具有結(jié)構(gòu)阻尼和無限時滯的梁振動方程mild 解的存在性

李 愛

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 甘肅 蘭州 730070)

在生活中存在許多的彎曲現(xiàn)象,例如當(dāng)橋式起重機吊起重物時,大梁將變彎；當(dāng)飛機飛行時，機翼在氣動力、螺旋槳重力和螺旋槳力偶作用下也會變彎；當(dāng)桿件受到垂直于桿軸的外力,或在桿軸平面內(nèi)受到外力偶作用時,桿的軸線將產(chǎn)生彎曲形變。凡是以彎曲形變?yōu)橹饕冃蔚臈U件通稱為梁，梁是工程構(gòu)件和機械設(shè)備中最常見的構(gòu)件。張淑芬等[1]、張耀等[2]對梁方程進(jìn)行了詳細(xì)推導(dǎo)。近年來帶有阻尼的Euler-Bernoulli 梁方程作為空間飛行器的數(shù)學(xué)模型受到人們的重視，其特點是彈性算子和阻尼算子所滿足的邊界條件是非局部的和相互耦合的。Thankane等[3]利用有限微分法研究了具有自由端的梁振動方程。Lou[4]對Korman 關(guān)于彈性梁模型的猜想給出了否定回答，并通過修改條件得到了若干理想的結(jié)果。Gupta[5-7]研究了一類梁振動方程解的存在唯一性。然而，具有結(jié)構(gòu)阻尼的梁振動方程的研究以及半群性質(zhì)的討論大部分都在Hilbert 空間中進(jìn)行。

關(guān)于具有結(jié)構(gòu)阻尼的彈性系統(tǒng)在Banach 空間中研究的主要有,FAN Hong-xia等[8]研究了相應(yīng)于結(jié)構(gòu)阻尼的線性彈性系統(tǒng)的解析性和指數(shù)穩(wěn)定性，利用解析算子半群理論，在Banach 空間下討論了該方程的正則性及光滑古典解的存在性；FAN Hong-xia等[9]、高飛等[10]分別利用單調(diào)迭代技巧和凸冪凝聚算子不動點定理獲得了非線性阻尼彈性系統(tǒng)mild 解及正mild 解的存在性；FAN Hong-xia等[11]在全局Lipschitz 條件下還研究了阻尼彈性系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。

到目前為止,都是在Banach 空間的基本前提下研究非線性項只含有兩項的梁振動方程解的存在唯一性、漸近穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[12-14]對帶有時滯的微分方程的初值問題進(jìn)行了研究，并得到了各種類型的存在性結(jié)果。因為具有時滯的微分方程通常體現(xiàn)的是實際問題的數(shù)學(xué)模型，所以依賴于過去時間狀態(tài)的具有結(jié)構(gòu)阻尼和無限時滯的梁振動方程解的性質(zhì)研究就顯得極為重要，并且對完善整個時滯方程的理論將起到一定的積極作用。

本文將主要研究Banach空間中一類具有結(jié)構(gòu)阻尼和無限時滯的梁振動方程：

(1)

mild解的存在性。其中ρ≥2為阻尼系數(shù)；A:D(A)?X→X為Banach空間中的稠定閉線性算子，-A是Banach空間X中C0-半群T(t)(t≥0)的無窮小生成元；f:[0,+∞)×B→X為非線性映射；B為相空間；φ(0)∈D(A),φ∈B,y0∈X,ut∈B,并且滿足u(t):(-∞,0]→X,ut(s)=u(t+s)。

1 預(yù)備知識

由文獻(xiàn)[15]，容易得到初值問題式(1) mild解的定義。

定義1 積分方程

(2)

的連續(xù)解u(t)稱為式(1)對應(yīng)φ在[0,+∞)上的mild解,其中S1(t)、S2(t)分別是由-σ1A和-σ2A生成的C0-半群。滿足

σ1+σ2=ρ,σ1σ2=1,S1(t)=T(σ1t),S2(t)=T(σ2t),t≥0。

由此容易看出，當(dāng)T(t)為X中的緊C0-半群時，S1(t)和S2(t)也為X中的緊C0-半群。

定義2 相空間B是由(-∞,0]到(x,‖·‖)的X值函數(shù)構(gòu)成的集合，它按半范數(shù)‖·‖B構(gòu)成一個Banach空間，并滿足以下公理:

(1) 設(shè)σ0>σ,u(t)是(-∞,σ0]上的X值函數(shù)，并在[σ,σ0]上連續(xù)。若uσ∈B,則?t∈[σ,σ0],?ut∈B且t∈[σ,σ0]→ut在B中連續(xù)；

(2) ‖u(0)‖≤K‖u(·)‖B,?u(·)∈B,K為正常數(shù)；

(3) 存在[0,+∞)上的正值函數(shù)K(t)和局部有界的正值函數(shù)M(t),使得對任一滿足(1)的u，均有

引理1[16]設(shè)T(t)是C0-半群，則存在常數(shù)ω≥0和M≥1,使得 ‖T(t)‖≤Meωt對t∈R+成立。

引理2[17]設(shè)F是由完備的距離空間X到X的映射，如果存在常數(shù)α(0≤α≤1)以及自然數(shù)n0使ρ(Fn0x,Fn0y)≤αρ(x,y) (x,y∈X)成立，這里ρ(·,·)表示X中的距離，則F存在唯一的不動點。

2 結(jié)果及證明

定理1 若f滿足局部Lipschitz條件，即?r>0，存在一個t的局部有界非負(fù)可測函數(shù)α(t,r)，使得?t≥0有

‖f(t,φ)-f(t,ψ)‖≤α(t,r)‖φ-ψ‖B, ‖φ‖B≤r, ‖ψ‖B≤r,

則?φ∈B,存在t0(φ)>0,使得初值問題式(1)在[0,t0(φ)]上的mild解存在且唯一。

證明?t>0，記

B1={g:g為(-∞,0]上的X值函數(shù)，g|[0,t]∈C([0,t],X),g|(-∞,0]∈B},

賦予范數(shù)

?g∈Bt，則Bt按此范數(shù)構(gòu)成一個Banach 空間。設(shè)λ>0和φ∈B,令

(3)

‖gs‖B≤(λ+‖φ(0)‖)K0+‖φ‖BM0:=Q,s∈[0,t]。

因為T(t)是X上的C0-半群，由引理1，?t≥0存在M1,M2>0,δ1,δ2>0,使得‖S1(t)‖≤M1eδ1t,‖S2(t)‖≤M2eδ2t。因此

于是，由C0-半群T(t)的強連續(xù)性，

定理1得證。

定理2 設(shè)在初值問題式(1)中，-∞

‖f(t,φ)-f(t,ψ)‖≤β(t)‖φ-ψ‖B

(4)

成立，則?φ∈B,初值問題式(1)對應(yīng)于φ在[0,T]上的mild解存在。

‖Pg1(t)-Pg2(t)‖BT≤

(5)

其中‖·‖∞表示L∞(R+)中的范數(shù)。對任意的正整數(shù)n，有

(6)

事實上，對n=1時，式(5)說明式(6)為真。現(xiàn)在假設(shè)式(6)對n=m成立，則由(3)和式(4)，有

‖Pm+1g1(t)-Pm+1g2(t)‖BT≤

定理2得證。

3 結(jié)論及討論

定理1、定理2研究證明了在非線性項中存在時滯項時，梁振動方程mild解的存在性，推廣并加強了文獻(xiàn)[15]中的結(jié)論。這兩個定理分別考慮了局部、全局mild解的存在性，也進(jìn)一步推廣了具有結(jié)構(gòu)阻尼和無限時滯的梁振動方程解的性質(zhì)。然而，本文考慮的問題僅僅是梁振動方程研究中的一個方面，在今后還可以在考慮mild解存在性的基礎(chǔ)上，研究具有結(jié)構(gòu)阻尼和無限時滯的梁振動方程正解的正則性、周期性以及漸近穩(wěn)定性等等問題。