三角形面積公式S=12d·|y1—y2|在圓錐曲線中的應(yīng)用

孫莎

在圓錐曲線中，與三角形面積相關(guān)的問題是高考的一個考點，而三角形面積公式除了常用的S=12ah，S=12absinC之外，還有一種S=12d·|y1-y2|，當(dāng)一個三角形通過割補后，其面積可表示為共底邊d的兩個三角形面積和或差時，適合用此公式.下面就此公式在圓錐曲線中的應(yīng)用進行舉例說明.

例1橢圓x225+y29=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，弦AB過F1，若△ABF2的內(nèi)切圓面積為π，A，B兩點的坐標(biāo)分別為（x1，y1）和（x2，y2），則|y2-y1|的值為（）.

A.53

B.103

C.203

D.52

解析橢圓x225+y29=1，a=5，b=3，c=4，

因為△ABF2的內(nèi)切圓面積為π，所以內(nèi)切圓半徑r=1.

因為S△ABF2=12（AB+AF2+BF2）·r，其中AB+AF2+BF2為△ABF2的周長，等于20，

而S△ABF2=S△AF1F2+S△BF1F2=12|F1F2|·|y1|+12|F1F2|·|y2|=12|F1F2|·|y1-y2|（A，B在x軸的上、下兩側(cè)），其中|F1F2|=8，

所以12×20×1=12×8·|y1-y2|，即|y1-y2|=52.

本題是公式S=12d·|y1-y2|的典型應(yīng)用，其中d=|F1F2|為一定值，本質(zhì)上S△ABF2=S△AF1F2+S△BF1F2，△AF1F2和△BF1F2有公共邊|F1F2|，|y1-y2|是兩三角形高之和，從而S△ABF2=12|F1F2|·|y1-y2|.

例2已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點，P是橢圓E上的點，以F1P為直徑的圓經(jīng)過F2，PF1·PF2=116a2，直線l經(jīng)過F1與橢圓E交于A，B兩點，F(xiàn)2與A，B兩點構(gòu)成△ABF2.

（Ⅰ）求橢圓E的離心率;

（Ⅱ）設(shè)△F1PF2的周長為2+3，求△ABF2的面積的最大值.

解析（Ⅰ）因為F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點，P是橢圓E上的點，以F1P為直徑的圓經(jīng)過F2，則PF2⊥x軸，所以|PF2|=b2a，又因為PF1·PF2=116a2，所以|PF2|2=116a2，即b2a=14a，所以a2=4b2，即a2=4（a2-c2），化簡得ca=32，從而橢圓E的離心率 e=32.

（Ⅱ）因為△F1PF2的周長為2+3，所以2a+2c=2+3，又因為ca=32，所以a=1，c=32，所以b2=14，從而橢圓E的方程為x2+4y2=1.

由題意可知，直線l斜率不為0，所以設(shè)直線l的方程為x=my-32，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

由x=my-32，x2+4y2=1， 得（m2+4）y2-3my-14=0，

Δ=3m2+m2+4=4m2+4>0，

y1+y2=3mm2+4，y1y2=-14（m2+4），

S△ABF2=12|F1F2|·|y1-y2|=32（y1+y2）2-4y1y2=323m2（m2+4）2+1m2+4=3m2+1m2+4.

令t=m2+1，則m2=t2-1且t≥1，

所以S△ABF2=3tt2+3=3t+3t，

因為t+3t≥23，當(dāng)且僅當(dāng)t=3t，即t=3，m=±2時取等號，所以S△ABF2≤12，即S△ABF2的最大值為12.

本題若用常規(guī)方法解，需分類討論直線l斜率存在與否，當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)直線l方程為y=kx+32，由面積公式S△ABF2=12|AB|·d，其中d為F2到直線l的距離，經(jīng)計算S△ABF2=3|k|1+k21+4k2，式子比較復(fù)雜，過程相比上述方法也煩瑣些.

在圓錐曲線中，解決與三角形相關(guān)問題主要方法是代數(shù)運算，往往運算量大，不僅容易算錯，而且影響解題速度，所以在解題時如碰到上述類似題型時，可以選擇面積公式S=12d·|y1-y2|，會對解題帶來很多便利.