球上從μ-Bloch空間到加權(quán)Bergman空間上的復(fù)合算子

杜 磊

(昆明理工大學(xué) 理學(xué)院， 云南 昆明 650093)

令dV為BN上的正規(guī)化體積測度。V(BN)對任意α>-1，令

dVα(z)=cα(1-|z|2)αdV(z)，

這里的cα是使得V(BN)=1的正常數(shù)。

如果p>0，α>-1，定義BN上的加權(quán)Bergman空間為

令μ(r)為[0,1)上的正連續(xù)函數(shù)，定義Bμ為μ-Bloch空間，由單位球上滿足

的全體函數(shù)f∈O(BN)組成，其中顯然Bμ為Banach空間，范數(shù)為

若μ(r)=1-r2或μ(r)=(1-r2)α(0<α<1)，生成空間Bμ分別為Bloch空間和Lipschitz空間。文獻(xiàn)[1]中給出了μ-Bloch空間的詳細(xì)說明。

對解析映射φ:BN→BN，定義線性復(fù)合算子Cφ:O(BN)→O(BN)為

Cφf=(f°φ)(z),z∈BN。

關(guān)于Bergman空間到Bloch空間上復(fù)合算子的研究成果已經(jīng)有很多，文獻(xiàn)[1]中研究了單位球上Bergman空間到μ-Bloch空間上復(fù)合算子的有界性和緊致性，在文獻(xiàn)[2]中進(jìn)一步給出了加權(quán)Bergman空間到μ-Bloch空間上復(fù)合算子有界和緊的充要條件。國內(nèi)外也有大量與此相關(guān)的研究，文獻(xiàn)[3]中給出了單位球上α-Bloch空間和H∞空間上加權(quán)復(fù)合算子有界或緊的一些充要條件，文獻(xiàn)[4]中給出了單位球上μ-Bloch空間之間加權(quán)復(fù)合算子有界和緊的充要條件，文獻(xiàn)[5]給出了單位球上從標(biāo)準(zhǔn)加權(quán)Bergman空間到加權(quán)空間上加權(quán)復(fù)合算子有界和緊的充要條件，文獻(xiàn)[6]給出了單位球上加權(quán)Bergman空間到β-Bloch空間上加權(quán)復(fù)合算子有界和緊的充要條件。

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文研究單位球上從μ-Bloch空間到加權(quán)Bergman空間上復(fù)合算子的有界性和緊致性。

1 預(yù)備知識

下面給出了證明結(jié)果所需的引理。

該引理的證明可參考文獻(xiàn)[1]中引理3.1，這里不再贅述。

引理3[10]對k=1,2,…,n，令ak≥0，那么若1≤p<+∞，有

2 結(jié) 論

定理1 令μ(r)為[0,1)上的有界連續(xù)函數(shù)。如果

(1)

因此，

定理得證。

定理2 令μ(r)為[0,1)上正連續(xù)函數(shù)。如果

(2)

由式(2)，存在0<δ<1，使得對滿足δ<|z|<1的任意z，有

(3)

可得，當(dāng)k→0時，有

由定理1的證明和式(2)，可得

緊致性得證。

3 結(jié) 語

到目前為止，對Bloch空間到加權(quán)Bergman空間上復(fù)合算子的研究鮮有報道，本文通過單位球上加權(quán)Bergman空間和定權(quán)Sobolev空間上的模等價，給出了單位球上μ-Bloch空間到加權(quán)Bergman空間的復(fù)合算子滿足有界性或緊致性的充分條件，這對繼續(xù)研究從μ-Bloch空間到加權(quán)Bergman空間的復(fù)合算子有重要的參考意義。