把題置于數(shù)學課程的體系中

季鳳茂

摘 要：數(shù)學的教和學離不開題，我們不應該孤立地看題，需要把題置于數(shù)學課程體系中。透過題的表象看到問題的本質(zhì)，讓學生從感性的認識上升到理性的認識。每道題都是散點狀的，教師應該由點到線，由線成面，由面構體，使學生的知識結構化。教學過程中，不能僅僅滿足于解決一道題，關鍵是能運用習得的策略創(chuàng)造性地解決新的問題。

關鍵詞：本質(zhì)；結構；運用

數(shù)學的教和數(shù)學的學離不開題目，但是題只是一個例子，是教和學的素材。我們應該把題置于整個課程體系中，通過題讓學生掌握數(shù)學方法、體驗數(shù)學策略、感悟數(shù)學思想，并能運用這些方法去解決新的問題。談祥柏說：“好題應該具有召喚靈感的作用，如果受到這類題的熏陶，就必然潛移默化，人也變得越來越聰明。”在六年級復習平均數(shù)問題時有這樣一道經(jīng)典題：一輛車從甲地開往乙地，每小時行60千米，從乙地返回甲地每小時行40千米。這輛車往返的平均速度是多少？從一位教師的教學過程中可看出這位教師所站的高度和視域的廣度，很有啟示。

一、從現(xiàn)象到本質(zhì)

數(shù)學學習是本質(zhì)和現(xiàn)象的對立統(tǒng)一，透過現(xiàn)象把握本質(zhì)是教學的目的，讓學生從感性的認識上升到理性的認識。

1. 錯誤解法

錯誤解法的背后都是有原因的，教學中需要智慧運用錯誤的資源。這道題要求的是平均速度，根據(jù)常見的數(shù)量關系，平均速度應等于總路程除以總時間。這道題沒有總路程，也沒有總時間，只有往和返的平均速度，由于條件的限制，學生無法直接從數(shù)量關系入手，列式解答，大多數(shù)學生都形成了錯誤解法：（60+40）÷2=50（千米/時）。教學過程中教師根據(jù)學生的錯誤去尋找背后的原因。學生的錯誤解法其實是有自己的“依據(jù)”的，這種錯誤的解法實際上是一種負遷移。例如，“張叔叔第一天植樹60棵，第二天植樹40棵，平均每天植樹多少棵？”這道題的解法就是：（60+40）÷2=50（棵）。

2. 錯因辨析

朱樂平說：“我們想引領學生到我們想讓他去的地方，那必須首先知道學生現(xiàn)在到底在哪里?！苯處熃虒W過程中，沒有簡單地對學生的解法進行否定，而是讓學生充分暴露自己的思維，引導學生進行辨析：求平均速度和求平均棵數(shù)有什么不同？在求平均棵數(shù)的題中，60棵對應的天數(shù)和40棵對應的天數(shù)是相同的，平均數(shù)的本質(zhì)就是移多補少，所以可以用（60+40）÷2=50（棵）；而在求平均速度的題中，60千米和40千米對應的小時數(shù)是不一樣的，所以不能用（60+40）÷2=50（千米/時）。在辨析的基礎上，教師把數(shù)學問題和學生的生活聯(lián)系起來，以便深化學生的認識。如“班上男同學的平均身高是1.6米，女同學的平均身高是1.4米，那全班同學的身高是1.5米嗎？”

3. 正解探究

學生對錯誤的解法有了認識，這并不表示學生就能正確地解決該問題。教師在學生已有認識的基礎上，拋出一個問題：“同學們一定在想，如果這道題再告訴我們什么條件，問題就可以解決了？”學生提出兩類想法：一是如果告訴我們往返的時間，我們就可以解決問題；二是如果告訴我們總路程也可以解決問題。學生很自然想到了假設策略的運用，通過探究后學生發(fā)現(xiàn)，如果假設往返的時間，那么需要假設兩個量；如果假設總路程，那么只需要假設一個量。

二、從散點到結構

教學應該是一個由點到線，由線成面，由面構體的過程，不宜孤立、片面看待學生出現(xiàn)的問題。

1. 變與不變

在運用假設策略解決問題的過程中，不同的學生假設的總路程并不相同，可以假設總路程為120千米、240千米……總路程為任意一個不是0的數(shù)量，不管總路程是多少，平均速度總是不變的。在這里蘊涵著變與不變的哲學思想。其實，變與不變是一種現(xiàn)象，但是為什么路程變了，而平均速度是始終不變的呢？這是理解的難點，而只有真正理解了，學生的認識才能得到升華。針對學生的迷惘，教師組織學生進行討論，通過討論，學生發(fā)現(xiàn)總路程240千米和總路程120千米進行比較，實際上就是相當于走了兩次，如果總路程是360千米的話就可以看作同樣的運動進行了第三次，所以不管總路程如何變化，平均速度總是不變的。還可以運用商不變的規(guī)律來說明這種現(xiàn)象，總路程（被除數(shù)）和時間（除數(shù)）同時乘或者除以一個相同的數(shù)，速度（商）是不變的。

2. 算法多樣

同樣的策略，但解決問題的方法不一定相同。在這里可以假設總路程為一個具體的數(shù)量，如120、360等；還可以用字母來表示未知的總路程，如把總路程設為x。這樣求平均速度的算式是2x÷（x÷60+x÷40），化簡以后得出：2x÷（x÷60+x÷40）=2x÷[x×（1÷60+1÷40）]=2x÷x÷（1÷60+1÷40）=2÷（1/60+1/40）=48（千米/時）。通過不同算法的比較辨析可以進一步驗證平均速度和總路程是無關的。除了用假設的方法以外，還可以用工程問題的思路來解決，把總路程看作單位“1”。算法的多樣培養(yǎng)了學生的靈活性思維，在多樣化的基礎上再將算法優(yōu)化。

3. 智慧變式

數(shù)學的教與學離不開做題，但機械地做題不利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，因此解決問題的過程中需要變式。變式指向的是非本質(zhì)屬性，而不是本質(zhì)屬性。“變”是一種動態(tài)的過程，題的形式發(fā)生了變化，但是解決問題需要運用的知識點和方法策略并沒有改變，讓學生在“變”中發(fā)現(xiàn)“不變”。教學過程中，教師先是改變了題中的數(shù)據(jù)，然后再改變了情境：“張叔叔進行戶外爬山運動，上山每小時行6千米，下山沿原路返回每小時行8千米。張叔叔上山和下山的平均速度是多少？”這樣的變式便于學生更好地掌握。

三、從掌握到運用

掌握和運用是學習結果的不同表達水平，運用是在掌握的基礎上選擇或者創(chuàng)造新的方法去解決問題。

1. 策略意識

所有解決問題的過程都是綜合運用策略的過程，因此教師教的過程就是培養(yǎng)學生策略意識的過程，學生學的過程也是學生形成策略意識的過程。策略意識是策略掌握的前提。實際教學過程中，學生的策略運用往往具有隨意性，對策略的選擇缺少靈敏的嗅覺和捕捉能力。策略的運用往往是給予的，而不是生長的。教學中，教師注意激發(fā)學生的認知沖突，激活知識基礎和學習經(jīng)驗，形成策略運用的需要。使假設的策略成為學生的一種體驗和概括，提升對假設策略的價值認識。

2. 遷移意識

學習不是讓學生搬運、套用和機械模仿，而是應該讓學生運用已有知識、方法、策略解決新的問題。教師在變式練習時，安排了這樣一道題：“一批零件，張師傅單獨加工需要8小時完成，王師傅單獨加工需要10小時完成。如果兩人同時加工，需要幾小時完成？”這本是一道工程問題，現(xiàn)教材已經(jīng)不再單獨研究。其實這道題和出示的樣例中的情境相似，結構也相近，有著內(nèi)在的聯(lián)系，可以用習得的策略解決。在此基礎上學生反思，運用假設的策略還解決過什么問題，這些問題都有什么共同的特征。

3. 診斷意識

“診斷”一詞，在教學上是指對學生以及學生的學習過程進行觀察，并做出判斷，既包括教師對學生的診斷，也包括學生的自我診斷。診斷不僅僅局限于課堂上，還應包括學習前和學習后的診斷。教學前，根據(jù)教師對學生基礎知識和學習狀態(tài)的了解，教師已經(jīng)預計學生會發(fā)生這樣的典型錯誤，并對典型錯誤形成相應的對策。診斷的目的是基于診斷做出更科學有效的教學設計。教學后，需要對課堂狀態(tài)不斷分析、開發(fā)、放大、提高，避免形成機械思維，從而激發(fā)學生再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)新。