例談微粒濃度關(guān)系線性化處理在解題中的應(yīng)用

蘭建祥

摘要： 以電離平衡、溶解平衡為例，介紹了微粒濃度關(guān)系線性化的基本方法，旨在能幫助學(xué)生理解直線型平衡圖像的本質(zhì)，由此將數(shù)學(xué)知識(shí)滲透到解決化學(xué)問題的思維之中，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)。

關(guān)鍵詞： 微粒濃度關(guān)系; 平衡常數(shù); 線性化處理; 解題方法

文章編號(hào)： 10056629（2018）10008305中圖分類號(hào)： G633.8文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： B

1問題的提出

在2017年高考化學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷中，有一道考查化學(xué)平衡圖像的題引起廣大師生的高度關(guān)注：

常溫下將NaOH溶液添加到己二酸（H2X）溶液中，混合溶液的pH與離子濃度變化的關(guān)系如圖1所示。下列敘述錯(cuò)誤的是（）

該題考查的是有關(guān)平衡圖像的問題，雖然考查的內(nèi)容很常規(guī)，但這種直線型平衡圖像讓考生始料未及。絕大多數(shù)考生甚至不少化學(xué)教師在答題時(shí)無從下手，導(dǎo)致該題得分率極低。廣大師生戲稱此題為2017年高考化學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷中最亮眼的一道題，于是把此類平衡圖像問題作為本年度高三復(fù)習(xí)教學(xué)中的難點(diǎn)和重點(diǎn)進(jìn)行突破。

2微粒濃度關(guān)系線性化的教學(xué)思考

2.1學(xué)生認(rèn)知直線型平衡圖像的障礙分析

常見的平衡圖像是以pH為橫坐標(biāo)，以物質(zhì)的量濃度或微粒的物質(zhì)的量分?jǐn)?shù)為縱坐標(biāo)，如在2017年高考化學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷中出現(xiàn)圖2所示的圖像：

隨著溶液pH的變化，三種微粒之間相互轉(zhuǎn)化，學(xué)生對(duì)此轉(zhuǎn)化過程很容易理解，因而可以輕松解讀圖像所表達(dá)的化學(xué)含義。

那么，學(xué)生為什么難以理解圖1中的圖像呢？筆者認(rèn)為，原因主要在于學(xué)生不清楚lg[c（HX-）/c（H2X）]或lg[c（X2-）/c（HX-）]與溶液的pH到底有著怎樣的關(guān)系。換言之，學(xué)生完全不知道lg[c（HX-）/c（H2X）]或lg[c（X2-）/c（HX-）]與溶液pH之間的函數(shù)關(guān)系，當(dāng)然也就難以理解圖像所表達(dá)的化學(xué)含義。

2.2線性化處理的意義

將微粒濃度關(guān)系線性化，是處理有關(guān)微粒濃度關(guān)系的一種常用數(shù)學(xué)方法。對(duì)溶液中的某種平衡而言，各種微粒的濃度之間滿足一定的關(guān)系，這種關(guān)系集中表現(xiàn)為相應(yīng)的平衡常數(shù)表達(dá)式。在平衡常數(shù)表達(dá)式中，各微粒濃度之間的關(guān)系通常是非線性方程，對(duì)應(yīng)的平衡圖像為曲線。

如何將非線性方程線性化呢？其實(shí)，只需將平衡常數(shù)表達(dá)式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，則可將平衡常數(shù)表達(dá)式中的乘積關(guān)系轉(zhuǎn)化為加減關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)關(guān)系式的線性化，對(duì)應(yīng)的圖像也由曲線轉(zhuǎn)化為直線。顯然，如果讓學(xué)生明白這一點(diǎn)，自然就能從本質(zhì)上理解圖1中的圖像意義。更為重要的是，可以讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)方法處理和變換化學(xué)關(guān)系式的方法，體會(huì)數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科在化學(xué)中的重要應(yīng)用，從根本上提升學(xué)生分析和解決平衡圖像問題的能力。可見，開展微粒濃度關(guān)系線性化的深度教學(xué)有著非常重要的意義。

幫助學(xué)生搭建數(shù)學(xué)思維與化學(xué)思維的橋梁，打通運(yùn)用數(shù)學(xué)方法分析平衡圖像問題的思維通道。具體過程為： 先把化學(xué)問題抽象成數(shù)學(xué)問題（函數(shù)與圖像的關(guān)系），再把數(shù)學(xué)問題具象為化學(xué)問題（賦予函數(shù)與圖像以具體的化學(xué)含義）。通過化學(xué)與數(shù)學(xué)的學(xué)科交叉融合，實(shí)現(xiàn)對(duì)化學(xué)平衡原理與化學(xué)平衡圖像問題的深度教學(xué)。

3微粒濃度關(guān)系線性化的教學(xué)設(shè)計(jì)

3.1鋪墊： 把化學(xué)問題抽象成數(shù)學(xué)問題

把圖1中的平衡圖像抽象成如圖3所示的數(shù)學(xué)圖像，讓學(xué)生寫出圖像中兩條直線對(duì)應(yīng)的直線方程，即直線M為y=x+5.4，直線N為y=x+4.4。對(duì)學(xué)生而言，這是一個(gè)非常簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題，目的是借此讓學(xué)生明確圖像中兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，為后面的教學(xué)做好鋪墊。

3.2發(fā)現(xiàn)： 弱酸電離平衡常數(shù)表達(dá)式的圖像線性化

以二元弱酸H2S的電離為例： H2SHS-+H+， HS-S2-+H+。

結(jié)論： 將平衡常數(shù)表達(dá)式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，可實(shí)現(xiàn)平衡常數(shù)表達(dá)式的線性化（見表1）。

3.3體驗(yàn)： 已知碳酸的電離平衡常數(shù)畫直線圖像

給出碳酸的電離平衡常數(shù)： Ka1=10-6.4， Ka2=10-10.3，讓學(xué)生動(dòng)手畫出溶液pH與lg[c（HCO-3）/c（H2CO3）]、pH與lg[c（CO2-3）/c（HCO-3）]的圖像。學(xué)生可以畫出如圖4所示的圖像{圖中l(wèi)gX=lg[c（CO2-3）/c（HCO-3）]或lg[c（HCO-3）/c（H2CO3）]}。

3.4建模： 直線型平衡圖像問題的解決之道

以H2X的電離示例分析： H2XHX-+H+， HX-X2-+H+，其電離平衡常數(shù)表達(dá)式為： Ka1=[c（H+）·c（HX-）]/c（H2X）， Ka2=[c（H+）·c（X2-）]/c（HX-）。

焦點(diǎn)問題：

（1） 求算Ka1或Ka2的值;

（2） 判斷圖像中的兩條直線與有關(guān)微粒濃度的對(duì)應(yīng)關(guān)系;

（3） 判斷NaHX溶液的酸堿性或比較NaHX溶液中有關(guān)離子濃度大小。

問題解決策略：

第1步： 根據(jù)電離平衡常數(shù)表達(dá)式建立相應(yīng)的函數(shù)方程。

如： 根據(jù)Ka1表達(dá)式得pH=lg[c（HX-）/c（H2X）]-lgKa1①，根據(jù)Ka2表達(dá)式得pH=lg[c（X2-）/c（HX-）]-lgKa2②。

第2步： 取圖像中兩直線上的某一點(diǎn)，代入上述關(guān)系式，求出兩條直線對(duì)應(yīng)的Ka。

第3步： 由于Ka1>Ka2，比較第2步得到的兩個(gè)Ka的大小可知Ka值較大者為Ka1，且Ka值較大者對(duì)應(yīng)一級(jí)電離的平衡濃度關(guān)系式即式①。

第4步： 根據(jù)Kh=Kw/Ka1計(jì)算出Kh的值，比較Kh與Ka2的大小，據(jù)此判斷HX-的電離與水解程度相對(duì)大小，從而判斷溶液酸堿性或有關(guān)離子濃度的大小關(guān)系。若Kh>Ka2，則HX-的水解程度大于電離程度，NaHX溶液呈堿性，且c（Na+）>c（HX-）>c（OH-）>c（H2X）>c（X2-）>c（H+）;若Khc（HX-）>c（H+）>c（X2-）>c（H2X）>c（OH-）。

3.5進(jìn)階： 其他平衡常數(shù)表達(dá)式的線性化

3.5.1水的離子積常數(shù)（見表2）

水的電離方程式為： H2OH++OH-。

表2水的離子積常數(shù)表達(dá)式及其線性化

平衡常數(shù)表達(dá)式平衡常數(shù)表達(dá)式對(duì)數(shù)化

關(guān)系式Kw=c（H+）·c（OH-）pH+pOH+lgKw=0

變量關(guān)系c（H+）與c（OH-）為反比例函數(shù)關(guān)系pH與pOH為一次函數(shù)關(guān)系

圖像形狀曲線直線（斜率為-1）

示例（2013·山東）某溫度下，向一定體積0.1mol·L-1的醋酸溶液中逐滴加入等濃度的NaOH溶液，溶液中pOH[pOH=-lgc（OH-）]與pH的變化關(guān)系如圖5所示，則（）。

A M點(diǎn)所示溶液的導(dǎo)電能力強(qiáng)于Q點(diǎn)

B N點(diǎn)所示溶液中c（CH3COO-）>c（Na+）

C M點(diǎn)和N點(diǎn)所示溶液中水的電離程度相同

D Q點(diǎn)消耗NaOH溶液的體積等于醋酸溶液的體積

解析： Kw=c（H+）·c（OH-），兩邊取對(duì)數(shù)得pH+pOH=-lgKw，由此可知pOH與pH為線性關(guān)系。醋酸是弱酸，離子濃度較小，在滴加NaOH溶液的過程中，生成強(qiáng)電解質(zhì)，溶液中離子濃度增大，則M點(diǎn)溶液的導(dǎo)電能力比Q點(diǎn)弱，A錯(cuò);N點(diǎn)溶液呈堿性，即c（OH-）>c（H+），根據(jù)電荷守恒有c（CH3COO-）

3.5.2難溶鹽的溶度積常數(shù)（見表3）

以AgCl的溶解平衡為例： AgCl（s）Ag+（aq）+Cl-（aq）。

示例（2017·全國(guó)卷Ⅲ）在濕法煉鋅的電解循環(huán)溶液中，較高濃度的Cl-會(huì)腐蝕陽極板而增大電解能耗?？上蛉芤褐型瑫r(shí)加入Cu和CuSO4，生成CuCl沉淀從而除去Cl-。根據(jù)溶液中平衡時(shí)相關(guān)離子濃度的關(guān)系圖（見圖6），下列說法錯(cuò)誤的是（）。

A Ksp（CuCl）的數(shù)量級(jí)為10-7

B 除Cl-反應(yīng)為Cu+Cu2++2Cl-2CuCl

C 加入Cu越多，Cu+濃度越高，除Cl-效果越好

D 2Cu+Cu2++Cu平衡常數(shù)很大，反應(yīng)趨于完全

解析： Ksp（CuCl）=c（Cu+）·c（Cl-），兩邊取對(duì)數(shù)得lgc（Cu+）=-lgc（Cl-）+lgKsp（CuCl）， lgc（Cu+）與-lgc（Cl-）成直線關(guān)系，lgKsp（CuCl）為縱截距。由圖6可知，縱截距約為-6.7，即Ksp（CuCl）約為10-6.7，Ksp（CuCl）的數(shù)量級(jí)為10-7，A正確;反應(yīng)物為銅、硫酸銅以及氯離子，生成物為CuCl，反應(yīng)為Cu+Cu2++2Cl-2CuCl，B正確;加入固態(tài)物質(zhì)Cu對(duì)平衡無影響，C錯(cuò)誤;反應(yīng)2Cu+Cu2++Cu的平衡常數(shù)K=c（Cu2+）/c2（Cu+），從圖6中兩條曲線上任取橫坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的c（Cu2+）、c（Cu+）[如橫坐標(biāo)為0.5時(shí)，c（Cu2+）=c（Cu+）=10-6]代入計(jì)算可得K≈106>105，反應(yīng)趨于完全，D正確。選C。

3.5.3難溶氫氧化物的溶度積常數(shù)（見表4）

以Cu（OH）2的溶解平衡為例： Cu（OH）2（s）Cu2+（aq）+2OH-（aq）。

表4難溶氫氧化物溶度積常數(shù)表達(dá)式及其線性化

平衡常數(shù)表達(dá)式平衡常數(shù)表達(dá)式對(duì)數(shù)化

關(guān)系式Ksp=c（Cu2+）·c2（OH-）lgc（Cu2+）+2pH=lgKsp-2lgKw

變量關(guān)系c（Cu2+）與c（OH-）為冪函數(shù)lgc（Cu2+）與pH為一次函數(shù)關(guān)系

圖像形狀曲線直線（斜率為-2或-1/2）

示例25℃時(shí)，F(xiàn)e（OH）2和Cu（OH）2的飽和溶液中，金屬陽離子的物質(zhì)的量濃度的負(fù)對(duì)數(shù)[-lgc（M2+）]與溶液pH的變化關(guān)系如圖7所示，已知該溫度下，Ksp[Cu（OH）2]

A b線表示-lgc（Fe2+）與pH的關(guān)系，且Ksp[Fe（OH）2]=10-15.1

B 當(dāng)Fe（OH）2和Cu（OH）2沉淀共存時(shí)，溶液中： c（Fe2+）∶c（Cu2+）=1∶104.6

C 向X點(diǎn)飽和溶液中加入少量NaOH，可轉(zhuǎn)化為Y點(diǎn)對(duì)應(yīng)的溶液

D 除去CuSO4溶液中含有的少量Fe2+，可加入適量CuO

解析： 因?yàn)镵sp[Cu（OH）2]c（Cu2+），故b線表示Fe（OH）2飽和溶液中的變化關(guān)系，再由圖像可知，

4教學(xué)感悟

數(shù)學(xué)是研究人類思維方式的科學(xué)，是眾多門類科學(xué)的工具。將數(shù)學(xué)知識(shí)滲透到化學(xué)教學(xué)中，實(shí)際上就是將化學(xué)問題抽象成數(shù)學(xué)問題，即在化學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)工具，通過分析化學(xué)變量之間的相互關(guān)系，建立一定的數(shù)學(xué)關(guān)系或構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，最終達(dá)到解決問題的目的[1]。通常來說，具體的研究方法是通過化學(xué)原理建立化學(xué)模型，再尋找研究對(duì)象間的量變規(guī)律，使用數(shù)學(xué)方法對(duì)模型進(jìn)行處理，將其變?yōu)檫m當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，最后解決這個(gè)數(shù)學(xué)模型的問題，這樣一來，原本的化學(xué)問題也就解決了[2]。

課程結(jié)構(gòu)改革的一個(gè)重要方向就是實(shí)現(xiàn)多個(gè)學(xué)科間的交叉，在各學(xué)科教學(xué)中加強(qiáng)學(xué)科間的聯(lián)系，尤其是對(duì)于數(shù)學(xué)這種基礎(chǔ)性工具學(xué)科應(yīng)用到其他學(xué)科中，將會(huì)有非常顯著的效果[3]。將化學(xué)問題抽象成數(shù)學(xué)問題，既能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的新鮮感和探求欲望，更可以讓學(xué)生的思維得以飛躍，提升化學(xué)教學(xué)的品質(zhì)。

高考化學(xué)考試說明中，對(duì)考生思維能力的考查有明確的界定，其中重要的一條就是“將化學(xué)問題抽象成為數(shù)學(xué)問題，利用數(shù)學(xué)工具，通過計(jì)算和推理（結(jié)合化學(xué)知識(shí)），解決化學(xué)問題的能力”。近年來高考命題已順應(yīng)新課改的要求，很大程度上實(shí)現(xiàn)了由“知識(shí)立意”向“能力立意”的轉(zhuǎn)變，越來越重視和體現(xiàn)對(duì)學(xué)生綜合素質(zhì)、學(xué)科綜合能力的考查。高考對(duì)教學(xué)的指揮棒效應(yīng)，也正在促使化學(xué)教學(xué)必須注重培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法分析和解決化學(xué)問題的能力，提升學(xué)生的學(xué)科綜合素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]尹亞東.論化學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)知識(shí)的滲透[J].湘潭師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2002，24（4）： 120～125.

[2]靖曉風(fēng).淺談數(shù)學(xué)與化學(xué)的關(guān)系[J].中文科技期刊數(shù)據(jù)庫(kù)社會(huì)科學(xué)（引文版）， 2017，（1）： 51.

[3]曾鳴.數(shù)學(xué)與化學(xué)之間的關(guān)系[J].新課程（中旬）， 2016，（2）： 124.