單元“類教學(xué)”：重建數(shù)學(xué)整體課程

何銀華

摘 要：數(shù)學(xué)教學(xué)要突破以“課”為組織形式，以知識“點”為形態(tài)的固化框架、格局。以“單元”為單位，以“類教學(xué)”方式，可以重建數(shù)學(xué)整體課程。作為教師，要把握知識結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)、教學(xué)結(jié)構(gòu)，立足于“類化”和“內(nèi)化”，展開單元“類教學(xué)”，讓學(xué)生把握知識邏輯之鏈、引發(fā)學(xué)生“探究之樂”、滿足生命成長之需。

關(guān)鍵詞：單元；類教學(xué)；整體課程

數(shù)學(xué)課程是一種結(jié)構(gòu)性、系統(tǒng)性的知識整體。數(shù)學(xué)知識之間是彼此滲透、相互關(guān)聯(lián)的，其組織是有序的、螺旋上升的結(jié)構(gòu)、系統(tǒng)。囿于學(xué)生年齡特征、心理特質(zhì)等因素，數(shù)學(xué)教材在編寫知識時人為割裂了知識聯(lián)系，這是教材編寫無法回避的。但作為教師，必須對數(shù)學(xué)課程有一個整體把握。遺憾的是，許多教師在教學(xué)中要么“只見樹木不見森林”，要么“各人自掃門前雪”。散點式、孤立式教學(xué)，淺化了學(xué)生思維，固化了學(xué)生認(rèn)知，弱化了學(xué)生創(chuàng)造力。如何重建整體課程，賦予學(xué)生思維自然生長的力量？帶著這個問題，筆者立足單元，以“類教學(xué)”方式展開實踐與研究。

一、單元“類教學(xué)”的依據(jù)及可能

何為單元“類教學(xué)”？基于整體論視角，單元“類教學(xué)”就是相同、相似結(jié)構(gòu)的組合、排列。結(jié)構(gòu)是什么？結(jié)構(gòu)是一個整體、一個系統(tǒng)、一個集合，在數(shù)學(xué)認(rèn)知領(lǐng)域，結(jié)構(gòu)具有獨特意義和價值。單元“類教學(xué)”不僅要關(guān)照知識結(jié)構(gòu)，更要關(guān)注學(xué)生思維結(jié)構(gòu)、心理結(jié)構(gòu)。單元“類教學(xué)”是數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)與學(xué)生思維、心理結(jié)構(gòu)同構(gòu)共生、同生共長、協(xié)調(diào)互動的過程。

1. 知識結(jié)構(gòu)

對于教師而言，數(shù)學(xué)知識是一棵蔥郁的大樹還是一片茂密的樹林，抑或是一望無際的森林？這決定著教師教學(xué)的視界，決定著單元類教學(xué)的成敗。如果教師掌握了數(shù)學(xué)本體性知識結(jié)構(gòu)，就有利于知識映射遷移，就能站在學(xué)科知識結(jié)構(gòu)高度，用高觀點統(tǒng)御教學(xué)。比如，長方體、正方體和圓柱體體積教學(xué)，教師應(yīng)該有直柱體體積本體性知識；比如圓錐體體積教學(xué)，教師站在知識結(jié)構(gòu)高度，就可以補(bǔ)充正三棱柱、正四棱柱等內(nèi)容。只有用結(jié)構(gòu)觀點、視角來解讀、處理教材，教學(xué)才能發(fā)揮舉一反三的功用。

2. 思維結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生基于自身已有經(jīng)驗，用自己的思維建構(gòu)知識的過程。單元“類教學(xué)”不僅要關(guān)注知識結(jié)構(gòu)，而且要關(guān)注學(xué)生思維結(jié)構(gòu)。只有明確了學(xué)生認(rèn)知發(fā)展線，才能更為有效地展開單元“類教學(xué)”。關(guān)注學(xué)生思維結(jié)構(gòu)，要引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)會主動遷移、整體感悟等。這里，關(guān)鍵是讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的誕生歷程，獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗和數(shù)學(xué)思想方法。比如，學(xué)習(xí)了“圓的面積”，學(xué)生就應(yīng)該能遷移到圓柱體積推導(dǎo)過程中去，學(xué)習(xí)了“商不變規(guī)律”，學(xué)生就應(yīng)該能遷移到“小數(shù)的性質(zhì)”“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”“比的基本性質(zhì)”中去，并能獲得一種整體感悟。

3. 教學(xué)結(jié)構(gòu)

所謂“教學(xué)結(jié)構(gòu)”，是指教師在教學(xué)中運用高觀點、大視野和關(guān)系思維進(jìn)行的教學(xué)。比如，蘇教版教材“運算律”這一單元，“加法交換律”“加法結(jié)合律”“乘法交換律”“乘法結(jié)合律”和“乘法分配律”等都遵循完全相同的“猜想—驗證—不完全歸納”教學(xué)思路。比如，“長度單位”“面積單位”“體積單位”等跨單元教學(xué)，就具有相同的教學(xué)結(jié)構(gòu)。只有具有關(guān)系思維、系統(tǒng)思考和跨界思想，才能讓數(shù)學(xué)教學(xué)呈現(xiàn)出一種理性、均衡，才不會“眉毛胡子一把抓”。

二、單元“類教學(xué)”的價值及旨?xì)w

長期以來，數(shù)學(xué)教學(xué)以“課”為單位進(jìn)行組織，以“點”為單位進(jìn)行檢測。這種著眼于“一課一點”的教學(xué)方式，從根本上制約了學(xué)生數(shù)學(xué)思維力、想象力的發(fā)展。單元“類教學(xué)”立足于“單元”，以“類”的方式組織教學(xué)，賦予學(xué)生廣闊思維時空，彰顯數(shù)學(xué)教學(xué)整體之美、結(jié)構(gòu)之美，形成學(xué)生整體把握單元，觀照知識，開展創(chuàng)造性學(xué)習(xí)活動的能力。

1. 從“木”到“森”，把握知識的“邏輯之鏈”

學(xué)生知識建構(gòu)力的高低，某種意義上取決于學(xué)生對數(shù)學(xué)整體知識的掌握情況。如果教學(xué)以“課”“點”的狀態(tài)推進(jìn)，學(xué)生對數(shù)學(xué)知識就缺少整體全貌的感知，就不能形成知識生長的邏輯鏈。而以“單元”“類”的狀態(tài)進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生就能把握數(shù)學(xué)知識的邏輯之鏈。從這一知識“點”到那一知識“點”，學(xué)生能形成知識遷移力、建構(gòu)力和創(chuàng)造力。比如學(xué)生經(jīng)歷了制作“厘米尺”過程，就能自主地制作出“量角器”。盡管“厘米”和“角”分屬不同知識領(lǐng)域，但以單元“類教學(xué)”方式展開，學(xué)生就能感悟到：無論是測量厘米，還是測量角，就其本質(zhì)而言，都是看“某一個長度、角度里有多少個長度、角度單位”。單元“類教學(xué)”讓學(xué)生掌握了單元學(xué)習(xí)的邏輯性，讓教學(xué)既見“樹木”又見“森林”，讓學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)逐步走出了混沌，走向敞亮。

2. 從“知”到“智”，引發(fā)學(xué)生“探究之樂”

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅是為了掌握知識，更是為了發(fā)展思維，形成一種思維、探究、認(rèn)知方式。單元“類教學(xué)”不僅要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，更應(yīng)激發(fā)學(xué)生“探究之趣”“探究之樂”。通過“學(xué)結(jié)構(gòu)”，形成學(xué)生“用結(jié)構(gòu)”的能力。比如，學(xué)生學(xué)習(xí)了“平行四邊形的面積”“三角形的面積”后，認(rèn)識到“未知圖形的面積都可以轉(zhuǎn)化成已知圖形的面積”?；诖耍趯W(xué)習(xí)“梯形面積”時，學(xué)生自發(fā)地展開了探究，有學(xué)生將梯形沿著對角線轉(zhuǎn)化成兩個三角形；有學(xué)生借助中位線，將梯形轉(zhuǎn)化成長方形；還有學(xué)生受三角形面積推導(dǎo)啟發(fā)，將梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形……這樣的探究，能夠?qū)W(xué)生實現(xiàn)“轉(zhuǎn)識成智”。

3. 從“碎”到“統(tǒng)”，滿足生命“成長之需”

單元“類教學(xué)”不同于傳統(tǒng)教學(xué)模式，它不僅關(guān)注知識、思維，而且關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略、情意態(tài)度等。從“零碎”到“系統(tǒng)”，能滿足學(xué)生生命“成長之需”。在這種單元“類教學(xué)”中，學(xué)生不僅能掌握數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之“形”，更能領(lǐng)悟數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之“神”，逐步形成聯(lián)系的、發(fā)展的、辯證的眼光。比如一位教師教學(xué)“用數(shù)對確定位置”后，立足學(xué)生生命成長之需，運用新媒體一點點出示，讓學(xué)生明確低年級數(shù)軸確定位置的含義；然后一排排出示，讓學(xué)生明確用數(shù)對確定位置的意義；接著，又運用新媒體課件一層層出示，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)對從長、寬、高三個維度進(jìn)行創(chuàng)造性表示。學(xué)生的思維得到發(fā)展，素養(yǎng)得到提升，精神得到豐盈，生命得到潤澤。

三、單元“類教學(xué)”路徑及方法

明晰了單元“類教學(xué)”的依據(jù)及可能、價值及旨?xì)w，還需要探尋單元“類教學(xué)”的路徑及方法，這就必須摒棄傳統(tǒng)的支離破碎的教學(xué)模式。從整合類化設(shè)計到整體內(nèi)化感悟，單元“類教學(xué)”有著獨特的教學(xué)路徑。其中，既有橫向關(guān)聯(lián)，又有縱向融通，還有整體建構(gòu)。既要引導(dǎo)學(xué)生類聯(lián)，又要引導(dǎo)學(xué)生尋異，既要引導(dǎo)學(xué)生架構(gòu)，又要引導(dǎo)學(xué)生建系。

1. 類化：彰顯單元“類教學(xué)”的理性內(nèi)涵

“類化”是單元“類教學(xué)”的前提。將數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)類化，有助于學(xué)生建構(gòu)知識群，感悟思想方法。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要依循數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)性特點，將數(shù)學(xué)同類知識集聚起來；要強(qiáng)化“類”的意識，彰顯“類結(jié)構(gòu)”的教學(xué)功能。

首先是類化目標(biāo)結(jié)構(gòu)，凸顯單元教學(xué)核心價值。以蘇教版教材為例，比如《解決問題的策略》單元教學(xué)，就必須引導(dǎo)學(xué)生形成“策略”意識，培養(yǎng)學(xué)生運用策略的能力。許多教師在教學(xué)中往往著眼于問題解決，學(xué)生局限于“一題一得”，而沒有從整體上形成策略，致使學(xué)生沒有形成更上位的數(shù)學(xué)思想。比如“解決問題的策略——轉(zhuǎn)化”，教師不能將教學(xué)降格為解題思路、方法，而必須讓學(xué)生進(jìn)行體驗、感受。只有通過感受、體驗，才能自然生發(fā)學(xué)生的“轉(zhuǎn)化”策略的化復(fù)雜為簡單、化未知為已知的價值。

其次是類化知識結(jié)構(gòu)，統(tǒng)整單元教學(xué)知識結(jié)構(gòu)。所謂“類化知識結(jié)構(gòu)”，就是將單元離散的、斷裂的、表象的知識點梳理、歸納，讓知識呈現(xiàn)出整體結(jié)構(gòu)，從而彰顯學(xué)科教學(xué)功能。比如蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊第三、第四單元的《分?jǐn)?shù)乘法》《分?jǐn)?shù)除法》單元，后面插了一個《解決問題的策略》，再后面是《分?jǐn)?shù)四則混合運算》。為了類化知識結(jié)構(gòu)，筆者在教學(xué)中，將《分?jǐn)?shù)四則混合運算》前置，使之與《分?jǐn)?shù)乘法》《分?jǐn)?shù)除法》形成了一個結(jié)構(gòu)性、整體性知識板塊。實踐證明，單元微調(diào)，更有助于學(xué)生建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，將分?jǐn)?shù)乘、除法計算以及應(yīng)用題建構(gòu)成一個知識整體。

再次是類化方法結(jié)構(gòu)，聚焦單元教學(xué)的整體策略。方法是知識的上位概念，但卻是思想的下位概念。比如蘇教版小學(xué)六年級上冊“長方體和正方體”單元，在認(rèn)識了長方體和正方體的特征后，教材分三課時分別讓學(xué)生進(jìn)行“完全表面積”“不完全表面積”（材料用量）“綜合練習(xí)”的學(xué)習(xí)。立足于類方法，筆者在教學(xué)中將三課時的內(nèi)容進(jìn)行整合，用一節(jié)課的時間進(jìn)行教學(xué)。實踐證明，這種立足于方法的教學(xué)，更能凸顯面積之和的計算要從實際出發(fā)的旨趣。由于擺脫了原有課時的桎梏，學(xué)生問題解決思路更清晰，問題解決思維更靈動，問題解決方法更多樣了。

再次是類化過程結(jié)構(gòu)，推動單元教學(xué)有效運作。有時，盡管數(shù)學(xué)知識不同且分屬不同領(lǐng)域，但其形成過程卻有著相同或相似的結(jié)構(gòu)。教師要引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷這樣的知識誕生歷程，對知識形成的過程結(jié)構(gòu)、邏輯進(jìn)行尋找、確認(rèn)。比如學(xué)生經(jīng)歷了研究兩個數(shù)最大公因數(shù)的過程，就能主動地探索兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，分別用“列舉法”“大數(shù)翻倍法”“短除法”等進(jìn)行研究。

當(dāng)然，不管是類化目標(biāo)結(jié)構(gòu)、類化知識結(jié)構(gòu)、類化方法結(jié)構(gòu)還是類化過程結(jié)構(gòu)，都不應(yīng)該孤立而行，而應(yīng)該縱橫交錯、互相補(bǔ)充、推動。只有這樣，才能體現(xiàn)單元“類教學(xué)”的意義和價值，才能彰顯單元“類教學(xué)”的整體之美、結(jié)構(gòu)之美。

2. 內(nèi)化：彰顯單元“類教學(xué)”的素養(yǎng)培育

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生與環(huán)境互動的過程。在這個過程中，個體借助于心理同化、順應(yīng)，將外界信息主動納入自我認(rèn)知結(jié)構(gòu)。由此，個體認(rèn)知心理結(jié)構(gòu)經(jīng)歷了從不平衡到平衡的轉(zhuǎn)化過程。單元“類教學(xué)”，就是要促成學(xué)生個體認(rèn)知心理的積極內(nèi)化。

首先是用單元“類教學(xué)”促進(jìn)學(xué)生同化。所謂“同化”，是指當(dāng)外界刺激作用于個體內(nèi)在的圖式時，個體能夠?qū)ν饨绱碳ぜ右赃x擇性吸收、改造，使之適應(yīng)、豐富、拓展自己的已有圖式。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要充分運用單元“類教學(xué)”促進(jìn)學(xué)生的心理同化。比如教學(xué)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”，教師必須引領(lǐng)學(xué)生瞻前顧后、左顧右盼。既要讓學(xué)生感悟到“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”“商不變規(guī)律”以及“小數(shù)的性質(zhì)”的內(nèi)在一致性，又要讓學(xué)生明晰“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”的作用，即分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)既可以用來約分，也可以用來通分，而通分又指向異分母分?jǐn)?shù)的加減法，約分指向分?jǐn)?shù)的乘除法。當(dāng)學(xué)生將這些知識納入自我的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中時，學(xué)生能夠感受到分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的意義和價值，從而形成認(rèn)知體。

其次是用單元“類教學(xué)”實現(xiàn)學(xué)生順應(yīng)。所謂“順應(yīng)”，是指當(dāng)外部刺激作用于個體內(nèi)在圖式時，個體原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)無法同化新的信息刺激，而必須引發(fā)個體內(nèi)在圖式的結(jié)構(gòu)重組與改造。小學(xué)生的思維發(fā)展尚處在起步階段，其內(nèi)在的圖式也處于不斷豐富、擴(kuò)張、變化的狀態(tài)中。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要運用單元“類教學(xué)”實現(xiàn)學(xué)生順應(yīng)。比如教學(xué)“小數(shù)的認(rèn)識”這一單元，要讓學(xué)生突破原有整數(shù)的認(rèn)知，將小數(shù)和整數(shù)進(jìn)行有效統(tǒng)整，形成全新的“數(shù)位順序表”，其一是在“個”的基礎(chǔ)上擴(kuò)大，其二是在“個”的基礎(chǔ)上縮小，但兩個相鄰計數(shù)單位間的進(jìn)率都是十；再比如，教學(xué)“認(rèn)識負(fù)數(shù)”，也要突破學(xué)生原有的對數(shù)的認(rèn)知，幫助學(xué)生建構(gòu)完整的“有理數(shù)系”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要讓學(xué)生明晰不同知識的共性與區(qū)別，促使學(xué)生認(rèn)知圖式的不斷更新、拓展。

再次是用單元“類教學(xué)”實現(xiàn)認(rèn)知平衡。如上所述，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是認(rèn)知結(jié)構(gòu)從不平衡走向平衡的過程。為了實現(xiàn)單元“類教學(xué)”，教師可以加強(qiáng)綜合性學(xué)習(xí)，可以重構(gòu)課程內(nèi)容、重構(gòu)課程方式、重構(gòu)課程形態(tài)。比如在六年級“圖形與幾何”部分內(nèi)容的復(fù)習(xí)中，為溝通平面圖形與立體圖形的關(guān)聯(lián)，筆者創(chuàng)生了“平移和旋轉(zhuǎn)”主題教學(xué)。借助平移，長方形能演化成長方體，圓形能演化成圓柱，三角形、梯形等圖形能演化成三棱柱、四棱柱等；借助旋轉(zhuǎn)，長方形能演化成圓柱，直角三角形能演化成圓錐，半圓能演化成球。通過這樣的教學(xué)，溝通平面圖形與立體圖形，實現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知的擴(kuò)張、視角的突破。

單元“類教學(xué)”打破了傳統(tǒng)的以“課”為組織、以知識“點”為單位的固化教學(xué)框架、格局。立足于單元“類結(jié)構(gòu)”，對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行整體集約謀劃，連線、勾面、成體，順應(yīng)了知識的邏輯生長，順應(yīng)了學(xué)生的生命成長。這樣一種有深度的結(jié)構(gòu)化教學(xué)為數(shù)學(xué)課程實施開辟了一條行之有效的教學(xué)路向。