超線性橢圓型方程的非平凡解

高婷梅

(陜西理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 陜西 漢中 723000)

考慮如下帶有Dirichlet邊界條件的p-拉普拉斯方程：

(1)

此方程在耗散量子力學(xué)等很多物理現(xiàn)象中頻繁出現(xiàn)，因此受到人們的廣泛關(guān)注，如文獻(xiàn)[1-6]。文獻(xiàn)[1-2]在p=2的情況下，假設(shè)函數(shù)f(x，t)在無窮遠(yuǎn)處是超線性時(shí)，研究了方程(1)的解。即函數(shù)f(x，t)滿足以下條件:

本文也將在超線性條件下討論方程(1)的解。

山路引理是證明方程(1)解的存在性的一個(gè)重要方法。為了應(yīng)用山路引理，要使得方程(1)所對(duì)應(yīng)的泛函的幾何結(jié)構(gòu)和臨界序列有界，(AR)條件起著至關(guān)重要的作用，即

此(AR)條件對(duì)于應(yīng)用山路引理非常方便，但很多函數(shù)并不滿足(AR)條件。事實(shí)上，(f1)就嚴(yán)格弱于(AR)條件。因此，很久以來，人們一直試圖削弱(AR)條件，并且得到了許多豐富的結(jié)果。例如，可以用以下條件之一代替(AR)條件：

如果條件(b)成立，那么條件(f2)一定成立(證明見文獻(xiàn)[4]的注1.5)。并且還可以找到一些函數(shù)，例如，f(x，t)=tp-1，當(dāng)p=2時(shí)，f(x，t)t-pF(x，t)=0，顯然f(x，t)不滿足條件(a)和(b)。但是，由于H(x，t)=f(x，t)t-pF(x，t)=0，則?θ=1,?θ0>0,st：

則f(x，t)=tp-1滿足條件(f2)。

當(dāng)p=2時(shí)，文獻(xiàn)[1]和[2]利用局部環(huán)繞定理[5]在超線性條件下討論了方程(1)非平凡解的存在性，但它們都假設(shè)函數(shù)f(x，t)滿足:

很明顯，條件(a)是(c)的一個(gè)直接結(jié)論，而條件(f2)弱于(a)，從而也弱于(c)。本文將在條件(f1)和(f2)下，針對(duì)一般的p>1，證明方程(1)非平凡解的存在性。

1 預(yù)備知識(shí)

定義設(shè)E為實(shí)Banach空間，I∈C1(E,R)。如果使得{I(uk)}有界，且

(1+‖uk‖)I′(uk)→0((k→+∞)

的任一序列{uk}(uk∈E)都有一個(gè)收斂子列，則稱泛函I滿足(C)條件。

下面是本文將要用到的一個(gè)變形的山路引理，其證明見文獻(xiàn)[7]。

山路引理[3]設(shè)E為實(shí)Banach空間，其對(duì)偶空間為E*，I∈C1(E，R)，且存在α<β，ρ>0及e∈E(‖e‖>ρ)，使得

I(un)→c≥β且(1+‖un‖)‖I′(un)‖E*→0(n→+∞)。

2 主要結(jié)果及證明

定義如下的C1泛函：

命題1 假設(shè)f(x，t)滿足條件(f1)、(f2)及以下條件：

則泛函I滿足(C)條件。

I(un)→c(n→+∞),

(2)

(1+‖un‖)I′(un)→0 (n→+∞)，

(3)

(4)

由式(2)、(4)，得

(5)

(6)

(7)

由式(3)，得

→0(n→+∞),

(8)

(9)

在式(9)中，令n→+∞，得

(10)

(11)

(12)

(13)

因?yàn)镮(0)=0且I(un)→c，則由式(13)知，當(dāng)n充分大時(shí)，必有0

(14)

因?yàn)?≤tn≤1，則|tnun|≤|un|。從而由(f2)、式(13)、(14)，可得

這與式(5)矛盾。所以{un}有界。由Sobolev緊嵌入及標(biāo)準(zhǔn)化方法，知{un}存在一收斂子列。故I滿足(C)條件。

命題2 假設(shè)條件(f4)成立，則存在常數(shù)α∈(0，1)，使得

(15)

(16)

(17)

且有

(18)

(19)

由式(19)可知，v是特征值問題-△pu=λ|u|p-2u的第一個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)。由p-拉普拉斯的相關(guān)結(jié)果可知v≠0，結(jié)合式(18)可知，a(x)=λ1在Ω上幾乎處處成立，這與條件(f4)矛盾。所以，式(15)成立。

(20)

定理5 假設(shè)函數(shù)f(x，t)滿足條件(f1)—(f4)，則方程(1)至少存在一個(gè)非平凡解。

證明尋找方程(1)的非平凡解等價(jià)于尋找泛函I(u)的非零臨界點(diǎn)。由命題1、命題3及命題4，應(yīng)用變形的山路引理，可以得到泛函I的一個(gè)非零臨界點(diǎn)u0，且滿足I(u0)≥β>0。由條件(f4)、f(x，0)=0，則I(0)=0，所以u(píng)0≠0。所以u(píng)0是方程(1)的非平凡解。