用“類比法”開展數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與思考

■戴回娟

“類比”是“一種推理方法，根據(jù)兩種事物在某些特征上的相似，做出它們在其他特征上也可能相似的結(jié)論。類比推理是一種或然性的推理，其結(jié)論是否正確還有待實(shí)踐證明”。“類比”也是一種非常重要的學(xué)習(xí)與研究方法，數(shù)學(xué)上許多結(jié)論或者研究方法都是通過類比得到的。類比的結(jié)論不一定正確，需要通過實(shí)踐或邏輯推理來檢驗(yàn)其正確性?；诖?，利用類比法進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)是一種行之有效的方法，既能引導(dǎo)學(xué)生掌握一種思維方式，又能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硇跃?。類比法教學(xué)必須基于學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)和經(jīng)驗(yàn)、在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)內(nèi)。本文擬通過幾個(gè)案例，談?wù)劺谩邦惐确ā遍_展數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與思考。

一、用“類比法”開展數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐

“類比法”在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用廣泛。在教授新知識時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生找到類比源，從數(shù)學(xué)本質(zhì)特征上進(jìn)行類比，可以從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)形式上進(jìn)行類比，也可以從研究路徑策略上進(jìn)行類比，還可以從數(shù)學(xué)思想方法上類比。

1.從數(shù)學(xué)本質(zhì)特征上類比。

案例1 反比例函數(shù)教學(xué)

這是蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級下冊第11章的內(nèi)容。教材通過幾個(gè)具體的問題情境，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而給出定義：一般地，形如y=（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)叫作反比例函數(shù)。

顯然，反比例函數(shù)概念的引入是基于學(xué)生的兩個(gè)認(rèn)知基礎(chǔ)：（1）小學(xué)的“反比例”概念。蘇科版小學(xué)六年級下冊“反比例”一章，先通過實(shí)例得到“單價(jià)和數(shù)量是兩種相關(guān)聯(lián)的量，單價(jià)變化，數(shù)量也隨之變化，當(dāng)單價(jià)和數(shù)量的積是一定（也就是總價(jià)一定）時(shí)，筆記本的單價(jià)和購買的數(shù)量成反比例關(guān)系”。進(jìn)而給出反比例的概念：“如果用x、y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的積，反比例關(guān)系可以用下面的式子表示：xy=k（一定）”。（2）函數(shù)概念。在八年級上冊學(xué)習(xí)了函數(shù)的描述性概念，“反比例函數(shù)”這一章從學(xué)生的已有知識出發(fā)：對于y=k為常數(shù)，k≠0）而言，一是有x、y兩個(gè)變量，對于變量x的每一個(gè)確定的值，變量y都有唯一確定的值與x對應(yīng)，故y是x的函數(shù)；二是將y=k為常數(shù)，k≠0）變形為xy=k（k為常數(shù)），即兩個(gè)變量x、y的積為定值k，符合小學(xué)反比例關(guān)系的本質(zhì)特征。因此，由類比“反比例”和“函數(shù)”這兩個(gè)概念的本質(zhì)特征，順理成章得到“反比例函數(shù)”的概念。

2.從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)形式上類比。

案例2 二次根式= ||a的教學(xué)

盡管課程標(biāo)準(zhǔn)中明確了“運(yùn)用二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算法則進(jìn)行二次根式的四則運(yùn)算，根號下僅限于數(shù)”，但就而言，其相關(guān)意義應(yīng)該要求學(xué)生掌握，而這恰恰是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。教學(xué)中，可從根式的結(jié)構(gòu)形式上采用類比法進(jìn)行教學(xué)。

活動(dòng)一學(xué)生自主練習(xí)：計(jì)算，，。

活動(dòng)二請舉出類似的例子并計(jì)算，能否舉出所有這樣的例子？怎么辦？學(xué)生們?nèi)菀紫氲?a2，并類比a為具體數(shù)的結(jié)論得到= | a|。

活動(dòng)三計(jì)算

通過分別列舉x＜0、x＜y、x＜2等反例，讓學(xué)生得出二次根式的意義= | a|，進(jìn)而得出如下結(jié)論：①被開方數(shù)不能是負(fù)數(shù)；②二次根式不可能是負(fù)數(shù)。

這里就是由二次根式中被開方數(shù)為“數(shù)”的結(jié)構(gòu)形式，類比得到了被開方數(shù)是“式”的結(jié)構(gòu)形式，被開方數(shù)為“數(shù)”中的“數(shù)”和結(jié)果的符號是顯性的，而被開方數(shù)為“字母”或“式子”的符號可能為負(fù)，是隱性，這是問題的關(guān)鍵。進(jìn)而讓學(xué)生體會(huì)到：通過類比結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)要注意二者之間的差異性。

3.從研究路徑策略上類比。

案例3 矩形的教學(xué)

這是蘇科版八年級下冊第9章繼平行四邊形之后的內(nèi)容。我們知道，平行四邊形研究的路徑是：

在小學(xué)將矩形稱為長方形，其研究路徑、策略與平行四邊形的研究路徑、策略一樣。教學(xué)中，可啟發(fā)學(xué)生回憶平行四邊形的研究路徑與策略，進(jìn)而類比出矩形的研究路徑策略。故引入過程可這樣設(shè)計(jì)：

（1）通過現(xiàn)實(shí)生活的情境直接呈現(xiàn)圖形；

（2）提出問題：你認(rèn)為這種圖形應(yīng)該從哪幾個(gè)方面進(jìn)行研究？學(xué)生可能得出“從定義、性質(zhì)、判定和應(yīng)用四個(gè)方面研究”；

（3）你怎么知道按照這樣的路徑研究的？學(xué)生自然會(huì)類比聯(lián)想平行四邊形的學(xué)習(xí)，得到矩形的研究路徑。

這種類比教學(xué)就是研究路徑與策略的類比。

4.從數(shù)學(xué)思想方法上類比。

用數(shù)學(xué)思想方法支配解題活動(dòng)，解題就會(huì)有章可循。數(shù)學(xué)思想方法總是成類出現(xiàn)，利用數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行類比法教學(xué)，對提升學(xué)生解題能力具有較大的作用。

案例4 關(guān)于一類二元一次方程組解法教學(xué)

這是通過數(shù)學(xué)思想方法的類比進(jìn)行的教學(xué)，這樣的教學(xué)會(huì)讓學(xué)生印象深刻，更有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)中最本質(zhì)的東西。

二、用“類比法”開展數(shù)學(xué)教學(xué)的思考

誠然，“類比法”是一種重要的數(shù)學(xué)教學(xué)方法與策略，也是不可或缺的學(xué)習(xí)與研究方法。但用類比法開展教學(xué)必須特別注意兩點(diǎn)：一是關(guān)注當(dāng)前問題、結(jié)論與源問題的條件、結(jié)論的差異性；二是關(guān)注類比得到結(jié)論的或然性。

1.不能忽視當(dāng)前問題與源問題的差異性。

為什么需要類比？正是因?yàn)楫?dāng)前問題與源問題具有差異性，才有必要“類比”。如果沒有差異性，屬于同一（或同質(zhì)）問題，就沒有“類比”的必要性。因此，我們在根據(jù)當(dāng)前問題與源問題的某些相似性進(jìn)行類比結(jié)論時(shí)，要由問題的差異性得出結(jié)論的差異性。如研究一元一次不等式時(shí)可類比一元一次方程，但不能忽視“等式”與“不等式”的差異，兩邊同乘（或除以）一個(gè)數(shù)（或式）時(shí)，方程只要考慮這個(gè)數(shù)（或式）不等于0即可，而不等式則要考慮這個(gè)數(shù)（或式）是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，因?yàn)檫@影響到不等號的方向是否改變的問題。

2.高度關(guān)注類比所得到結(jié)論的或然性。

類比得到的結(jié)論不一定正確，需要證實(shí)或證偽。例如：類比“全等三角形對應(yīng)邊上的中線相等”，得到“全等三角形對應(yīng)邊上的高相等”，這其實(shí)是真命題，但只有通過嚴(yán)密的演繹推理，才能確認(rèn)其正確性。再比如：由=3、等很容易類比得到=a。這個(gè)結(jié)論正確嗎？顯然，當(dāng)a＜0時(shí)結(jié)論不正確。

因此，作為數(shù)學(xué)教師，一是要多用類比的方法進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)；二是要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用類比的方法研究數(shù)學(xué)對象；三是要通過具體案例讓學(xué)生認(rèn)識到：用類比的方法研究問題時(shí)，注意關(guān)注當(dāng)前問題與源問題的差異性、類比的結(jié)論具有或然性。