對(duì)圓錐曲線統(tǒng)一定義的認(rèn)識(shí)

劉仁道

在一次教研活動(dòng)中，授課教師講解完雙曲線的第二定義后，為同學(xué)們布置了一道教材上的習(xí)題.

例1求與定點(diǎn)A（5，0）及定直線x=165的距離的比是5∶4的點(diǎn)的軌跡方程.

解設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），它到定點(diǎn)A的距離和它到定直線的距離的比為54，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線，焦點(diǎn)在x軸上.c=5，x=165，∴a2c=165，即a2=16，∴b2=c2-a2=9，∴雙曲線方程為x216-y29=1.因?yàn)閯倢W(xué)習(xí)雙曲線的第二定義，教材中設(shè)計(jì)的題是緊靠教材，中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的標(biāo)準(zhǔn)雙曲線.如果把題改為：一動(dòng)點(diǎn)到直線x=3的距離是它到定點(diǎn)F（4，0）的距離的12，求這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.如果按照同樣的方法解，解：由題意，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離的比為2，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線.c=4，x=3，∴a2c=3，即a2=12，∴b2=c2-a2=4，∴雙曲線方程為x212-y24=1.那就錯(cuò)了.因?yàn)轭}中沒有明確說明曲線中心的位置，僅由定點(diǎn)和直線不能得出c=4，a2c=3的結(jié)論，錯(cuò)誤地按曲線中心為原點(diǎn)得出焦點(diǎn)坐標(biāo)F（c，0）和準(zhǔn)線方程為x=a2c的結(jié)論.正確的解法是：由題意設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）又題意得12（x-4）2+y2=|x-3|，兩邊平方得：x-832232-y22332=1即為所求的軌跡方程.很明顯雙曲線的中心不在原點(diǎn).教材上的題雖然結(jié)果巧合正確，但解法是錯(cuò)誤的，也容易給學(xué)生造成誤會(huì)，除非說明了所求雙曲線為標(biāo)準(zhǔn)雙曲線.

橢圓、雙曲線、（橢圓，雙曲線的第二定義）拋物線的統(tǒng)一定義是在平面上，若動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)F及M到一條定直線距離之比等于常數(shù)e，當(dāng)e<1時(shí)，M的軌跡是橢圓;當(dāng)e>1時(shí)，M的軌跡是雙曲線;當(dāng)e=1時(shí)，M的軌跡是拋物線.如何利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義呢？為了廣義地、完整地理解圓錐曲線的統(tǒng)一定義，現(xiàn)舉幾例說明.

例2方程（x-1）2+（y-1）2=2|x+y+2|表示的曲線是.

解由（x-1）2+（y-1）2=2|x+y+2|，∴（x-1）2+（y-1）2|x+y+2|2=22>1，點(diǎn)P到定點(diǎn)F（1，1）的距離與定直線l：x+y+2=0的距離的比值為e>1，∴點(diǎn)P的軌跡為雙曲線.一個(gè)焦點(diǎn)為F（1，1），此時(shí)準(zhǔn)線為l：x+y+2=0.

例3求經(jīng)過M（1，2），以y軸為準(zhǔn)線，離心率為12的橢圓的左頂點(diǎn)的軌跡方程.

解由題意知橢圓在y軸的右側(cè)，長軸平行于x軸，設(shè)P（x，y）為橢圓的左頂點(diǎn)，F(xiàn)（x0，y0）為橢圓的左焦點(diǎn)，左準(zhǔn)線為x=0，橢圓上點(diǎn)P（x，y），由PFd=e，∴x0-xx=12，∴x0=32x，y0=y，∴F32x，y.又∵點(diǎn)M（1，2）在橢圓上，∴|MF|d=e，∴1-32x2+（2-y）21=12，∴9x-232+4（y-2）2=1即為所求.

此題兩次利用了橢圓的第二定義，利用統(tǒng)一定義要注意焦點(diǎn)與準(zhǔn)線要在中心的同一側(cè)，否則就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

思考題：1.求經(jīng)過定點(diǎn)M（1，2），以x軸為準(zhǔn)線，離心率為12的橢圓下頂點(diǎn)的軌跡方程.

解：設(shè)橢圓下頂點(diǎn)P（x，y），下焦點(diǎn)為F，以x軸為準(zhǔn)線由定義得PFPB=12，∴Fx，3y2，又由定義得MFMN=12，∴點(diǎn)P的軌跡方程為（x-1）2+32y-22=1.

例4若橢圓的中心坐標(biāo)為（2，3），一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)（4，5），離心率e=12，試求出這個(gè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程，并求出這個(gè)橢圓的方程.

解中心是兩焦點(diǎn)間線段的中點(diǎn)，令另一個(gè)焦點(diǎn)為（x1，y1），則x1+4=4，y1+5=6， ∴x1=0，y1=1，即另一個(gè)焦點(diǎn)為（0，1），又e=12，∴a=2c，焦點(diǎn)是中心與長軸端點(diǎn)間線段的中點(diǎn)，由中點(diǎn)公式得端點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1）及（6，7）.中心到準(zhǔn)線的距離為a2c=（2c）2c=4c=2a，長軸的端點(diǎn)又是中心與準(zhǔn)線和長軸交點(diǎn)間線段的中點(diǎn)，由中點(diǎn)公式得準(zhǔn)線與長軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，-5）及（10，11）.

由此長軸所在的直線方程為y=x+1，∴準(zhǔn)線斜率為k=-1，即準(zhǔn)線方程為x+y+11=0，x+y-21=0.

由橢圓的第二定義則有：（x-4）2+（y-5）2|x+y-21|2=12，化為7x2-2xy+7y2-22x-38y-113=0.

對(duì)于拋物線可以采用類似方法處理，通過上面幾個(gè)例子，我們對(duì)圓錐曲線的統(tǒng)一定義有了全面、完整、深刻的理解，也為我們利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義解題提供了思考的方法，同時(shí)彌補(bǔ)了教材講得不透徹的局限.