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    在操作中思考 在反思中提升
    ——一節(jié)“綜合實踐活動”式復(fù)習(xí)課的教學(xué)實踐與思考

    2018-12-26 01:30:56杭秉全
    初中生世界 2018年48期
    關(guān)鍵詞:折痕等腰三角綜合實踐活動

    ■杭秉全

    (作者單位:江蘇省南京市雨花臺中學(xué))

    2018年4月,由江蘇教育報刊總社主辦,在無錫市蠡園中學(xué)舉辦了“第三屆江蘇省初中數(shù)學(xué)名師精品課堂觀摩與研討活動”。筆者應(yīng)主辦方邀請,在活動中執(zhí)教了一節(jié)觀摩課,課題為“初三專題復(fù)習(xí):圖形操作與變換——翻折”,并結(jié)合本節(jié)課做了一個微型報告。筆者現(xiàn)將這節(jié)課的教學(xué)實踐與思考整理成文,與同仁交流。

    一、教學(xué)實錄

    1.回顧與思考。

    T:翻折是一種常見的圖形操作,在我們的學(xué)習(xí)中常常出現(xiàn)。運用“翻折”,我們探索、驗證了很多重要的數(shù)學(xué)結(jié)論。如圖1,將等腰三角形翻折,我們驗證了等腰三角形三線合一、等邊對等角定理。圖2驗證了哪些定理呢?

    圖1

    S:圖2幾張圖的翻折分別驗證了線段垂直平分線性質(zhì)定理、角平分線性質(zhì)定理、垂徑定理、切線長定理。

    T:上述圖形中,折痕兩旁的部分之間有何關(guān)系?

    S:全等。

    T:上述圖形中,每對關(guān)鍵點(如圖1中的點B與點C、圖2①④中的點A與點B、圖2②③中的點C與點D)與折痕之間有何關(guān)系?

    圖2

    S:每對關(guān)鍵點關(guān)于折痕對稱。

    T:其實折痕兩旁的部分也關(guān)于折痕對稱。翻折生成軸對稱,翻折的本質(zhì)是軸對稱變換,上述圖形中都含有的圖3是軸對稱的基本圖形。

    圖3

    2.操作與說理。

    教師用PPT呈現(xiàn):問題1.如何用一張矩形紙片折出等腰三角形?并說明理由。

    學(xué)生思考,操作。

    T:請同學(xué)們展示你是如何折的?并說明理由。

    幾位學(xué)生分別展示了如圖4(見下頁)中的3種不同折法,并分別就①中的△BCE、②中的△ACE、③中的△BCE是等腰三角形進(jìn)行了說理。

    圖4

    T:幾位同學(xué)的折法正確,說理清晰。如圖4③,當(dāng)點E在折痕上移動到適當(dāng)?shù)奈恢茫妊切螌⑻厥饣癁榈冗吶切巍?/p>

    教師用PPT呈現(xiàn):問題2.如何用一張矩形紙片折出等邊三角形?并說明理由。

    圖5

    圖6

    學(xué)生思考,操作。

    T:請同學(xué)們展示你是如何折的?

    S1:如圖5,沿MN將矩形ABCD對折,沿CF折疊,使點B落在MN上,△BCE是等邊三角形。

    T:你能證明△BCE是等邊三角形嗎?

    S1:由第一次折疊,得CE=BE,由第二次折疊,得CE=CB,所以CE=BE=CB。因此,△BCE是等邊三角形。

    T:真棒!兩次折疊,實質(zhì)是在矩形紙片上構(gòu)造了兩個如圖3的軸對稱基本圖形。折疊可以構(gòu)造軸對稱,軸對稱可以生成特殊的數(shù)量與位置關(guān)系。

    3.操作與求解。

    T:“折”時心中有圖形(即圖 3),“折”后不僅可進(jìn)行相關(guān)結(jié)論的說理,還可進(jìn)行相關(guān)線段的長度計算。請大家看下面問題。

    PPT呈現(xiàn):問題3.將矩形ABCD沿過點B的直線折疊,使點A落在CD邊上的點F處,折痕為BE。你能畫出折痕BE嗎?

    我們的目標(biāo)圖形如圖6,如何在矩形ABCD中畫出折痕BE呢?

    學(xué)生思考分析,操作嘗試,交流畫法。

    T:如圖 6,若AB=10,BC=8,可求圖中哪些線段的長?如何求解?

    學(xué)生思考分析,展示交流CF、DE、BE的長度計算的方法。

    T:請你總結(jié)解決“折疊類問題中相關(guān)計算”的方法策略。

    學(xué)生交流、匯報。

    教師結(jié)合DE的求解中重要過程的板書及學(xué)生的匯報,完善板書,如圖7。

    圖7

    T:折疊給出不變量,勾股、相似尋關(guān)系,方程模型來求解。

    4.操作與探索。

    教師用PPT呈現(xiàn):問題4.如圖8,在△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC,垂足為D,BD=2,DC=3。AD的長確定嗎?

    圖8

    圖9

    S:AD的長確定。

    T:你是如何判斷的?

    S2:因為AD⊥BC,垂足為D,所以點D在BC上。由BD=2,DC=3,可知點D的位置是確定的。如果AD的長發(fā)生變化,那么點A在過D點的垂線上的位置就會改變,同時∠BAC的大小也會改變。而∠BAC=45°,所以AD的長不能改變,是確定的。

    T:從變化的視角分析,清晰透徹。既然AD的長確定,如何求AD的長呢?

    學(xué)生思考、討論。

    T:在巡視中,發(fā)現(xiàn)同學(xué)們有不同的思考,下面請有思路的同學(xué),和大家分享你的思考。

    S3:如圖9,過點C作CE⊥AB,垂足為E,交AD于O。因為∠BAC=45°,所以AE=CE。根據(jù)“AAS”可證得△AEO≌△CEB,所以AO=BC=3+2=5。易證△COD∽△ABD,則。所以。解得OD=1。所以AD=5+1=6。

    S4:如圖10,作△ABC 的外接圓⊙O,連接OA、OB、OC,則∠BOC=2∠BAC=90°。過點O分別作OM⊥BC,ON⊥AD,垂足分別為M、N。在Rt△OBC 中,OB=OC,BC=5,可求得??勺C得四邊形OMDN為矩形,則。在Rt△ANO中,根據(jù)勾股定理,得所以AD=AN+ND=

    圖10

    圖11

    S5:如圖11,將△ADB、△ADC分別沿AB、AC翻折,得△AD′B 、△AD″C 。延長 D′B 、D″C 交于點 E。由翻折可得∠ D′AD″=2∠BAC=90°,∠D′=∠D″=90°,AD′=AD=AD″,D′B=BD=2,D″C=DC=3。所以四邊形 AD′ED″為正方形。設(shè)AD=x,則正方形 AD′ED″邊長為x,在Rt△BCE中,根據(jù)勾股定理可得(x-2)2+(x-3)2=(2+3)2??山獾肁D=x=6。

    T:3位同學(xué)思路不同,關(guān)鍵是他們從不同角度發(fā)揮了∠BAC=45°這一條件的價值。其中,前兩種解法都屬于靜態(tài)常規(guī)解法,第三種解法運用了動態(tài)變換的思路,解答過程更加簡潔。

    5.小結(jié)與思考。

    教師用PPT呈現(xiàn):美籍華人布萊恩·陳是美國麻省理工學(xué)院的工藝教授,他最擅長的就是折紙。紙片的翻折成就了麻省理工學(xué)院工藝教授,今天的“翻折”復(fù)習(xí),你收獲了什么?

    圖12

    S6:通過今天的復(fù)習(xí),我們進(jìn)一步認(rèn)清了翻折的本質(zhì),它最基本的圖形是圖3。

    S7:翻折類問題,往往要根據(jù)軸對稱性質(zhì)、勾股定理、相似三角形性質(zhì),運用方程模型求解。

    S8:運用“翻折”可以巧妙地解決問題,如本節(jié)課問題4的“翻折”解法。

    T:3位同學(xué)小結(jié)得非常好。希望今天的課能讓大家緊扣基本圖形、認(rèn)清“翻折”本質(zhì),掌握解決“翻折”類問題的基本策略,形成“翻折”變換意識,培養(yǎng)運動變化的觀念。

    二、課后反思

    1.復(fù)習(xí)要回歸教材。

    教材是按照課程標(biāo)準(zhǔn)的要求編寫的,經(jīng)過嚴(yán)格審查,具有全面、系統(tǒng)、科學(xué)性的教學(xué)用書。它是一個課程的核心教學(xué)材料,是數(shù)學(xué)知識、方法、能力的“生長地”,是考試的重要依據(jù),命題的“策源地”。因此,教師的“教”要立足教材,學(xué)生的“學(xué)”要始于教材,教與學(xué)的活動都要圍繞它有序開展,用好它扎實推進(jìn)。復(fù)習(xí)階段的教學(xué)也不能丟掉教材,要回歸教材。這樣有助于學(xué)生對概念的再認(rèn)識,形成完整的知識結(jié)構(gòu)。

    本節(jié)復(fù)習(xí)課的引入,是在回歸教材中展開。5組教材定理驗證圖形,引發(fā)了學(xué)生對等腰三角形性質(zhì)定理、線段垂直平分線性質(zhì)定理、角平分線性質(zhì)定理、垂徑定理、切線長定理的回顧;將它們集中呈現(xiàn)在一起,引發(fā)了學(xué)生對它們之間的聯(lián)系與共同特征的思考。在“折痕兩旁的部分之間有何關(guān)系”的思考中,認(rèn)清翻折的本質(zhì),提煉出翻折的基本圖形。

    2.復(fù)習(xí)要突出本質(zhì)。

    “本質(zhì)”是指事物本身所固有的,決定事物性質(zhì)、面貌和發(fā)展的根本屬性。數(shù)學(xué)本質(zhì)在宏觀上就是指“什么是數(shù)學(xué)”“數(shù)學(xué)是什么”;在微觀上是指具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的本真意義,隱藏其背后的數(shù)學(xué)規(guī)律,統(tǒng)攝它的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)教學(xué)要突出“本質(zhì)”,讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念,把握數(shù)學(xué)思維方式,感悟數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué),更要突出本質(zhì),加強聯(lián)系,形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

    本節(jié)課,在“回顧與思考”環(huán)節(jié),讓學(xué)生在“對由翻折驗證的幾個定理的回顧、再認(rèn)識、再思考”中,厘清翻折生成軸對稱,翻折的本質(zhì)是軸對稱變換。在“操作與說理”“操作與求解”“操作與探索”三個環(huán)節(jié),讓學(xué)生通過實踐操作,數(shù)學(xué)思考、說理、求解、探索,進(jìn)一步認(rèn)清“翻折”前后兩部分成軸對稱的本質(zhì)特征,感悟“翻折”中滲透的運動變化觀念。

    3.復(fù)習(xí)要提煉方法。

    提煉方法是科學(xué)思維的重要手段之一。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,教師不僅要向?qū)W生傳授數(shù)學(xué)知識,還要挖掘、提煉知識背后隱含的數(shù)學(xué)思想方法,從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。復(fù)習(xí)課更要重視解題方法的提煉,讓學(xué)生能舉一反三,從而提高在解題時思維的敏捷性。

    本節(jié)課的“操作與求解”環(huán)節(jié)設(shè)計思路是:讓學(xué)生在操作中認(rèn)識折疊的價值,從而思考求解;在解題后反思提煉,形成策略方法。其中,解決問題后的反思活動,先讓學(xué)生總結(jié)解決“折疊類問題中相關(guān)計算”的方法策略,而后在學(xué)生反思、交流的基礎(chǔ)上,概括、提煉形成了如圖7的板書。這樣讓學(xué)生參與,教師提煉,并形成板書的解題反思更充分、更有效。

    4.復(fù)習(xí)要學(xué)生參與。

    復(fù)習(xí)是幫助學(xué)生對已學(xué)知識進(jìn)行系統(tǒng)回憶并產(chǎn)生再認(rèn)識的過程。因為具體知識內(nèi)容已學(xué)過,所以復(fù)習(xí)課沒有了新鮮感。簡單的重復(fù)式復(fù)習(xí)只會讓學(xué)生感到枯燥、乏味,教師“滿堂灌”式的復(fù)習(xí)只會讓學(xué)生缺乏主動性,這些都會導(dǎo)致學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)狀態(tài)不積極、不配合,甚至是不參與,復(fù)習(xí)的效率低下。因此,提高復(fù)習(xí)課的效率,除了知識梳理、精選例習(xí)題之外,還要精心設(shè)計活動,讓學(xué)生積極參與。

    本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計,不是單調(diào)的知識梳理后的“解題教學(xué)”式復(fù)習(xí),而是問題導(dǎo)引下的“綜合實踐活動”式復(fù)習(xí)。在回顧教材,認(rèn)清“翻折”的數(shù)學(xué)本質(zhì)之后,圍繞“翻折”這一復(fù)習(xí)主題,以4個問題為載體,引領(lǐng)學(xué)生在“折紙”操作中說理,在“畫圖”操作后求解,在“翻折”操作中探索,最后在折紙藝術(shù)欣賞中進(jìn)行課堂小結(jié),感悟數(shù)學(xué)文化,反思提煉學(xué)習(xí)收獲。本節(jié)課的教學(xué),變例題為引領(lǐng)數(shù)學(xué)活動的問題,設(shè)計從實踐操作到理性思考、從問題解決到方法提煉、從文化感悟到小結(jié)提升的數(shù)學(xué)活動,有效調(diào)動了學(xué)生參與的積極性、主動性,提高了復(fù)習(xí)的效率。

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