解題豈一法 尋思求百通

王紹偉

我們知道，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)活動(dòng)是圍繞問題展開的，探究性活動(dòng)始發(fā)于問題，推進(jìn)于問題，發(fā)展于問題，能力的提高、方法的提煉、思想的升華，都有賴于問題，如何進(jìn)行好每一堂例題習(xí)題教學(xué)課，成了當(dāng)務(wù)之急，成了重中之重，下面談?wù)劰P者在例題教學(xué)中的三個(gè)做法，打趣稱之為例題教學(xué)的“三駕馬車”.

1 一題多變 深入題后

人類認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象、問題的過程，是一個(gè)漸進(jìn)式的過程，是從認(rèn)識(shí)最簡(jiǎn)單的問題開始，由淺入深逐步發(fā)展到對(duì)問題之間的相互關(guān)系及它們的內(nèi)部結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)，一題多變主要指對(duì)問題進(jìn)行類比、拓展、延伸等加工，形成問題鏈，抽絲剝繭，幫助學(xué)生深刻理解問題，以更高的觀點(diǎn)審視數(shù)學(xué)，以更靈活的方法解答問題，扎根基礎(chǔ)，依托基礎(chǔ)，但入乎其內(nèi)，出乎其外，落地生根，枝繁葉茂，以下是筆者在一節(jié)導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)課上的例題設(shè)置.

例1已知函數(shù)f（x）= Inx—x²+ ax，其中a∈R.

（1）當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間;

（2）討論f（x）的單調(diào)性;

（3）若函數(shù)f（x）在（0，2]上單調(diào)遞增，試求以的取值范圍;

（4）若函數(shù)f（x）在（0，2]上存在單調(diào)遞減區(qū)間，試求a的取值范圍;

（5）若函數(shù)f（x）在（0，2]上不單調(diào)，試求以的取值范圍;

（或若函數(shù)f （x）在（0，2]上存在極值，試求以的取值范圍）

（6）設(shè)函數(shù)f（x）與直線y=2x相切，求實(shí)數(shù)以的值;

（7）設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)D（1，f（1））處的切線為，，證明：函數(shù)f （x）圖象上的點(diǎn)都不在直線，的上方;

（8）若函數(shù)f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)以的取值范圍;

（9）討論函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù);實(shí)踐證明，通過設(shè)置問題鏈，能使處于不同層次的學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的探究欲，極大地拉近了教師與各個(gè)層次學(xué)生之間的距離，提高師生合作交流的效率，在本例中，（1）-（5）主要討論函數(shù)的單調(diào)性問題，（6）-（7）則側(cè)重研究函數(shù)的切線問題，（8）-（12）著重關(guān)注函數(shù)零點(diǎn)問題，同一個(gè)函數(shù)模型，不同的考查角度，內(nèi)在邏輯自然和諧，使學(xué)生在感受數(shù)學(xué)自然、親切的同時(shí)，產(chǎn)生“看個(gè)究竟”的學(xué)習(xí)熱情;在將數(shù)學(xué)知識(shí)理解得清澈見底的同時(shí)，欣賞到數(shù)學(xué)妙不可言的至簡(jiǎn)之美.

2 一題多解 授之以漁

一題多解，是指用同一個(gè)問題揭示不同方面的知識(shí)和方法，將零星散落的知識(shí)、方法串聯(lián)起來，自然流暢、水到渠成地形成有機(jī)立體的知識(shí)體系，這樣，學(xué)生在思考問題時(shí)也能多方向、多角度、多手段、多途徑入手，思路也就不會(huì)只局限于教材或教師現(xiàn)有的理解，在常規(guī)解法的基礎(chǔ)上會(huì)盡可能多地提出新穎的見解.

筆者在講解2017年高考全國Ⅱ卷理科17題時(shí)，照例對(duì)原問題進(jìn)行變式教學(xué)，以下是筆者對(duì)其中一個(gè)變式問題講解過程.

至此，我們從三個(gè)不同側(cè)面解決了同一個(gè)最值問題，解法1從余弦定理入手，將問題轉(zhuǎn)化為定值條件下的最值問題，走均值不等式求解最值問題的解題路線;解法2則從正弦定理入手，將目標(biāo)函數(shù)改寫成以A為自變量的函數(shù)，走利用函數(shù)模型求解最值問題的解題路線;解法3則從圖形入手，觀察發(fā)現(xiàn)在運(yùn)動(dòng)變化過程中的變量與不變量，由圖可知目標(biāo)函數(shù)的變化趨勢(shì)，直接確定最值位置，走數(shù)形結(jié)合求解最值問題的解題路線，事實(shí)上，這是高中階段求解最值問題的三個(gè)常見切入方向，在同一道題中如此和諧地統(tǒng)一在一起，真正做到了知識(shí)呼應(yīng)、方法遞進(jìn)、思想延續(xù)，這樣講題，于學(xué)生而言，才是終身受益.

由于教材是螺旋式上升編寫的，而高三一輪復(fù)習(xí)是各板塊知識(shí)相對(duì)綜合的應(yīng)用過程，這里的綜合既可以是知識(shí)的綜合，也可以是方法的綜合，在教學(xué)過程中，要幫助學(xué)生縱向打通各個(gè)模塊之間的聯(lián)系，就要將平時(shí)訓(xùn)練中的分解動(dòng)作在思想方法指引下連貫起來，以期融會(huì)貫通，提升能力，達(dá)到高考要求，正所謂，解題豈一法，尋思求百通.

3 多題歸一 大道至筒

這里的“一”指的是具有普遍意義和廣泛遷移性的“含金量”較高的策略性知識(shí)，數(shù)學(xué)題不是一座座“獨(dú)木橋”，而是錯(cuò)綜復(fù)雜的“立交橋”，教師要引導(dǎo)學(xué)生不僅弄清它從哪里來，可以怎么解決，還能有怎樣的延伸，以及它背后的“大家庭”，樹高千丈也要葉落歸根，無論問題如何變化，解題思想?yún)s是高度統(tǒng)一的，這就要求教師在課堂教學(xué)中，以思想方法為主線，將知識(shí)方法串聯(lián)起來，把問題所蘊(yùn)涵的孤立的知識(shí)“點(diǎn)”擴(kuò)展到系統(tǒng)的知識(shí)“面”，透過眼花繚亂的解題方法，抓住思想本質(zhì)，返璞歸真.

上述例2和例3本質(zhì)上都是最值問題，雖然一個(gè)以三角函數(shù)為載體，另一個(gè)以解析幾何為載體，表面上毫無關(guān)聯(lián)，但事實(shí)上，求解過程中不僅你中有我，我中有你，而且求解過程蘊(yùn)涵的思想方法如出一轍，在解題過程中，我們除了分析具體每道題的解題思路外，更應(yīng)該充分總結(jié)和提煉解決此類問題的思想方法，久而久之，學(xué)生認(rèn)知水平必然逐步提高，知識(shí)鏈條有機(jī)聯(lián)系，思想方法立體綜合，正是這些思想的指引，才讓我們?cè)诿鎸?duì)浩瀚的題海，能以一敵百，返璞歸真，以不變應(yīng)萬變，限于篇幅，不再舉例贅述.