運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決初中數(shù)學(xué)中的行程問題

董建勛 劉君

“數(shù)缺形時(shí)少知覺，形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”這是著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生對(duì)數(shù)形結(jié)合的重要性和必要性的形象概括.相對(duì)于其他學(xué)科而言，數(shù)學(xué)教學(xué)模式始終都是較為單一、枯燥的.面對(duì)具有難度的數(shù)學(xué)題，學(xué)生更是覺得難以理解，以至于失去對(duì)數(shù)學(xué)的興趣.善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想就可以彌補(bǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)中這一短板，尤其是在解題上，將問題化抽象為具體，將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化.

一、學(xué)生學(xué)習(xí)“行程問題”的現(xiàn)狀

在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，普遍學(xué)生對(duì)于用方程思想解決實(shí)際應(yīng)用問題——行程問題總是困惑不解，無論是在一元一次方程，還是在二元一次方程板塊中，學(xué)生往往題設(shè)讀了好多遍，都不知道從什么地方入手，或者平時(shí)背下來的行程問題方面的公式不清楚該怎么用或者用哪一個(gè).教師講習(xí)題時(shí)能夠聽得懂，但是一旦拿過來新的練習(xí)題又不知道該怎么做.對(duì)于剛剛升入初中的七年級(jí)學(xué)生而言，一到行程問題就特別頭疼，甚至放棄，以至于學(xué)習(xí)二元一次方程時(shí)，仍然覺得行程問題是個(gè)難點(diǎn).

面對(duì)這樣的現(xiàn)象，注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，巧妙地把文字表述轉(zhuǎn)換成圖形描述，讓學(xué)生直觀具體地感受題目就尤為重要了.

二、數(shù)形結(jié)合思想在行程問題中的應(yīng)用分析

數(shù)形結(jié)合中的“數(shù)”是指抽象的數(shù)或式，“形”是指具體的圖形或圖像.針對(duì)初中階段學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)和心理特點(diǎn)，在具體的教學(xué)中，我們應(yīng)該首先引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察、分析問題，體會(huì)將抽象問題具體化的過程，從而內(nèi)化為學(xué)生較強(qiáng)的分析、解決問題的能力.接下來我將以一元一次方程為例去闡述數(shù)學(xué)結(jié)合思想在行程問題中的應(yīng)用分析.

我們先從最基礎(chǔ)的行程問題去引導(dǎo)學(xué)生如何操作.

例1A，B兩地相距480 km，一列慢車從A地開出，每小時(shí)行駛60 km，一列快車從B地開出，每小時(shí)行駛65 km，兩車同時(shí)開出.

（1）若相向而行，x小時(shí)后相遇，則可列方程為;

（2）若相背而行，x小時(shí)后兩車相距640 km，則可列方程為;

（3）同向而行，快車在慢車后，x小時(shí)后快車追上慢車，則可列方程為;

（4）同向而行，慢車在快車后，x小時(shí)后兩車相距640 km，則可列方程為.

第（1）問中，我們應(yīng)重在引導(dǎo)學(xué)生如何邊讀題，邊把題設(shè)中的已知條件轉(zhuǎn)化到圖形中去，如下圖.我們都知道中學(xué)方程這一板塊中，重在分析題設(shè)中的等量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生觀察所畫的圖形，在圖形中去分析等量關(guān)系.根據(jù)圖形可以清楚地判斷出慢車和快車的行駛路程，而這兩部分的和正好是A，B兩地相距的480 km，即S慢+S快=480 km.（1）問中已經(jīng)幫我們?cè)O(shè)好了未知數(shù)x，這樣我們就可以列出方程：60x+65x=480.

第（2）問中，我們可以先讓學(xué)生自己試著運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想去解決問題，然后再演示操作的過程，加深學(xué)生的印象.相比第（3）問，運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生了改變，這也是在行程問題中圖形化時(shí)需要注意的地方.如圖所示，可以分析出等量關(guān)系是慢車行駛的路程、快車行駛的路程和A，B兩地距離組成最后相距640 km，即S慢+480 km+S快=640 km.x h后兩車相距640 km，則可列方程為：60x+65x+480=640.

第（3）問中，在我們把A，B兩地相距480 km，慢車和快車出發(fā)時(shí)位置以及速度圖形畫出之后，開始引導(dǎo)學(xué)生分析運(yùn)動(dòng)方向，可以通過設(shè)置問題讓學(xué)生主動(dòng)思考，由學(xué)生回答出根據(jù)題設(shè)中的同向而行，快車在慢車后可以得出兩車向左邊行駛.確定好運(yùn)動(dòng)方向之后，可以小組討論找出等量關(guān)系并列出方程.討論之后，我們可以按步驟帶領(lǐng)學(xué)生再在黑板上演示一遍這道題目，共同找等量關(guān)系S慢+480 km=S快，列出方程60x+480=65x.

第（4）問，可以由學(xué)生自己獨(dú)立完成，同時(shí)讓3～4名同學(xué)到黑板前演示.

接下來我們可以設(shè)置一些類似于例1的題目由學(xué)生完成，鞏固數(shù)形結(jié)合思想在行程問題中的運(yùn)用，體會(huì)這種數(shù)學(xué)思想中的等價(jià)轉(zhuǎn)換、數(shù)形互補(bǔ).

三、重視方法，提高應(yīng)用能力

數(shù)形結(jié)合的精髓就在于“以數(shù)解形”“以形助數(shù)”，從而由抽象思維轉(zhuǎn)化為形象思維，通過直觀地分析獲得對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)與理解.我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)過程中，應(yīng)注重對(duì)學(xué)生方法的培養(yǎng)，也就是我們通常所說的“數(shù)學(xué)思想”，只有掌握了方法，才能真正做到以不變應(yīng)萬變.學(xué)習(xí)掌握和靈活運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想對(duì)學(xué)生的解題能力和潛力有重大意義.我們還要在有效的訓(xùn)練中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)中思形的意識(shí)，能夠準(zhǔn)確地構(gòu)造出圖形，找到數(shù)與形的契合點(diǎn).反過來，我們也要培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)形中覓數(shù)，善于觀察圖形，獲得圖中蘊(yùn)含的代數(shù)關(guān)系.

在解決實(shí)際應(yīng)用問題中，如果能夠幫助學(xué)生初步建立起數(shù)形結(jié)合的思維，對(duì)今后初、高中學(xué)習(xí)函數(shù)圖像，函數(shù)性質(zhì)以及優(yōu)化問題都有很大的幫助.

授人以魚不如授人以漁，數(shù)學(xué)的巧妙在于解決問題方法的巧妙.最終使學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，既提高了解決數(shù)學(xué)問題的能力，也在思維上得到了發(fā)展.