用基本圖形，回歸本質(zhì)

康聰

一、問題呈現(xiàn)

（2016·河北）如圖所示，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，若OP=2，點M，N分別在OA，OB上，且△PMN為等邊三角形，則滿足上述條件的△PMN有（）.

A.1個

B.2個

C.3個

D.3個以上

二優(yōu)點解讀

（一）素材源于教材

本題以線段、角的軸對稱性為背景，從特殊到一般的方法，找到點P的運動規(guī)律.對教材習(xí)題進行改編，文字簡約，圖形背景熟悉，蘊含著數(shù)學(xué)核心知識，要求學(xué)生用動態(tài)的方法分析圖形中的相互關(guān)系.在知識點上，主要考查了對稱、全等、等邊三角形等數(shù)學(xué)核心內(nèi)容；在能力上，考查學(xué)生在動態(tài)背景下處理幾何關(guān)系的認識能力；在思想上，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的思想.試題的呈現(xiàn)方式自然、簡潔，有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的思考.

（二）教材呈現(xiàn)

本題源于蘇教版八年級上學(xué)期第二章“軸對稱圖形”的課后實驗操作：

畫∠AOB=90°，并畫∠AOB的平分線OC.

（1）把三角尺的直角頂點落在OC的任意一點P上，并使三角尺的兩條直角邊分別與OA，OB垂直，垂足分別為E，F(xiàn)（圖①）.度量PE，PF的長度，這兩條線段相等嗎？

圖①

圖②

（2）把三角尺繞點P旋轉(zhuǎn)，三角尺的兩條直角邊分別交OA，OB于點E，F(xiàn)（圖②），PE與PF相等嗎？

（三）關(guān)注過程，經(jīng)驗積累中

本題以常見的圖形對稱性為基本素材，將教材上通過三角板的頂點在直角的平分線上旋轉(zhuǎn)后與角兩邊形成線段長的大小的比較，運用類比的思想，巧妙地構(gòu)造出當(dāng)點在120°的角平分線上時，與角兩邊上的點會形成多少個等邊三角形的命題方向，從位置關(guān)系到數(shù)量關(guān)系的探究，解決問題的方法在延續(xù)中變化.

（四）解題思路及拓展

教材中，當(dāng)三角板的頂點繞點P旋轉(zhuǎn)后，可通過點P向角兩邊作雙垂線段，利用全等，得到PE=PF.而本題中，先找到等邊三角形，可過點P向角兩邊作雙垂線段，垂足分別為M，N，連接MN，可形成一個等邊三角形，再將此等邊三角形繞點P進行旋轉(zhuǎn)，通過全等和等邊三角形的判定，得到無數(shù)個等邊三角形.

拓展1如圖所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中點，點E在AC上，點F在BC上，且AE=CF.

求證：（1）DE=DF；（2）DE⊥DF.

設(shè)計意圖：本題以等腰直角三角形為圖形框架，利用圖形本身的軸對稱性質(zhì)，D點所處的特殊位置，利用“三線合一”可知點D在∠C的平分線上，從而向∠C的兩邊作雙垂線段，本題的思路以此打開.

拓展2已知，如圖所示，在正方形ABCD中，點E在對角線DB上，點F在CB的延長線上，且AE⊥EF.

求證：AE=EF.

設(shè)計意圖：本題以正方形為圖形框架，點E在正方形的對角線上，從而通過點E向∠B的兩邊作雙垂線段，利用AE⊥EF，找到特殊角，構(gòu)造全等三角形得證.

三、教學(xué)導(dǎo)向分析

（一）溯本求源，帶學(xué)生領(lǐng)悟概念的本質(zhì)內(nèi)涵

對教材中的題目進行改編，筆者以為它至少有兩大好處：一是可以引導(dǎo)教師努力鉆研課標(biāo)和教材，提高教師教學(xué)研究意識，有效防止用網(wǎng)絡(luò)資源代替自己思維的弊病.二是切實減輕學(xué)生過重的課業(yè)負擔(dān).

“數(shù)學(xué)課程不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括結(jié)果的形成與應(yīng)用的過程和蘊含的數(shù)學(xué)思想方法”.這意味著“過程”是數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的有機組成部分.教師在講解幾何圖形習(xí)題的過程中，給學(xué)生足夠的時間與空間，讓他們?nèi)ヌ骄?、去交流、去表達.

（二）知識與思想方法結(jié)合

數(shù)學(xué)中考評價的主要載體是試題.為此，以能力為立意、關(guān)注考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的試題逐漸成為近年來中考考題的高頻熱點.為此，為了深化學(xué)生的理解，數(shù)學(xué)教學(xué)理應(yīng)大力關(guān)注解題教學(xué)，而數(shù)學(xué)思想方法是其關(guān)鍵要素.數(shù)學(xué)思想蘊含在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括.教師要善于引導(dǎo)學(xué)生在積極參與教學(xué)活動的過程中，通過獨立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學(xué)思想.本題學(xué)生應(yīng)該體悟的數(shù)學(xué)思想方法：特殊到一般的思想，將幾何中旋轉(zhuǎn)、對稱、全等等方面進行融合，靈活解決幾何問題中的變式題目.

（三）變式探究的好素材

利用角平分線作雙垂線段的應(yīng)用非常廣泛，如何將這一背景賦予更多的知識應(yīng)該是教師的追求.縱觀近幾年的中考試題，體現(xiàn)《課標(biāo)》理念已是一個重要特征，本題就是一個很好的例證.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題，數(shù)學(xué)成績好往往體現(xiàn)在解題能力強，會解題則取決于對數(shù)學(xué)的認識和理解.《課標(biāo)》中提倡創(chuàng)新意識，指出創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù).為此，教師要善于挖掘教材、整合教材，創(chuàng)設(shè)開放性試題，一題多變，一題多解，讓學(xué)生在對開放性問題的探索中不斷增強發(fā)散思維、求異思維，鼓勵學(xué)生用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識解釋日常生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，培養(yǎng)學(xué)生思維的寬度和靈活度.