圓周運(yùn)動“不脫離”問題的多題一解

邵貝

摘 要：分析豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動“不脫離”問題的幾種類型。注意區(qū)分小球所處的物理情境，找到“力學(xué)最高點(diǎn)”和“力學(xué)圓心等高點(diǎn)”，是解決此類問題的關(guān)鍵，真正做到“多題一解”。

關(guān)鍵詞：多題一解；圓周運(yùn)動；不脫離

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-6148（2018）10-0035-4

1 情形一：大小不等的兩圓拼接

例1 如圖1所示，豎直平面內(nèi)有光滑圓軌道ABCDE，ABC為半徑為R1的半圓，CDE為半徑為R2的半圓軌道（R1大于R2）。要使質(zhì)量為m的小球在圓軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動不脫離，在最低點(diǎn)A的速度v0為多少？

解析 （1）情況一，小球能做完整的圓周運(yùn)動，到達(dá)最高點(diǎn)C，如圖2所示。在此處，小球受重力和彈力，對于ABC半圓軌道而言：

在C處，要同時(shí)滿足兩個(gè)半圓軌道運(yùn)動情形，而R1大于R2，所以在最高點(diǎn)C，速度v要大于等于v1（v>v1時(shí)，在最高點(diǎn)軌道對小球產(chǎn)生壓力）。

從最低點(diǎn)A到最高點(diǎn)C用動能定理：

2 情形二：勻強(qiáng)電場和重力場中的圓周運(yùn)動

2.1 勻強(qiáng)電場方向豎直向下

例2 如圖4所示，豎直平面內(nèi)有光滑圓軌道ABCD，半徑為R，處在豎直向下的勻強(qiáng)電場中，電場強(qiáng)度為E。有一個(gè)質(zhì)量為m，帶電量為+q的小球，想讓小球在運(yùn)動過程中不脫離圓軌道，小球在最低點(diǎn)速度應(yīng)為多少？

2.2 勻強(qiáng)電場方向水平向右

例3 如圖7所示，豎直平面內(nèi)有光滑圓軌道ABCD，半徑為R，處在水平向右的勻強(qiáng)電場中，電場強(qiáng)度為E。有一個(gè)質(zhì)量為m，帶電量為+q的小球，想讓小球在運(yùn)動過程中不脫離圓軌道，小球在最低點(diǎn)A速度應(yīng)為多少？

從E到H點(diǎn)運(yùn)動的過程中，mg'的徑向分力背離圓心，小球擠壓導(dǎo)軌，由導(dǎo)軌的支持力和徑向分力提供向心力，小球做圓周運(yùn)動。從H到F點(diǎn)運(yùn)動的過程中，mg'的徑向分力指向圓心，此時(shí)，小球要做圓周運(yùn)動需要滿足一定的條件。其中，在F處，mg'的徑向分力最大，小球最容易脫離，要想小球不脫離軌道，則要滿足F點(diǎn)的臨界條件。此時(shí)的F點(diǎn)不是幾何最高點(diǎn)，而是力學(xué)最高點(diǎn)，E為力學(xué)最低點(diǎn)。

3 情形三：勻強(qiáng)磁場和重力場中的圓周運(yùn)動

例4 如圖11所示，豎直平面內(nèi)有光滑圓軌道ABCD，半徑為R，處在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。有一個(gè)質(zhì)量為m，帶電量為+q的小球，想讓小球在運(yùn)動過程中不脫離圓軌道，小球在最低點(diǎn)速度應(yīng)為多少？

解析 在此過程中，洛倫茲力始終背離圓心，從A到B，重力的徑向分力也背離圓心，擠壓導(dǎo)軌，使小球順利做圓周運(yùn)動。從B到C，重力的徑向分力指向圓心，在C處達(dá)到最大值，而在此處小球所需的向心力最小，因此，在此處最易脫離。

（1）情況一，如圖12所示，在力學(xué)最高點(diǎn)C，重力、彈力和洛倫茲力共同提供向心力，即

4 小 結(jié)

以上幾種豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動“不脫離”問題，解決的關(guān)鍵都在于找到力學(xué)最高點(diǎn)和力學(xué)圓心等高點(diǎn)，而并非幾何最高和圓心等高點(diǎn)。所以，看似情境不同，但解決的方式是一致的，先受力分析，找到力學(xué)最高和圓心等高點(diǎn)，再列向心力表達(dá)式和動能定理，最后求得結(jié)果。所以，在今后的學(xué)習(xí)中，也要對各類題型多加總結(jié)，深入剖析，做到“多題一解”。

參考文獻(xiàn)：

[1]曾文，周朝彪，桂朝覲.豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動的臨界問題分析[J].考試周刊，2015（86）：130.