淺談導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

陳金保

摘要：眾所周知，導(dǎo)數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)研究的基礎(chǔ)部分，也是人類進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他自然學(xué)科的關(guān)鍵內(nèi)容。導(dǎo)數(shù)是建立在極限思想的基礎(chǔ)上，它涉及了初中、高中數(shù)學(xué)教材的各個(gè)方面，而且涵蓋了兩冊(cè)大學(xué)數(shù)學(xué)分析課本。也就是說(shuō)，從小學(xué)到大學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都離不開(kāi)導(dǎo)數(shù)，所以，對(duì)于高中生的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的地位是十分高的。本文從導(dǎo)數(shù)的定義出發(fā)，由一些例子的展示，分析了導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的一些重要應(yīng)用，以便于學(xué)生能夠更好地理解導(dǎo)數(shù)的定義，接受高中導(dǎo)數(shù)的理論學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù);函數(shù)切線斜率;最值和極值

中圖分類號(hào)：G633.6? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ?文章編號(hào)：1992-7711（2018）09-0105

導(dǎo)數(shù)如此重要，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)必不可少的一個(gè)工具，是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的一個(gè)連接紐帶。學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)知識(shí)可以在實(shí)際應(yīng)用中快速準(zhǔn)確求出函數(shù)的切線斜率，還可以準(zhǔn)確又簡(jiǎn)潔的求出曲線的切線方程，也可以求出函數(shù)的最大值、最小值、極大值以及極小值，即利用導(dǎo)數(shù)可以解決生產(chǎn)和生活中常見(jiàn)的能用數(shù)學(xué)知識(shí)解決的最優(yōu)決策和最優(yōu)設(shè)計(jì)問(wèn)題。導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)不僅僅能讓學(xué)生更好的理解函數(shù)的性質(zhì)，掌握函數(shù)思想，而且在很大程度上能夠拓展學(xué)生的解題思路，并且能夠進(jìn)一步提高學(xué)生分析問(wèn)題的能力和解決問(wèn)題的能力。

一、導(dǎo)數(shù)的定義分析

二、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線斜率

函數(shù)的切線斜率的求解其實(shí)是利用了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即：若函數(shù)f在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)是曲線y=f（x）在點(diǎn)（x₀，y₀）處的切線斜率。若表示這條切線與x軸正向的夾角，則f′（x₀）=0，即這條切線的斜率是這個(gè)夾角的正切值。從而我們可以得出結(jié)論，當(dāng)f′（x₀）>0時(shí)，表明切線與軸正向的夾角是一個(gè)銳角;當(dāng)f′（x₀）<0時(shí)，表明切線與x軸正向的夾角為一個(gè)鈍角;當(dāng)f′（x₀）=0時(shí)表示切線與x軸平行，通過(guò)這個(gè)方法也同樣可以求出曲線的切線方程，即首先要求利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義出函數(shù)的切線斜率，然后把已知的點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式中，即可求出函數(shù)的切線方程。具體有以下例子說(shuō)明：

例1.已知曲線l：y=x²-2x+a，求切點(diǎn)為P（2，1）的曲線的方程。

解：因y=x²-2x+a，所以y′=2x-2

則當(dāng)x=2時(shí)，y=a，y=2

當(dāng)a=1時(shí)，點(diǎn)p（2，-1）在曲線上，故過(guò)點(diǎn)p的曲線l的切線方程可表示為：

y-（-1）=2（x-2）即2x-y-5=0。

這道例題就是先用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，然后再把已知點(diǎn)代入表達(dá)式。

三、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題

我們都知道，函數(shù)的單調(diào)性是指一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)或者在其定義域內(nèi)的單調(diào)增減性的變化規(guī)律，這是研究函數(shù)的圖形時(shí)首先需要考慮的一個(gè)關(guān)鍵性問(wèn)題。而且在中學(xué)的時(shí)候，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)并掌握了函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)或定義域內(nèi)的單調(diào)增減性的定義。現(xiàn)在，高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)讓我們更深入的了解其定義并且能更容易判斷函數(shù)增減性及確定其單調(diào)區(qū)間。

我們現(xiàn)在可以深入挖掘一下函數(shù)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用涵義，假設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)區(qū)間[a，b]中可導(dǎo)，則會(huì)有以下三個(gè)結(jié)論：1. 若對(duì)區(qū)間（a，b）中所有的x而言f′（x₀）>0，則f（x）在（a，b）中遞增;2. 若對(duì)區(qū)間（a，b）中所有的x而言f′（x₀）<0，則f（x）在（a，b）中遞減;3. 若對(duì)區(qū)間（a，b）中f′（x₀）=0所有的x而言，則f（x）在（a，b）中不變。由此可見(jiàn)，只要能夠求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即求出函數(shù)的切線的斜率，同時(shí)判斷它大于0的還是小于0的，就能判斷函數(shù)的單調(diào)增減性，這種方法不僅更方便，而且更加直觀。

例2.已知函數(shù)f（x）=ax²+1（a>0），g（x）=x³+bx。（1）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在他們的交點(diǎn)（1，c）處具有公共切線，求a，b的值。（2）當(dāng)a²=4b時(shí)，求函數(shù)f（x）+g（x）的單調(diào)區(qū)間。

解：（1）f′（x）=2ax，g′（x）=3x²+b，

由題知，f（1）=g（1），f′（1）=g′（1），故a+1=1+b，2a=3+b，

最后解得a=3，b=3，

所以函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-a/2），（-a/6，-∞）;單調(diào)遞減區(qū)間為（-a/2，-a/6）

四、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值問(wèn)題

函數(shù)值由增加到減少或者是由減少到增加，都經(jīng)過(guò)一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，即圖中的“峰值”點(diǎn)和“谷值”點(diǎn)，這些點(diǎn)是在研究函數(shù)中是十分重要的。極值的求法是這樣定義的：設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=x0及其區(qū)間左右兩側(cè)附近有定義，若對(duì)該區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)x（x=x0）恒有f（x）f（x0）成立，則f（x0）為極小值。由以下例子具體說(shuō)明：

例3.設(shè)f（x）=alnx+1/2x+3/2x+1，其中a∈R，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（x））處的切線垂直于y軸。（1）求a的值;（2）求函數(shù)f（x）的極值。

五、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問(wèn)題

在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)和日常生活中，我們常常遇到這些問(wèn)題，例如：如何合理的使用原料才能達(dá)到最省，而且成本最低，效率最高或者是效益效率最好的目的的問(wèn)題，這些問(wèn)題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，稱為函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題，即最值問(wèn)題。假定函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則必存在最大、最小值，其判定的一般步驟和方法是：1. 求導(dǎo)數(shù)f′（x）;2. 求方程f′（x）=0的根;3. 檢驗(yàn)f′（x）在方程f′（x）=0的根的左右符號(hào)。若在根左側(cè)附近大于0，右側(cè)附近的值小于0，那么，函數(shù)y=f（x）在這個(gè)根處能夠取得極大值;若在根左側(cè)附近的值小于0，右側(cè)附近大于0，那么，函數(shù)y=f（x）在這個(gè)根處能夠取得極小值。對(duì)于在閉區(qū)間[a，b]連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)f（x）對(duì)的最大值和最小值，可以首先求出函數(shù)在開(kāi)區(qū)間（a，b）上的極大（?。┲担⑴c函數(shù)定義域端點(diǎn)值f（a），f（b）比較，即可得出最大（?。┲怠Ｓ梢韵吕泳唧w說(shuō)明：

總之，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用涉及到高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的很多內(nèi)容，本文僅僅討論了導(dǎo)數(shù)在四個(gè)方面的應(yīng)用。由此可見(jiàn)，高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，不僅拓展了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思路，而且還擴(kuò)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生體味到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)極限思想和方法，對(duì)學(xué)生是十分有幫助的。所以，高中數(shù)學(xué)中所學(xué)的導(dǎo)數(shù)是我們研究高中數(shù)學(xué)的一個(gè)有力工具，在高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)能夠幫助學(xué)生解決許多數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題，讓學(xué)生更加牢固的掌握高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，為大家進(jìn)一步的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，更有效的提高學(xué)生的數(shù)學(xué)考試成績(jī)，掌握獨(dú)特的學(xué)習(xí)方法。一句話，導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)是高中生學(xué)好數(shù)學(xué)、打好基礎(chǔ)的關(guān)鍵。

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