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    等距圓錐螺旋線數(shù)理性質的初探

    2018-12-24 03:39:12涂德新姜付錦
    物理通報 2018年12期
    關鍵詞:螺旋線作用力曲率

    涂德新 姜付錦

    (江西師范大學附屬中學 江西 南昌 330046)(武漢市黃陂區(qū)第一中學 湖北 武漢 430300)

    如果質點沿阿基米德螺線(等速螺線)運動的同時沿垂直于該平面的方向勻速運動, 于是質點的合運動所形成的軌跡就是等距圓錐螺旋線(以下簡稱螺旋線).下面首先用物理方法研究螺旋線的曲率半徑, 接著研究質點在重力的作用下沿光滑螺旋線運動時受到的作用力,并在直角坐標系和自然坐標系中求解,得到了相同的結果.

    1 螺旋線的曲率半徑

    1.1 建立螺旋線的參數(shù)方程

    如圖1所示,建立直角坐標系O-xyz, 圓錐的半頂角為α, 螺距為2πl(wèi), 一個質量為m的小球從坐標原點由靜止開始沿光滑的螺旋線運動. 重力加速度為g.

    圖1 直角坐標系下的圓錐螺旋線

    以極角φ為參數(shù)可以建立螺旋線的參數(shù)方程

    x=kφcosφy=kφsinφz=kφcotα

    考慮到一個螺距為2πl(wèi), 于是

    2πl(wèi)sinα=k2π

    可得

    k=lsinα

    x=lsinα·φcosφ

    y=lsinα·φsinφ

    z=lcosα·φ

    1.2 物理方法求曲率半徑

    可以求得

    曲率半徑ρ與向心加速度an間存在關系

    (1)

    分析有

    其中

    可以求得

    將相關參量代入式(1)可得

    1.3 數(shù)值模擬

    數(shù)值模擬如圖2、圖3所示.

    圖2 小球三維空間中的運動軌跡

    圖3 曲率半徑與極角關系

    2 小球受到螺旋線的作用力

    2.1 直角坐標系中求解

    小球沿光滑的軌道運動, 其機械能守恒

    可以求得

    (2)

    再求二階導數(shù)可得

    (3)

    在這種情況下

    對小球寫3個方向的牛頓第二定律

    小球受到的作用力為

    代入可得

    (4)

    將式(2)、式(3)代入式(4)并化簡求解得

    (5)

    其中

    A=19sin2α+2sin22α-3sin23α

    B=63sin2α+34sin22α-15sin23α

    C=48sin2α+72sin22α

    D=16sin2α

    2.2 自然坐標系中求解

    空間曲線上的某點存在3個向量:切向向量﹑主法向向量和次法向向量.切向向量指向弧坐標的正向, 主法向向量指向曲率中心, 切向向量和主法向向量構成密切平面(曲率平面), 次法向向量與這個平面垂直, 切向向量與次法向向量決定的平面為從切面(直切面).動點的速度和切向加速度均與切向向量平行, 動點的法向加速度沿主法向向量的方向,這3個向量構成的右手坐標系即自然坐標系. 下面求解螺旋線上某點的切向向量A﹑次法向向量B和主法向向量C.

    以極角φ為參變量,依照前面的分析有

    (sin φ+φcos φ)j+cot α·k

    展開得

    B=-(2cosφ-φsinφ)cotα·i+

    (-2sinφ-φcosφ)cotα·j+(2+φ2)k

    C=B×A=

    展開得

    C=Cxi+Cyj+Czk

    其中

    Cx=-(2sinφ+φcosφ)cot2α-

    (2+φ2)(sinφ+φcosφ)

    Cy=(2+φ2)(cosφ-φsinφ)+

    (2cosφ-φsinφ)cot2α

    Cz=-φcotα

    可以對小球寫切線方向的牛頓第二定律, 從法線方向的平衡方程和主法線方向的牛頓第二定律

    mgk·A0=maA

    mgk·B0=NB

    mgk·C0+NC=maC

    其中A0,B0,C0分別為切線方向﹑從法線方向和主法線方向的單位向量.

    aC為法向加速度

    代入可得

    可以求得

    以及

    NC=NC1+NC2

    其中

    NC2=mgcotα·φ·[(1+φ2)(2+φ2)2+

    小球受到的作用力

    代入可以求得N2的表達式同式(5)一致.

    2.3 數(shù)值模擬

    2.3.1小球受到的作用力與極角的圖像

    如圖4所示, 兩種坐標系中分析結果的圖像完全重合. 可以發(fā)現(xiàn)作用力不斷增加, 存在極限值, 分析式(5)可以求得

    其中

    A=19sin2α+2sin22α-3sin23α

    圖4 作用力與極角的關系

    2.3.2 小球受到的作用力與時間的圖像

    可以寫成

    這個積分涉及到橢圓積分和復變函數(shù),所以時間與極角的關系很難寫成顯性解析式,定積分結果中含有橢圓積分和復變函數(shù)

    小球運動的時間t與極角φ的關系數(shù)值模擬如圖5所示.

    圖5 時間與極角的關系圖

    考慮到時間t﹑極角φ和作用力N是一一對應的, 可以數(shù)值模擬出作用力與時間的圖像如圖6所示.

    圖6 作用力與時間的關系圖

    3 結語

    本文用物理方法求螺旋線的曲率半徑, 過程簡潔, 思路清晰. 用兩種辦法求螺旋線對小球的作用力, 直角坐標系中求解過程簡單明了.自然坐標系中雖然比較復雜, 卻很有意義:小球沿空間曲線運動時, 其速度和切向加速度均與切向向量平行, 法向加速度沿主法向向量的方向, 在從法向向量的方向是平衡的.并且所有的量均可以表示成極角的函數(shù),結果發(fā)現(xiàn)兩種方法的計算結果一致.本文還對曲率半徑和小球受到的作用力進行了數(shù)值模擬,這對我們的教學研究有一定的借鑒.

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