面向控制的固沖發(fā)動機(jī)建模技術(shù)研究

宋少倩，陳新民，盧 鑫，劉 娟，韓英宏

（中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京，100076）

0 引 言

固體火箭沖壓發(fā)動機(jī)（以下簡稱固沖發(fā)動機(jī)）與固體火箭發(fā)動機(jī)相比具有比沖高且推力連續(xù)可調(diào)的優(yōu)點(diǎn)，采用固沖發(fā)動機(jī)的導(dǎo)彈通常以推力控制為手段實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈速度的主動控制，從而獲得更遠(yuǎn)射程等更優(yōu)性能。固沖發(fā)動機(jī)作為導(dǎo)彈速度控制的控制對象，其模型的準(zhǔn)確性是掌握固沖發(fā)動機(jī)特性、設(shè)計(jì)高效合理的控制方法及提高控制品質(zhì)的基礎(chǔ)，從而發(fā)揮固沖發(fā)動機(jī)的最佳性能，實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈總體最優(yōu)性能。

針對流量可調(diào)的發(fā)動機(jī)，國內(nèi)外開展了不同精度和復(fù)雜程度的發(fā)動機(jī)模型研究。文獻(xiàn)[1]針對某航空渦軸發(fā)動機(jī)的調(diào)節(jié)器需求，分別開展了調(diào)節(jié)器的靜態(tài)特性和動態(tài)特性模型研究，并利用試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證；文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[3]對固沖發(fā)動機(jī)的負(fù)調(diào)特性進(jìn)行了機(jī)理分析，給出了發(fā)生原因和影響因素，但其對模型的假設(shè)約束過強(qiáng)；文獻(xiàn)[4]給出了一種噴氣發(fā)動機(jī)的離線模型和在線模型的建模方法，對于固沖發(fā)動機(jī)建模有一定借鑒意義。目前，用于導(dǎo)彈速度控制的固沖發(fā)動機(jī)建模方法相對較少，本文主要針對該問題進(jìn)行研究。

本文立足固沖發(fā)動機(jī)工作原理，從控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與仿真需求角度出發(fā)開展面向控制的固沖發(fā)動機(jī)建模技術(shù)研究，包括固沖發(fā)動機(jī)穩(wěn)態(tài)性能模型和動態(tài)特性模型的建立。本文所提出的穩(wěn)態(tài)性能模型設(shè)計(jì)方法，可使固沖發(fā)動機(jī)性能與總體、環(huán)境參數(shù)有效解耦，提高各系統(tǒng)研制效率。本文采用Jacobian線性化法[5]所建立的線性變參數(shù)（Linear Parameter Varying，LPV）模型可以較好地反映固沖發(fā)動機(jī)的動態(tài)特性，同時便于工程上采用經(jīng)典控制理論對控制對象進(jìn)行綜合與分析。

1 穩(wěn)態(tài)性能建模

固沖發(fā)動機(jī)的穩(wěn)態(tài)性能是指發(fā)動機(jī)在不同空氣來流和燃?xì)饬髁拷M合下的推力特性 F和喘振裕度δ，其中喘振裕度用來表征進(jìn)氣道是否處于穩(wěn)定工作狀態(tài)，計(jì)算公式為

式中 m˙5為噴管出口截面的燃?xì)赓|(zhì)量流量； V5為噴管出口燃?xì)饬魉伲?m˙K為來流空氣質(zhì)量流量； VH為來流在發(fā)動機(jī)推力矢量方向的分量速度；p5為噴管出口壓強(qiáng)；pH為環(huán)境壓強(qiáng)；A5為出口面積；p0為進(jìn)氣道來流靜壓；p2為進(jìn)氣道出口靜壓； pin為進(jìn)氣道最大反壓比。

由式（1）、式（2）可知，固沖發(fā)動機(jī)的穩(wěn)態(tài)性能計(jì)算較為復(fù)雜，除與發(fā)動機(jī)自身參數(shù)有關(guān)外，還與來流參數(shù)密切相關(guān)，如不同飛行狀態(tài)下的空氣密度、壓強(qiáng)等。通常將固沖發(fā)動機(jī)穩(wěn)態(tài)性能直接表示為高度、馬赫數(shù)、攻角、側(cè)滑角和燃?xì)饬髁康暮瘮?shù)，即F =f(H,M a ,α ,β, m ˙f0)，將大氣模型包含在穩(wěn)態(tài)性能中。這種傳統(tǒng)建模方式使固沖發(fā)動機(jī)性能與大氣環(huán)境緊密耦合，不利于固沖發(fā)動機(jī)性能偏差組成的識別，在大氣環(huán)境模型復(fù)雜的情況下，該方式使得固沖發(fā)動機(jī)性能建模更為繁瑣，增大了控制系統(tǒng)對固沖發(fā)動機(jī)穩(wěn)態(tài)性能、導(dǎo)彈性能分析及評估的難度。

本文從控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與仿真角度提出一種新的穩(wěn)態(tài)性能接口方法，將大氣模型和飛行狀態(tài)從固沖發(fā)動機(jī)推力性能中剝離，即表示為F= q S·Cp(P,T,M a,α,β,m ˙f0) ，其中：q為來流動壓，S為參考面積，pC為推力系數(shù)，如圖1所示。該穩(wěn)態(tài)性能建模方法可使動力系統(tǒng)與總體參數(shù)、環(huán)境解耦，使得固沖發(fā)動機(jī)性能物理概念更加清晰，且不損失性能模型的精度，有利于控制系統(tǒng)的分析、設(shè)計(jì)與仿真，有利于導(dǎo)彈系統(tǒng)的工程研制。

圖1 穩(wěn)態(tài)性能接口示意Fig.1 Schematic Diagram of Steady Characteristics Interface

2 動態(tài)特性建模

固沖發(fā)動機(jī)動態(tài)特性是指發(fā)動機(jī)從接收燃?xì)饬髁恐噶畹疆a(chǎn)生推力的響應(yīng)特性，其組成如圖2所示。

圖2 固沖發(fā)動機(jī)模型框圖Fig.2 Block Diagram of Solid Ducted Rocket Model

固沖發(fā)動機(jī)的工作原理是首先根據(jù)離線經(jīng)驗(yàn)公式將燃?xì)饬髁恐噶顡Q算成壓強(qiáng)指令，然后比較燃?xì)獍l(fā)生器內(nèi)實(shí)際壓強(qiáng)與目標(biāo)壓強(qiáng)，驅(qū)動燃?xì)獍l(fā)生器調(diào)節(jié)閥的開度，改變噴管喉部面積，調(diào)節(jié)燃?xì)饬髁看笮?，從而達(dá)到調(diào)節(jié)推力的目的。

根據(jù)組成結(jié)構(gòu)將固沖發(fā)動機(jī)分為流量調(diào)節(jié)裝置和補(bǔ)燃室兩大部分。補(bǔ)燃室的燃燒特性相對緩慢，一般根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)用一階慣性環(huán)節(jié)FG描述。流量調(diào)節(jié)裝置是反映了燃?xì)饬髁康捻憫?yīng)特性，其組成環(huán)節(jié)多且動態(tài)過程復(fù)雜，需重點(diǎn)研究。

2.1 非線性微分方程

流量調(diào)節(jié)裝置由燃?xì)饬髁靠刂破?、調(diào)節(jié)閥、燃?xì)獍l(fā)生器和燃?xì)饬髁枯敵?部分組成。

燃?xì)饬髁靠刂破鞯墓δ苁菍⑷細(xì)饬髁恐噶钷D(zhuǎn)換為壓強(qiáng)指令，同時根據(jù)壓強(qiáng)指令和反饋壓強(qiáng)的差值輸出執(zhí)行機(jī)構(gòu)的角度指令，數(shù)學(xué)公式如下：

式中rcP為壓強(qiáng)指令；rP為燃?xì)獍l(fā)生器內(nèi)壓強(qiáng)；fcm˙為燃?xì)饬髁恐噶?；Pρ為推進(jìn)劑密度；bA為藥柱截面積；a為燃速系數(shù)；0T為推進(jìn)劑初溫；τ為推進(jìn)劑燃速溫度敏感系數(shù)；cθ為伺服閥轉(zhuǎn)角；n為燃速壓強(qiáng)指數(shù)。

調(diào)節(jié)閥的功能是響應(yīng)控制器給出的角度指令，實(shí)現(xiàn)調(diào)節(jié)閥開度調(diào)節(jié)，用二階傳遞函數(shù)sfG 表示其動態(tài)特性。

燃?xì)獍l(fā)生器是流量調(diào)節(jié)裝置的核心部件，該系統(tǒng)是一個充滿高溫高壓燃?xì)?、可積累工質(zhì)質(zhì)量和熱量的容器。在建模過程中假設(shè)：a）燃?xì)獍l(fā)生器內(nèi)的氣體參數(shù)處處相等；b）燃?xì)夥睦硐霘怏w狀態(tài)方程；c）燃?xì)獍l(fā)生器內(nèi)溫度保持不變。流量調(diào)節(jié)裝置的非線性微分方程為[6]

式中rV為自由容積；*rC為特征速度；rAt為喉部面積；X為藥柱消耗肉厚；R為特征速度。

燃?xì)饬髁坑?jì)算模塊的功能是根據(jù)燃?xì)獍l(fā)生器當(dāng)前壓強(qiáng)計(jì)算燃?xì)饬髁宽憫?yīng)值，具體如下：

2.2 線性變參數(shù)模型的建立

對于較復(fù)雜的非線性微分方程，很難得到其解析解。LPV模型通過描述非線性系統(tǒng)的一系列局部特性，利用狀態(tài)或輸入的小擾動，使其能夠解析求解而又具有必要的工程精度。同時，相對于傳統(tǒng)線性模型，LPV模型的優(yōu)點(diǎn)在于可以運(yùn)用線性系統(tǒng)理論的方法進(jìn)行變增益控制器的設(shè)計(jì)，其增益隨著調(diào)度參數(shù)的變化而變化，而調(diào)度參數(shù)的變化能夠體現(xiàn)出系統(tǒng)的非線性和時變性，能夠保證參數(shù)在較大范圍內(nèi)劇烈變化時系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性[7]。

建立LPV模型的方法有：Jacobian線性化法、狀態(tài)變化法和函數(shù)替代法，其中Jacobian線性化法是應(yīng)用最普遍的一種方法[5]。本文采用Jacobian線性化法建立固沖發(fā)動機(jī)的LPV模型。設(shè)某非線性微分方程組為

式中 x為系統(tǒng)狀態(tài)；u為系統(tǒng)輸入信號；z為所控制的誤差信號；y為輸入到控制系統(tǒng)的測量輸出信號；w為外部調(diào)參信號或者外來信號如參考信號；v通常指干擾和噪聲輸入信號。

根據(jù)非線性系統(tǒng)的時變特性，選擇調(diào)參變量θ，在一 個 多 胞 集 合 Θ 內(nèi) ， 即 θ∈ C o (Θ)，為事先未知但可測量和估計(jì)的矢量參數(shù)。

柵格化參數(shù)空間，可得式（6）的一系列平衡點(diǎn)xe(θ)， ve(θ)， ue(θ)和 we(θ)滿足：

則，式（6）可寫成如下的LPV模型：

式（7）中系統(tǒng)狀態(tài)矩陣為方程偏導(dǎo)數(shù)在平衡點(diǎn)處的值，例如：

燃?xì)饬髁堪l(fā)生器的動態(tài)特性是指其在控制作用下的運(yùn)動特性。在導(dǎo)彈飛行過程中，固沖發(fā)動機(jī)并非僅在一個狀態(tài)點(diǎn)工作，而是在飛行包線下狀態(tài)量變化范圍內(nèi)工作的。在整個飛行包線內(nèi)建立燃?xì)饬髁康腖PV模型可以提高其與非線性模型的匹配度，為LPV魯棒控制器的設(shè)計(jì)奠定基礎(chǔ)。

根據(jù) LPV理論和固沖發(fā)動機(jī)的非線性微分方程知，燃?xì)饬髁空{(diào)節(jié)裝置是一個三階三元微分方程，控制器為前置的輸入方程，燃?xì)饬髁坑?jì)算模塊為輸出方程，狀態(tài)量為燃?xì)獍l(fā)生器內(nèi)壓強(qiáng)、自由容積和藥柱長度，輸入量為伺服閥角度，輸出量為燃?xì)饬髁俊?/p>

選取微分方程的狀態(tài)變量[PrVrX]為調(diào)參變量，并求解式（8），可得燃?xì)獍l(fā)生器穩(wěn)態(tài)時飛行包線內(nèi)不同狀態(tài)量組合下的伺服閥角度值θtrim。

當(dāng)燃?xì)獍l(fā)生器藥柱為端面燃燒藥柱，藥柱燃燒面積保持不變時，即(X)為定值，則配平角度θtrim僅與壓強(qiáng)有關(guān)，如圖3所示。

圖3 配平角度隨燃?xì)獍l(fā)生器壓強(qiáng)的變化曲線Fig.3 Relationship between Trim Angle and the Pressure of Gas Generator

由圖3可知，燃?xì)馐覂?nèi)壓強(qiáng)越大時所需的角度越大，對應(yīng)的伺服閥開度越小。

在平衡點(diǎn)處對式（3）～（5）進(jìn)行泰勒展開，去掉高次項(xiàng)，可得流量調(diào)節(jié)裝置的LPV模型為

則，在每一個固定點(diǎn)trimθ，式（9）描述了式（3）～（5）在該點(diǎn)的局部特性。

2.3 傳遞函數(shù)的綜合與分析

燃?xì)饬髁垦b置在產(chǎn)生燃?xì)饬髁康倪^程中，其狀態(tài)參數(shù)均是隨時間變化的，因此，LPV模型總是變系數(shù)線性微分方程組。采用系數(shù)“凍結(jié)”法[8]，將某時刻的LPV模型變?yōu)槌Ｏ禂?shù)線性系統(tǒng)進(jìn)行分析和綜合，從而可運(yùn)用線性系統(tǒng)理論了解燃?xì)饬髁康膭討B(tài)特性。

將某一時刻的燃?xì)獍l(fā)生器 LPV模型進(jìn)行拉氏變換，其輸入方程為

圖4 固沖發(fā)動機(jī)控制框示意Fig.4 Control Diagram of Solid Ducted Rocket

推導(dǎo)可得燃?xì)饬髁空{(diào)節(jié)裝置的傳遞函數(shù)如下式：

式中 K為增益； z1， z2為零點(diǎn)； p1， p2為兩個實(shí)數(shù)極點(diǎn)； p3， p4為兩個復(fù)數(shù)極點(diǎn)組成的二階振蕩環(huán)節(jié)系數(shù)。其中僅為負(fù)值，因此存在一個位于右半平面的零點(diǎn)，燃?xì)饬髁空{(diào)節(jié)特性具有非最小相位的特點(diǎn)，如不穩(wěn)定特性及負(fù)調(diào)特性等。

給定幅值為0.5°的伺服閥角度階躍信號，不同自由容積和壓強(qiáng)下的燃?xì)饬髁宽憫?yīng)如圖5和圖6所示。

圖5 不同自由容積下的燃?xì)饬髁壳€Fig.5 Gas Flow Rate for Different Free Volume

圖6 不同壓強(qiáng)下的燃?xì)饬髁宽憫?yīng)曲線Fig.6 Gas Flow Rate for Different Pressure

由圖5、圖6可知，燃?xì)饬髁侩S著自由容積的增大燃?xì)饬髁康捻憫?yīng)越慢，負(fù)調(diào)量越大；隨著壓強(qiáng)的升高，燃?xì)饬髁康捻憫?yīng)越快，負(fù)調(diào)量越大。因此，在導(dǎo)彈飛行末段，燃?xì)獍l(fā)生器內(nèi)自由容積大，燃?xì)饬髁康恼{(diào)節(jié)特性較差，不利于速度控制的精確控制。

燃?xì)饬髁控?fù)調(diào)特性的物理機(jī)理為：燃?xì)饬髁康恼{(diào)節(jié)是通過燃?xì)獍l(fā)生器內(nèi)壓強(qiáng)變化調(diào)節(jié)推進(jìn)劑的燃速來實(shí)現(xiàn)的，推進(jìn)劑的燃燒是一個化學(xué)過程，變化較慢，而隨壓強(qiáng)指令變化的伺服調(diào)節(jié)閥響應(yīng)較快，兩者響應(yīng)速度的不匹配導(dǎo)致其負(fù)調(diào)特性現(xiàn)象的存在。即當(dāng)燃?xì)饬髁恐噶钤龃髸r，調(diào)節(jié)閥角度增大（開度變?。?，此時燃?xì)獍l(fā)生器內(nèi)壓強(qiáng)增大，以促進(jìn)推進(jìn)劑的燃燒，從而緩慢地增大燃?xì)饬髁浚{(diào)節(jié)閥的響應(yīng)很快，角度增大的瞬間燃?xì)饬髁肯仁菧p小的。因此，增大燃?xì)饬髁康捻憫?yīng)過程是先減小后增大的負(fù)調(diào)特性。

3 仿真驗(yàn)證

選取燃?xì)獍l(fā)生器壓強(qiáng)和自由容積為某典型工況，即將燃?xì)饬髁康腖PV模型固定在某一時刻，給定幅值為0.05 kg/s的燃?xì)饬髁侩A躍信號，對應(yīng)的LPV模型與非線性模型響應(yīng)曲線如圖7和圖8所示。

圖7 燃?xì)饬髁宽憫?yīng)曲線Fig.7 Pesponse of Gas Flow Rate

圖8 壓強(qiáng)響應(yīng)曲線Fig.8 Response of Pressure

由圖7、圖8可知，采用本文所示的建模方法可以較好地逼近非線性模型，可用于動態(tài)特性分析與速度控制器設(shè)計(jì)。

4 結(jié) 論

本文開展了面向控制的固沖發(fā)動機(jī)建模技術(shù)研究，結(jié)論如下：

a）提出的固沖發(fā)動機(jī)穩(wěn)態(tài)性能建模方法，可以使動力系統(tǒng)與總體參數(shù)、環(huán)境有效解耦，利于各系統(tǒng)的快速研制；

b）所建立的固沖發(fā)動機(jī)動態(tài)特性模型較好地逼近非線性模型，可用于動態(tài)特性的分析與導(dǎo)彈速度控制器的設(shè)計(jì)；

c）固沖發(fā)動機(jī)的燃?xì)饬髁宽憫?yīng)是一個非最小相位環(huán)節(jié)，有一個位于 s平面右半部的零點(diǎn)。本文從數(shù)學(xué)推導(dǎo)和物理機(jī)理兩方面給出了負(fù)調(diào)特性產(chǎn)生的原因，同時指出燃?xì)饬髁侩S著自由容積的增大其響應(yīng)特性變差，給速度精確控制帶來一定難度。