兩類抽象函數(shù)的周期性與對(duì)稱性探究

徐永賢

【摘要】抽象函數(shù)不僅是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)，特別是抽象函數(shù)中的周期型抽象函數(shù)和對(duì)稱型抽象函數(shù)問(wèn)題，是絕大多數(shù)學(xué)生最困惑、最難以解決的問(wèn)題，因此，熟練掌握這兩類抽象函數(shù)是非常重要的.

【關(guān)鍵詞】周期型;對(duì)稱型;抽象函數(shù)

在日常學(xué)習(xí)中，抽象函數(shù)是經(jīng)常困擾學(xué)生學(xué)好函數(shù)的攔路虎，要想學(xué)好抽象函數(shù)就得熟練掌握兩種類型的抽象函數(shù)：周期型抽象函數(shù)和對(duì)稱型抽象函數(shù)，下面就這兩類抽象函數(shù)做一些探究，供大家參考學(xué)習(xí).

一、周期型抽象函數(shù)

（一）f（x）=f（x+T）型周期函數(shù)

周期函數(shù)定義：對(duì)于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f（x+T）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫作周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫作這個(gè)函數(shù)的周期.

例1設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，圖像關(guān)于x=1對(duì)稱，任給的x1，x2∈0，12都有f（x1+x2）=f（x1）f（x2）且f（1）=a>0.求證：f（x）是周期函數(shù).

證明∵f（x）的圖像關(guān)于x=1對(duì)稱，

∴f（x）=f（1+1-x），即f（x）=f（2-x），x∈R.

又由f（x）是偶函數(shù)知f（-x）=f（x），x∈R，

∴f（-x）=f（2-x），x∈R，

將上式中-x以x代換得f（x）=f（x+2），

∴f（x）是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期.

（二）f（x+a）=f（b+x）型周期函數(shù)

若f（x+a）=f（b+x），則函數(shù)f（x）的周期為T(mén)=|b-a|.

證明令x=x-a，則f（x）=f（x+b-a）.

例2偶函數(shù)f（x）滿足f（x-1）=f（x+1），且在x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x2，則關(guān)于x的方程f（x）=110x在0，103 上根的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)

解由已知條件f（x-1）=f（x+1）得周期為T(mén)=2，

又∵在x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x2，且f（x）是偶函數(shù)，∴f（x）=x2，x∈[-1，1]，

∴f103=f103-4=f-23=f23，

由圖知f（x）=110x在[0，3]上根的個(gè)數(shù)是3個(gè)，

∵y=1103=11000<f23=49，

∴f（x）=110x在3，103上根的個(gè)數(shù)是0個(gè).

故關(guān)于x的方程f（x）=110x在0，103上根的個(gè)數(shù)是3個(gè).因此，選C.

（三）f（x+a）=-f（x+b）型周期函數(shù)

若f（x+a）=-f（x+b），則函數(shù)f（x）的周期T=2|b-a|.

證明令x=x-a，∴f（x）=-f（x+b-a）.①

令x=x-b，∴f（x+a-b）=-f（x）.②

由①②得-f[x+（a-b）]=-f[x+（b-a）]，

∴f[x+（a-b）]=f[x+（b-a）]，

∴T=2|b-a|.

例3設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意的x∈R均有f（x）+f（x+2）=0，當(dāng)-1<x≤1時(shí)f（x）=2x-1，求當(dāng)1<x≤3時(shí)，f（x）的解析式.

解由任意的x∈R有f（x）=-f（x+2），

得T=2|2-0|=4.

設(shè)x∈（1，3]，則（x-2）∈（-1，1]，于是

f（x-2）=f（x-2+4）=f（x+2）=-f（x），

∴f（x）=-f（x-2）=-[2（x-2）-1]=-2x+5，

故當(dāng)1<x≤3時(shí)，f（x）=-2x+5.

二、對(duì)稱型抽象函數(shù)

f（a+x）=f（b-x）（或f（2a-x）=f（x）或f（2a+x）=f（-x））型對(duì)稱函數(shù)

① 若f（a+x）=f（b-x），則函數(shù)f（x）圖像的對(duì)稱軸為x=a+b2.

② 若f（2a-x）=f（x），則函數(shù)f（x）圖像的對(duì)稱軸為x=a.

③ 若f（2a+x）=f（-x），則函數(shù)f（x）圖像的對(duì)稱軸為x=a.

下面僅對(duì)結(jié)論①進(jìn)行證明，②③可類似證明.

證明要證函數(shù)f（x）圖像的對(duì)稱軸為x=a+b2成立，

只需證fa+b2+x=fa+b2-x.

令x=b-a2+x，代入f（a+x）=f（b-x），

則fa+b2+x=fa+b2-x.

抽象函數(shù)的學(xué)習(xí)，必須靈活把握兩類函數(shù)中a，b的不同取值，以及注意函數(shù)f（x）前正負(fù)號(hào)的差異，并通過(guò)不斷的學(xué)習(xí)積累，對(duì)抽象函數(shù)的學(xué)習(xí)才能達(dá)到事半功倍的效果.