雙范數(shù)混合約束的遙感影像亮度不均變分校正

李 爍，王 慧，耿則勛，于翔舟，盧蘭鑫

1. 信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450001； 2. 61618部隊(duì)，北京 100094； 3. 平頂山學(xué)院，河南 平頂山 467000； 4. 煤航信息產(chǎn)業(yè)有限公司，陜西 西安 710054

由于傳感器自身因素和光照、云霧等外部因素的影響，獲取的光學(xué)影像會(huì)在亮度上存在不同程度上的差異，導(dǎo)致影像質(zhì)量下降，進(jìn)而影響了影像的進(jìn)一步處理(如目標(biāo)判讀、影像勻色[1]、影像鑲嵌[2]等)及應(yīng)用。因此研究遙感影像亮度不均校正問(wèn)題，消除影像內(nèi)部的亮度差異，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義和應(yīng)用價(jià)值。

目前常用的影像亮度不均校正的方法可分為3類：統(tǒng)計(jì)信息法、數(shù)學(xué)模型法和頻率域?yàn)V波法。統(tǒng)計(jì)信息法是利用影像的統(tǒng)計(jì)信息進(jìn)行校正。文獻(xiàn)[3—4]利用直方圖均衡法進(jìn)行亮度不均校正，雖然計(jì)算簡(jiǎn)單，但是沒(méi)有考慮像素空間分布，通用性不強(qiáng)。文獻(xiàn)[5—6]提出一種基于均值方差的校正方法，可以同時(shí)解決亮度不均勻和方差不一致問(wèn)題，但是容易偏色改變地物性質(zhì)。數(shù)學(xué)模型法是根據(jù)局部亮度均值，利用數(shù)學(xué)模型擬合影像內(nèi)部的亮度分布，然后對(duì)不同部分進(jìn)行不同程度補(bǔ)償?shù)姆椒?，如文獻(xiàn)[7]提出的自適應(yīng)模板法。由于造成影像亮度分布不均勻的外部因素比較復(fù)雜，地物自身分布也不規(guī)則，因此采用數(shù)學(xué)模型方法進(jìn)行亮度校正時(shí)，很難自動(dòng)選取最適合的模型，而且影像中一些不規(guī)則的亮度區(qū)域也會(huì)導(dǎo)致不能準(zhǔn)確地?cái)M合影像的亮度變化。頻率域?yàn)V波法是最受關(guān)注的方法，文獻(xiàn)[8]提出基于加性模型的Mask方法，通過(guò)高斯低通濾波方法獲取光照影像，然后將其從原始影像中減去，達(dá)到亮度校正的目的。該方法簡(jiǎn)單實(shí)用，得到了較多學(xué)者的關(guān)注，并衍生出了很多改進(jìn)方法[9-10]。文獻(xiàn)[11]利用同態(tài)濾波法將入射分量與反射分量分離，在削弱低頻成分的同時(shí)增強(qiáng)高頻成分，消除非均勻光照目的。文獻(xiàn)[12]提出基于人眼視覺(jué)感知理論的Retinex校正方法，將影像經(jīng)過(guò)對(duì)數(shù)變換后，再利用低通濾波獲取光照分量，可以在校正亮度不均的同時(shí)避免色彩失真。在此基礎(chǔ)上，又發(fā)展出了單尺度Retinex[13]和多尺度Retinex算法[14-16]。頻率域?yàn)V波方法雖然對(duì)于陰影、亮斑等特殊區(qū)域不敏感，但原始影像與采用低通濾波方式獲取背景影像的差值或比值運(yùn)算可能會(huì)造成較多的信息損失，容易引起影像質(zhì)量的退化，同時(shí)濾波器設(shè)計(jì)和參數(shù)選擇需要一定的經(jīng)驗(yàn)和技巧。

隨著變分理論[17-18]的發(fā)展，文獻(xiàn)[19]提出一種基于變分Retinex的影像增強(qiáng)方法，文獻(xiàn)[20]將其引入遙感影像處理中，將光照影像估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為變分模型的最優(yōu)解問(wèn)題，為遙感影像亮度不均勻校正問(wèn)題提供一種新思路。但是只利用一種范數(shù)進(jìn)行約束，不能得到較好的校正結(jié)果。文獻(xiàn)[21]對(duì)邊緣信息和非邊緣信息采用不同范數(shù)約束，但是利用最速下降法求解變分模型，效率較低。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出一種雙范數(shù)混合約束的遙感影像亮度不均變分校正方法。首先，結(jié)合Retinex算法構(gòu)造變分能量模型，分別利用L1范數(shù)和L2范數(shù)[22]對(duì)反射圖像和光照?qǐng)D像進(jìn)行約束。然后，利用分裂Bregman方法[23-24]分步迭代求解，交替獲得反射圖像和光照?qǐng)D像的最佳近似估計(jì)。最后，將優(yōu)化后的光照?qǐng)D像與反射圖像重建得到亮度均勻的影像。

1 亮度不均變分校正模型

1.1 Retinex理論

Retinex理論，即視網(wǎng)膜大腦皮層理論，是由文獻(xiàn)[12]最早提出的關(guān)于人類視覺(jué)系統(tǒng)如何調(diào)節(jié)感知到物體顏色和亮度的理論。文獻(xiàn)[12]通過(guò)大量試驗(yàn)證明，人眼對(duì)物體顏色的感知只與視覺(jué)系統(tǒng)對(duì)物體反射特性的知覺(jué)有關(guān)，不會(huì)因外界光照條件的改變而變化。

根據(jù)Retinex理論，一幅影像是由光照影像和反射影像兩部分組成，數(shù)學(xué)模型如下

S(x,y)=L(x,y)×R(x,y)

(1)

式中，(x,y)為像素點(diǎn)坐標(biāo)；S(x,y)為原始影像；L(x,y)為光照影像；R(x,y)為反射影像。

通常為了簡(jiǎn)化計(jì)算，采用對(duì)數(shù)變換將式(1)由復(fù)雜的乘積運(yùn)算變?yōu)楹?jiǎn)單的加減運(yùn)算，即

s(x,y)=l(x,y)+r(x,y)

(2)

式中，s、l、r分別為S、L、R的對(duì)數(shù)域表示，即s=lgS，l=lgL，r=lgR。

光照影像反映了獲取影像時(shí)的光照條件，反射影像則對(duì)應(yīng)地物自身的屬性。如果能先估計(jì)出光照影像，然后將其從原始影像中去除，獲得地物的原貌，即可在消除亮度不均的同時(shí)保持影像中地物的色彩信息，達(dá)到亮度校正的目的。

1.2 變分校正模型

Retinex理論的核心思想是將一幅影像分解為光照影像和反射影像，即由一個(gè)已知變量求解出兩個(gè)未知變量，屬于數(shù)學(xué)上的病態(tài)反問(wèn)題，可采用變分正則化的方法求解。文獻(xiàn)[20]以求解光照影像為目標(biāo)，提出基于Retinex算法的變分框架(variational framework retinex,VFR)，數(shù)學(xué)模型如下

(3)

也可表示為

(4)

該模型是基于假設(shè)光照影像和反射影像具有空間平滑性提出的，對(duì)兩者均采用L2范數(shù)進(jìn)行約束，存在一定的不合理性：

(1) 反射影像是由影像中地物本身性質(zhì)決定的，包含了描述地物內(nèi)部差異的紋理信息和地物之間的邊緣信息，但L2范數(shù)保持邊緣和細(xì)節(jié)的能力較差。

(2) 變分模型中未引入反射變量r，反射影像的求解是在計(jì)算出光照影像的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，得到的結(jié)果不一定最優(yōu)。

基于以上分析，本文將反射分量r加入變分方程并用L1范數(shù)對(duì)其進(jìn)行約束，重新構(gòu)造變分模型如下

(5)

與VFR方法相比，本文方法同時(shí)考慮了光照影像和反射影像各自的性質(zhì)，對(duì)兩個(gè)變量分別采用不同方法進(jìn)行約束，可以更合理地求解光照影像和反射影像。與VFR方法不同，本文僅將反射影像R的取值范圍約束為R≥0，而非[0,1]，即不認(rèn)為L(zhǎng)≥S一定成立。這是由于R的數(shù)值較小，迭代計(jì)算過(guò)程中強(qiáng)制約束R∈[0,1](r≤0)會(huì)損失較多能量，導(dǎo)致獲得的反射影像不準(zhǔn)確。同時(shí)本文的約束條件也更符合實(shí)際情況，影像中的高亮區(qū)并非全部是高光照的原因，也有地物高反射率的影響。

2 變分模型求解

由于本文提出的變分模型中包含兩種混合范數(shù)，直接求解往往比較困難，本文采用分裂Bregman方法引入輔助變量b1、b2、c1、c2，使L1范數(shù)和L2范數(shù)約束項(xiàng)不直接相關(guān)，得到如下約束優(yōu)化問(wèn)題

(6)

式中

(7)

(8)

添加4個(gè)二次懲罰函數(shù)項(xiàng)，可將式(6)由約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束問(wèn)題，如式(9)所示

(9)

式中

(10)

(11)

(12)

(13)

為了簡(jiǎn)化上述最小化問(wèn)題，本文采用交替迭代方法[25]，將變分模型的求解分解為3個(gè)子問(wèn)題：

(1) 反射分量r最優(yōu)化子問(wèn)題

(14)

對(duì)式(4)求導(dǎo)，得

(15)

整理，得

(16)

(2) 光照分量l最優(yōu)化子問(wèn)題

(17)

對(duì)式(17)求導(dǎo)，得

(18)

整理，得

(19)

(3) 輔助變量最優(yōu)化子問(wèn)題

(20)

(21)

通過(guò)迭代收縮算法，可以得到式(20)、式(21)的近似解

(22)

(23)

(24)

(25)

式中

(26)

當(dāng)殘差‖lk+1-lk‖/‖lk‖小于限差ε時(shí)停止迭代，獲得最優(yōu)l和r，再對(duì)二者進(jìn)行指數(shù)變換，即可得到光照影像L和反射影像R。理想的校正結(jié)果應(yīng)該是亮度均勻并且亮度、色彩、對(duì)比度與原始影像近似，因此，本文作以下增強(qiáng)處理：

(1) 對(duì)光照影像進(jìn)行Gamma校正，即

(27)

(2) 取校正后光照影像L′的均值與反射影像R相乘，即

(28)

(3) 對(duì)S′進(jìn)行拉伸處理，提高對(duì)比度

(29)

式中，v為拉伸參數(shù)，取值范圍為(-127,127)，經(jīng)過(guò)拉伸后的影像Sout即為亮度校正后的結(jié)果影像。

綜上所述，本文提出的雙范數(shù)混合約束的遙感影像亮度不均校正方法流程如圖1所示。處理彩色影像時(shí)，本文將影像由RGB色彩模型轉(zhuǎn)換為HSI色彩模型，只對(duì)亮度I通道進(jìn)行處理。

3 試驗(yàn)與分析

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，利用遙感影像進(jìn)行以下3組試驗(yàn)并與VFR方法進(jìn)行比較。試驗(yàn)平臺(tái)為Intel Core i5 CPU、8 GB內(nèi)存的PC機(jī)，編程語(yǔ)言為Matlab。本文方法需要設(shè)置4個(gè)參數(shù)，λ1對(duì)結(jié)果影響不大，具有穩(wěn)定性；λ2越小，問(wèn)題越正定；γ1越小，收斂速度越快，γ2越大，光照影像越平滑。通過(guò)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)以下參數(shù)對(duì)不同數(shù)據(jù)都能取得較好結(jié)果：λ1=0.1，λ2=0.000 1，γ1=0.000 2，γ2=200，在保證校正結(jié)果質(zhì)量的同時(shí)收斂速度較快，因此本文試驗(yàn)均采用這組參數(shù)。VFR方法的參數(shù)設(shè)置為α=0.000 01，β=0.1[20]，文中所有試驗(yàn)均采用同一組參數(shù)。

3.1 試驗(yàn)1：亮度均勻性對(duì)比

試驗(yàn)數(shù)據(jù)為3幅1024×1024像素的亮度分布不均勻的遙感影像，如圖2(a)、圖3(a)和圖4(a)所示。圖2(a)(影像Ⅰ)和圖3(a)(影像Ⅱ)分別為局部過(guò)暗的灰度農(nóng)村影像和城市彩色影像，圖4(a)(影像Ⅲ)為局部過(guò)曝的島礁影像。分別采用VFR方法和本文方法對(duì)3幅影像進(jìn)行處理，圖2(b)、圖3(b)、圖4(b)為VFR方法的試驗(yàn)結(jié)果，圖2(c)、圖3(c)、圖4(c)為本文方法的試驗(yàn)結(jié)果。

圖1 本文方法流程Fig.1 Flowchart of the proposed method

從目視效果看，VFR方法對(duì)影像Ⅰ和影像Ⅱ的校正結(jié)果比較理想，整體光照比較均勻。但是，在存在水域亮斑的影像Ⅲ的處理結(jié)果即圖4(b)中，右上角出現(xiàn)了局部亮斑。相比而言，本文方法的3幅校正結(jié)果亮度分布都比較均勻，目視效果較好。

為了進(jìn)一步比較兩種方法校正結(jié)果影像亮度的均勻性，將校正影像分成4×4的16個(gè)影像塊，按照從上至下、從左至右的順序編號(hào)，計(jì)算各影像塊的亮度均值并繪制亮度分布折線圖，如圖5所示?？梢钥闯觯疚姆椒ǖ男ＵY(jié)果的亮度分布曲線更加平滑，而VFR方法各影像塊的亮度均值離散程度相對(duì)較大，說(shuō)明本文方法較VFR方法在亮度均勻性上有明顯的優(yōu)勢(shì)。

3.2 試驗(yàn)2：邊緣檢測(cè)對(duì)比

為了對(duì)比本文方法與VFR方法保持影像紋理與細(xì)節(jié)能力的優(yōu)劣性，本文利用Canny算子對(duì)6幅校正影像進(jìn)行邊緣檢測(cè)。圖6(a)—(c)為VFR方法校正影像的邊緣檢測(cè)結(jié)果，圖7(a)—(c)為VFR方法校正影像的邊緣檢測(cè)結(jié)果。

對(duì)比圖6與圖7可知，本文方法校正影像的邊緣檢測(cè)結(jié)果優(yōu)于VFR方法，道路提取邊緣比較完整，如圖7(a)和圖7(b)所示。而VFR方法校正影像中檢測(cè)的道路邊緣不完整，如圖6(a)所示，甚至道路中間出現(xiàn)斷裂，如圖6(b)所示。對(duì)比圖6(c)和圖7(c)可以看出，VFR方法處理的影像檢測(cè)的島礁邊緣也不如本文方法準(zhǔn)確。這是由于VFR方法僅采用了L2范數(shù)對(duì)光照影像的光滑性進(jìn)行約束，而本文綜合考慮了光照影像和反射影像的不同性質(zhì)，采用L1范數(shù)和L2范數(shù)混合約束，因此保持影像紋理和細(xì)節(jié)能力要優(yōu)于VFR方法。

圖3 影像Ⅱ的校正結(jié)果Fig.3 Corrected results of image Ⅱ

圖4 影像Ⅲ的校正結(jié)果Fig.4 Corrected results of image Ⅲ

圖5 校正影像的亮度分布折線圖Fig.5 Line charts of illumination distribution of corrected images

圖6 VFR方法校正影像的邊緣檢測(cè)結(jié)果Fig.6 Edge detection results of corrected images with VFR method

圖7 本文方法校正影像的邊緣檢測(cè)結(jié)果Fig.7 Edge detection results of corrected images with the proposed method

3.3 試驗(yàn)3：定量評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)比

為了定量評(píng)價(jià)試驗(yàn)結(jié)果，分別統(tǒng)計(jì)各校正影像的熵、平均梯度和標(biāo)準(zhǔn)差，3種影像質(zhì)量評(píng)價(jià)參數(shù)的值越大，說(shuō)明影像的紋理和細(xì)節(jié)信息越豐富。其次，統(tǒng)計(jì)各影像塊亮度均值的標(biāo)準(zhǔn)差，影像塊標(biāo)準(zhǔn)差越大，說(shuō)明各塊的亮度均值離散程度越大，影像內(nèi)部亮度分布越不均勻。最后統(tǒng)計(jì)VFR方法和本文方法的處理時(shí)間，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示。

表1 試驗(yàn)結(jié)果定量評(píng)價(jià)

由表1可知，本文方法校正影像的熵、平均梯度和標(biāo)準(zhǔn)差均優(yōu)于VFR方法，平均梯度和標(biāo)準(zhǔn)差提高了15%以上，說(shuō)明本文方法校正影像的紋理和細(xì)節(jié)更豐富。另外，本文方法校正影像的分塊均值標(biāo)準(zhǔn)差減小至3以內(nèi)，約為VFR方法結(jié)果的1/4，說(shuō)明本文方法校正影像內(nèi)部亮度分布更均勻，與目視效果一致，驗(yàn)證了雙范數(shù)約束的有效性。在運(yùn)行速度方面，本文方法和VFR方法均為基于變分模型的迭代求解，VFR方法采用最速下降法求解，而本文方法采用分裂Bregman迭代法進(jìn)行優(yōu)化，具有更快的速度，效率提高了7倍以上。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)遙感影像內(nèi)部亮度分布不均勻問(wèn)題，提出一種雙范數(shù)混合約束的遙感影像亮度不均變分校正方法。試驗(yàn)結(jié)果表明，相比于利用單范數(shù)約束的VFR方法，本文方法更具優(yōu)勢(shì)，可以更好地消除亮度不均勻現(xiàn)象和保持影像的紋理和細(xì)節(jié)信息；與VFR采用的最速下降法相比，本文采用的分裂Bregman方法效率更高，求解速度提高了7倍以上。然而在試驗(yàn)過(guò)程中也發(fā)現(xiàn)了本文的局限性，迭代初始值會(huì)影響收斂速度。為了提高算法的實(shí)用性，后續(xù)需要研究多尺度變分方法，利用低分辨率影像的結(jié)果作為高分辨率影像迭代的初始值，提高算法收斂速度。