基于MPCK視角下的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)

陳燕梅

概念是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，本文以“權(quán)、加權(quán)平均數(shù)”概念教學(xué)為例，從MPCK視角進(jìn)行評析，并反思與探討提升教師MPCK的策略.

1 MPCK理論

舒爾曼1986年提出PCK理論后，立即引起各國學(xué)者關(guān)注，從而使數(shù)學(xué)教師特有的學(xué)科教學(xué)知識從PCK泛學(xué)科的研究中獨(dú)立出來，形成MPCK（數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識）理論，MPCK理論要求教師必須具備數(shù)學(xué)學(xué)科知識（MK）、一般教學(xué)法知識（PK）、有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識（ CK）以及教育技術(shù)知識（TK）[1]，才能夠把科學(xué)形態(tài)的數(shù)學(xué)知識有效轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的數(shù)學(xué)知識，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而這4類知識的綜合與融合就是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識（MPCK），即數(shù)學(xué)教師從事數(shù)學(xué)教學(xué)所應(yīng)具備的核心知識[2].

概念是思維的基本單位，數(shù)學(xué)概念是導(dǎo)出全部數(shù)學(xué)定理法則的邏輯基礎(chǔ)，是建立理論系統(tǒng)的中心環(huán)節(jié)，同時也是解決數(shù)學(xué)問題的前提，在日常教學(xué)中，教師讓學(xué)生記憶、理解、題海訓(xùn)練是概念教學(xué)的普遍現(xiàn)象，往往忽視概念的本質(zhì)，因而學(xué)生在運(yùn)用概念解決問題時常常出現(xiàn)生搬硬套甚至束手無策的現(xiàn)象，基于此，教師在教學(xué)中啟發(fā)學(xué)生建構(gòu)概念、理解概念的內(nèi)涵和外延尤為重要，一個具有優(yōu)秀MPCK的教師會讓學(xué)生認(rèn)識到：數(shù)學(xué)概念不僅僅具有冰冷的美麗，在形成和應(yīng)用數(shù)學(xué)概念的過程中更蘊(yùn)含著火熱的思考[3].

2 MPCK視角下的概念新授課

2015年底，筆者有幸參加了福建省第三屆教師技能大賽以及全國初中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示活動，均獲得一等獎，作為經(jīng)驗(yàn)交流，筆者在廈門市開了《平均數(shù)（1）》市級公開課，這節(jié)課受到了專家、老師和學(xué)生的認(rèn)可，從備課到上課，以及評課和課后反思，筆者進(jìn)一步完善了MPCK.在這里，筆者分享MPCK視角下的教學(xué)設(shè)計過程與反思.

本節(jié)選自義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》（人教版）八年級下冊，是第20章“數(shù)據(jù)的分析”第1節(jié)“數(shù)據(jù)的集中趨勢”第1課時的內(nèi)容[4].

2.1 活動1 創(chuàng)設(shè)情境，建構(gòu)概念

設(shè)計意圖讓學(xué)生感受引入“權(quán)”的合理性，理解“權(quán)”的意義.

七年級時，我們學(xué)習(xí)了當(dāng)收集到數(shù)據(jù)后，通常是用統(tǒng)計圖表整理和描述數(shù)據(jù)，為了進(jìn)一步獲取信息，還需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，數(shù)據(jù)分析與我們的生活息息相關(guān).

問題老師根據(jù)學(xué)生的期中考成績和期末考成績計算學(xué)期總評，小明同學(xué)期中考60分，期末考90分（百分制）.

（1）你能算出他的平均成績嗎？

追問：如何計算n個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)？

（2）若以這個算術(shù)平均數(shù)作為學(xué)期總評，你認(rèn)為合理嗎？

追問1：為什么不合理？

追問2：如何體現(xiàn)期末考更加重要？

（3）你是怎么算的？為什么這么算？

（4）在這個問題中，3和7（舉例）有什么用？

追問1：什么是“權(quán)”？什么是“加權(quán)平均數(shù)”？

追問2：還有哪些也是權(quán)？

（5）如何把這種加權(quán)平均數(shù)的計算方法推廣到一般情況？

（6）期中考和期末考的分?jǐn)?shù)不變，為何得到不同的總評成績？

評析 活動1是本節(jié)的核心內(nèi)容，教師運(yùn)用“概念同化”來建構(gòu)“權(quán)”與“加權(quán)平均數(shù)”的概念，概念同化過程是學(xué)生對概念的主動理解過程，是學(xué)生利用自己已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)對概念進(jìn)行重新建構(gòu)的過程，曹才翰、章建躍在《數(shù)學(xué)教育心理學(xué)》中提出，概念教學(xué)得以充分展開的根本原動力是學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新概念之間的不平衡，根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論，學(xué)生在遇到新概念時，總是先用已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)去同化，如果獲得成功，就得到暫時的平衡;如果同化不成功，則會調(diào)節(jié)已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)或重新建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以順應(yīng)新概念，從而達(dá)到新的平衡，教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生概念學(xué)習(xí)的這種機(jī)制，利用新概念與學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間的差異來設(shè)置相應(yīng)的教學(xué)情境，以使學(xué)生能夠意識到這種不平衡，從而引起學(xué)生的認(rèn)知需要，促使學(xué)生展開積極主動的學(xué)習(xí)活動，

從MK上看，教師在引入新課時關(guān)注本章知識與已有知識的聯(lián)系，讓學(xué)生明確感受到，在收集數(shù)據(jù)后，要進(jìn)一步獲取信息，需通過計算統(tǒng)計量進(jìn)行分析，數(shù)學(xué)源于生活，教師用學(xué)生熟悉的考試成績計算總評來創(chuàng)設(shè)問題情境，通過問題串設(shè)計引導(dǎo)學(xué)生從已有的認(rèn)知（算術(shù)平均數(shù)）中尋找差異，自主建立“權(quán)”的概念，問題簡潔易懂，跳出繁雜的計算，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，凸顯統(tǒng)計的意義，

從PK上看，教師通過啟發(fā)式的講授引領(lǐng)學(xué)生思考，從“權(quán)”的存在，到“權(quán)”的含義、加權(quán)平均數(shù)的計算，再反思“權(quán)”對結(jié)果的影響，新概念逐步浮出水面，在探究加權(quán)平均數(shù)的計算方法時，教師采用從一般到特殊的思想，啟發(fā)學(xué)生自主獲得計算公式，

從CK上看，教師在問題（2）環(huán)節(jié)，鼓勵學(xué)生思考，并相互交流、討論，課堂上，當(dāng)學(xué)生回答“合理”時，教師及時引導(dǎo)學(xué)生闡述原因，并點(diǎn)撥關(guān)鍵點(diǎn)：“同樣重要”;當(dāng)學(xué)生回答“不合理”時，教師進(jìn)一步追問原因，啟發(fā)學(xué)生思考如何體現(xiàn)重要性不同，對于學(xué)生回答的不同形式的權(quán)，教師給予肯定，學(xué)生感受到了“權(quán)”的存在.

2.2 活動2 例題教學(xué)，應(yīng)用新知

設(shè)計意圖從統(tǒng)計圖表中獲取信息，計算算術(shù)平均數(shù)及加權(quán)平均數(shù)，進(jìn)一步理解權(quán)的意義，

例1 一次演講比賽中，評委將從演講內(nèi)容、演講能力、演講效果三個方面為選手打分，各項(xiàng)成績均按百分制計，進(jìn)入決賽的前兩名選手的單項(xiàng)成績?nèi)缦卤硭荆?/p>

請根據(jù)下列問題分別確定兩人的名次.

（1）按演講內(nèi)容占50%、演講能力占40%、演講效果占10%，計算選手的綜合成績.

（2）若演講內(nèi)容、演講能力、演講效果按照1：3：1的比確定，計算選手的綜合成績， 評析從MK上看，教師靈活處理了教材的例題，增加設(shè)計第（2）題，設(shè)計不同形式、不同數(shù)據(jù)的權(quán)，給予學(xué)生計算便利的同時，在對比中識記，鞏固新知，感受權(quán)的重要性，

從PK上看，第（1）題由師生共同完成，教師規(guī)范書寫解答，為后續(xù)學(xué)生解題的表達(dá)提供良好的示范，教師展示學(xué)生的第（2）題的答題情況，并由學(xué)生進(jìn)行點(diǎn)評，

從CK上看，對于第（1）題，教師不是直接讓學(xué)生計算，而是設(shè)問：“不用計算，聰明的你能否直接推斷出他們哪一個的成績更好？”，鼓勵學(xué)生分析、推斷，讓學(xué)生對權(quán)的作用有更深的體會，在解決問題的過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注以下內(nèi)容：（1）這兩名選手的平均成績一樣嗎？不同的權(quán)對結(jié)果有什么影響？ （2）權(quán)不是獨(dú)立概念，增加技能訓(xùn)練題，如85的權(quán)是多少？40%是誰的權(quán)？（3）關(guān)注第一問列式中的分母（50%+40%+10%），與前面權(quán)的計算公式統(tǒng)一.

2.3 活動3應(yīng)用遷移，鞏固提高

設(shè)計意圖掌握計算加權(quán)平均數(shù)，進(jìn)一步理解權(quán)的意義，

練習(xí)某廣告公司欲招聘職員一名，A，B，C三名候選人的測試成績（百分制）如下表所示：

（1）如果公司招聘的職員分別是網(wǎng)絡(luò)維護(hù)員、客戶經(jīng)理或創(chuàng)作總監(jiān)各一名，給三項(xiàng)成績賦予相同的權(quán)合理嗎？

（2）請你設(shè)計合理的權(quán)重，為公司招聘一名職員：①網(wǎng)絡(luò)維護(hù)員;②客戶經(jīng)理;③創(chuàng)作總監(jiān)，

評析從MK上看，此練習(xí)背景源于生活，解決問題的過程中需靈活運(yùn)用加權(quán)平均數(shù)，呈現(xiàn)開放題，給予學(xué)生思維的空間，

從PK上看，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的有力工具，學(xué)生感受數(shù)學(xué)現(xiàn)象和數(shù)學(xué)規(guī)律，從而抓住概念本質(zhì)，領(lǐng)悟概念的內(nèi)涵和外延，

教師預(yù)先設(shè)計好Excel表格程序如下：

（說明：教師根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算公式預(yù)先設(shè)計好表格，根據(jù)學(xué)生的回答輸入“權(quán)”，直接顯示A、B、C的成績）

從CK上看，教師設(shè)置開放性問題，讓學(xué)生主動運(yùn)用“權(quán)”影響一組數(shù)據(jù)的平均水平，幫助學(xué)生內(nèi)化對權(quán)意義的理解，發(fā)展數(shù)據(jù)分析的觀念.

2.4 活動4 獨(dú)抒已見，說我所得

設(shè)計意圖 知識與方法的梳理，進(jìn)一步理解本節(jié)新知識，

問題1：這節(jié)課你學(xué)了什么知識？有什么感受？

追問1：加權(quán)平均數(shù)在數(shù)據(jù)分析中的作用是什么？

追問2：權(quán)的作用是什么？

問題2：在這節(jié)課中，“權(quán)”出現(xiàn)的形式有哪些？

追問：“權(quán)”的不同形式之間可以相互轉(zhuǎn)化嗎？（課后思考）

問題3：我們今天學(xué)習(xí)的“加權(quán)平均數(shù)”和以前學(xué)習(xí)的“算術(shù)平均數(shù)”都屬于平均數(shù)，想一想它們之間有什么區(qū)別和聯(lián)系？

問題4：數(shù)學(xué)源于生活，從剛才的學(xué)習(xí)中，我們知道權(quán)與生活息息相關(guān)，你還能舉出其他例子嗎？

問題5：關(guān)于本節(jié)的學(xué)習(xí)，你還有什么疑問嗎？

評析從MK上看，教師緊扣教材重點(diǎn)難點(diǎn)，從以下幾個方面進(jìn)行引導(dǎo)歸納：

（1）“權(quán)”與實(shí)際生活息息相關(guān);

（2）當(dāng)一組數(shù)據(jù)中各個數(shù)據(jù)重要程度不同時，加權(quán)平均數(shù)能更好地反映這組數(shù)據(jù)的平均水平;權(quán)反映數(shù)據(jù)的相對重要程度，數(shù)據(jù)權(quán)的改變一般會影響這組數(shù)據(jù)的平均水平.

（3）如何計算加權(quán)平均數(shù)，

教師點(diǎn)評功在平時，優(yōu)秀的人始終是優(yōu)秀的，只要考核方式合理，他們并不受考核方式的影響，

問題2教師從學(xué)生的回答出發(fā)，指出百分比的形式有時也以小數(shù)或分?jǐn)?shù)的形式出現(xiàn)，當(dāng)然，體現(xiàn)數(shù)據(jù)的相對重要程度，不止上述形式，比如下節(jié)課將學(xué)習(xí)“權(quán)”出現(xiàn)的另一種形式，建議學(xué)生可以提前預(yù)習(xí)，為新課的學(xué)習(xí)做下鋪墊，

問題3教師啟發(fā)學(xué)生議關(guān)聯(lián)，理頭緒，建構(gòu)知識體系，在概念獲得的過程中，很重要的是通過概念之間的關(guān)系來認(rèn)識新概念，結(jié)果不但使新概念獲得心理意義，而且還使個體對已有的相關(guān)概念獲得更加深刻的理解，

從PK上看，教師組織學(xué)生小組討論，課堂氣氛濃厚，

從CK上看，教師設(shè)置問題，引導(dǎo)學(xué)生思考、討論、舉例，課堂教學(xué)中，學(xué)生暢所欲言，列舉了很多生活中的實(shí)例，談及自己的感受，比如有的學(xué)生談到中考總分計算的方式（不同學(xué)科不同權(quán)重），對應(yīng)于自己的學(xué)習(xí)，應(yīng)如何科學(xué)合理分配時間才會更加高效;有的學(xué)生談到將來自己在參加招聘或招聘員工時，要注意根據(jù)崗位需求關(guān)注或設(shè)置權(quán)重等.

3 關(guān)于提升教師MPCK的反思

3.1 鉆研教材，力透紙背分析，發(fā)展教師MK

在備一堂新課時，教師不但要“逐字逐句”研讀教材，還要“力透紙背”，“精致”地處理教材，從而發(fā)展教師的MK.基于此，教師要解讀課標(biāo)，把握本節(jié)的教學(xué)目標(biāo)，確定本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn);遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和思維發(fā)展水平，巧妙設(shè)計新知識的生成過程，并根據(jù)學(xué)情進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容的增減;挖掘本節(jié)課蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，挖掘本節(jié)課對學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)最重要的遷移價值，挖掘本節(jié)課的教育意義等，

根據(jù)教材內(nèi)容和學(xué)生情況，本節(jié)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是讓學(xué)生在實(shí)際生活背景中理解平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、權(quán)的意義;能從統(tǒng)計圖表中獲取信息，計算一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)以及加權(quán)平均數(shù)，體會權(quán)的作用，教學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生了解權(quán)的含義，進(jìn)而認(rèn)識加權(quán)平均數(shù)的統(tǒng)計意義及加權(quán)平均數(shù)從一個側(cè)面反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，即平均水平，

統(tǒng)計的教學(xué)價值在于發(fā)展學(xué)生的理性思維，讓人講道理，以理服人，數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計的重要環(huán)節(jié)，平均數(shù)是衡量一組數(shù)據(jù)集中趨勢的重要統(tǒng)計量，它反映了一組數(shù)據(jù)的平均水平，是度量一組數(shù)據(jù)波動大小的基準(zhǔn)，為后續(xù)方差的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

本節(jié)的重點(diǎn)是理解加權(quán)平均數(shù)的意義，體會權(quán)的意義;難點(diǎn)是對“權(quán)”的意義的理解，用加權(quán)平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢.

3.2 實(shí)踐課改，體現(xiàn)學(xué)生主體，提升教師CK

實(shí)踐課改，教師成為學(xué)生學(xué)習(xí)活動的組織者、引導(dǎo)者、合作者，應(yīng)了解學(xué)情，關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，提升自我的CK.

八年級的學(xué)生思維活躍，對觀察、猜想、探索性的問題充滿好奇，針對學(xué)生的心理特征，本課時在“權(quán)對于結(jié)果的影響”的教學(xué)環(huán)節(jié)，采用讓先學(xué)生分析、推斷的探究方式，讓學(xué)生感受到探索的樂趣.

本節(jié)是數(shù)據(jù)分析這一章節(jié)的起始課，在此之前，學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)據(jù)的收集、整理和描述，知道當(dāng)收集到數(shù)據(jù)后，通常是用統(tǒng)計圖表整理和描述數(shù)據(jù)，為了進(jìn)一步獲取信息，需對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了算術(shù)平均數(shù)，知道它可以反映一組數(shù)據(jù)的平均水平，但由于生活經(jīng)驗(yàn)的局限，同時受認(rèn)知水平的影響，學(xué)生對權(quán)的意義和作用的理解可能會有困難，因?yàn)槿狈Ω拍畋举|(zhì)的理解，在運(yùn)用加權(quán)平均數(shù)分析數(shù)據(jù)時，容易混淆數(shù)據(jù)和權(quán)，部分學(xué)生往往只會記住公式，而不會解釋數(shù)據(jù)分析結(jié)果的實(shí)際意義或統(tǒng)計意義，把統(tǒng)計問題的學(xué)習(xí)僅僅停留在計算層面，基于此，教學(xué)中要讓學(xué)生感受引入“權(quán)”的必要性、凸顯“權(quán)”的重要性、揭示“權(quán)”的本質(zhì)性，同時，讓學(xué)生了解在現(xiàn)實(shí)生活中有許多問題可以通過分析數(shù)據(jù)作出判斷，體會數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含著信息;了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念.

3.3 立足目標(biāo)，導(dǎo)航教學(xué)全程，靈活選擇PK

教學(xué)目標(biāo)是一切教學(xué)活動的出發(fā)點(diǎn)和最終歸宿，以教學(xué)目標(biāo)為基點(diǎn)導(dǎo)航教學(xué)全程，靈活選擇PK.

本節(jié)的教學(xué)目標(biāo)為：（1）理解平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、權(quán)的意義;（2）能從統(tǒng)計圖表中獲取信息，計算一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)以及加權(quán)平均數(shù);（3）學(xué)生通過加權(quán)平均數(shù)分析一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，發(fā)展數(shù)據(jù)分析能力，逐步形成數(shù)據(jù)分析觀念;（4）在課堂互動中鼓勵學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動，對數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲;進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、合作交流、反思質(zhì)疑等學(xué)習(xí)習(xí)慣，在對“權(quán)”統(tǒng)計意義理解的基礎(chǔ)上，滲透公平公正、實(shí)事求是的價值觀，

圍繞著教學(xué)目標(biāo)，細(xì)化到每一個教學(xué)環(huán)節(jié)，靈活選擇PK.教師進(jìn)行啟發(fā)性的講授，設(shè)計層層遞進(jìn)的問題引領(lǐng)學(xué)生思考;設(shè)計實(shí)效的例題習(xí)題，學(xué)生對于新知學(xué)習(xí)理解掌握，遷移應(yīng)用.

這節(jié)概念課雖是高效率、有意義的，但仍然存在不足，雖是公開課，然而教師沒有提前試講，熟練程度還可以更好一些，每一次的公開課，都是教師教學(xué)技能往前邁進(jìn)的重要平臺，教師對數(shù)學(xué)知識的自覺追問、不斷反思是優(yōu)化MPCK的重要途徑，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識向高效課堂的有效轉(zhuǎn)化.

參考文獻(xiàn)

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