，從定理本身出發(fā)對解題思路進行分析，徐徐漸進，將定理與題目結(jié)合在一起，靈活運用，找到合適的解題路徑。只有這樣，才能夠快速找到拉格朗日中值定理與題目之間的關(guān)聯(lián)，抓住本質(zhì)，準(zhǔn)確解題。

參考文獻

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