2017年高考全國l卷理科20題的分析與探究

冷東輝

高考全國卷中解析幾何解答題是每年必考的內(nèi)容，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中有關(guān)定點定值問題頻頻出現(xiàn)，對學生而言，期望的是：這類試題如何求解的？是否有方法可依？對教師而言，關(guān)注的是：這類試題是怎樣命制的？是否有規(guī)律可循？現(xiàn)對2017年高考全國I卷理第20題進行分析探究，希望能對一線教師的教學提供參考.

2 試題解析

本題條件簡單清晰，表述言簡意賅，具有“低起點、寬入口、多層次、好區(qū)分”的特點，本題考查橢圓的概念、標準方程和幾何性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想等數(shù)學思想方法，考查推理論證能力和運算求解能力，

本題第（1）問是解析幾何常見的待定系數(shù)法求曲線方程問題，設(shè)問較新穎，考查橢圓的基本知識，涉及的是解析幾何的最基本方法，難度不高，不同層次的考生皆可以順利解決問題，試題第（2）問的證明過程涉及的變量雖然很多，但應(yīng)用的是解析幾何基本知識與基本思想，本題注重通性通法，既為不同基礎(chǔ)和能力的考生搭建能力活動平臺，也使解析幾何的思想方法在解答過程中得以完整展示，比較充分地考查了考生的邏輯思維能力、應(yīng)用解析幾何的思想解決問題的能力以及代數(shù)運算的能力，

考生的典型錯誤有以下方面：

（1）粗心審題：在第（1）問中，將四點P1，P2，P3，P4四點都代入橢圓方程，并正確求出a，b，沒對P1的位置作出說明;

（3）邏輯思維不嚴密：在第（2）問中，未討論直線l與x軸垂直的情形，缺少分類討論的思想，只考慮用韋達定理，沒有考慮到判別式是否大于0這個前提.

探究是數(shù)學教學的生命線，定點定值問題是揭示幾何運動變化中的不變量問題，展示了數(shù)學的美，本題第（2）問有較好的探究價值，是非常不錯的訓練素材，在日常教學中我們教師要給予充分的重視，下面從不同的角度進行變式探究，尋求在動態(tài)的“變”中隱含定點定值“不變”的問題.

3 變式探究

（1）如果把該題中的“若直線P2A與直線P2B的斜率之和為-1”，改變?yōu)椤叭糁本€P2A與直線P2B的斜率之和為l”，直線l是否過定點？

（2）如果把該題中的“若直線P2A與直線P2B的斜率之和為-1”，改變?yōu)椤叭糁本€P2A與直線P2B的斜率之和為0”，直線l是否過定點？

（3）如果把該題中的“設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點，若直線P2A與直線P2B的斜率之和為-l”，改變?yōu)椤霸O(shè)直線l不經(jīng)過P4點且與C相交于A，B兩點，若直線P4A與直線P4B的斜率之和為-l”，直線l是否過定點？

（4）如果把該題中的“設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點，若直線P2A與直線P2B的斜率之和為-l”，改變?yōu)椤霸O(shè)直線，不經(jīng)過P4點且與C相交于A，B兩點，若直線P4A與直線P4B的斜率之和為l”，直線，是否過定點？

（5）如果把該題中的“設(shè)直線7不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點，若直線P2A與直線P2B的斜率之和為一l”，改變?yōu)椤霸O(shè)直線l不經(jīng)過P4點且與C相交于A，B兩點，若直線P4A與直線P4B的斜率之和為0”，直線l是否過定點？

數(shù)學教育家波利亞說過“在你找到第一個蘑菇時繼續(xù)觀察，就能發(fā)現(xiàn)一堆蘑菇”，由題目中斜率之和為-l我們猜想斜率和為0或l時結(jié)論是否也成立，進而猜想斜率之和為任意實數(shù)λ時是否可得出一致結(jié)論，然后再由橢圓上一個定點P2過渡到橢圓上另一點P4、任意一點P，再將上述猜想應(yīng)用到橢圓的一般形式中，得到一系列變式，探究能否得出一般性結(jié)論，變式逐步深入，由易到難，體現(xiàn)著由特殊到一般的數(shù)學推理思想，試題的演變過程不僅符合學生邏輯思維的發(fā)展過程，也引導學生掌握處理此類問題的基本方法，大膽假設(shè)，小心求證，明澈思維，啟迪心智.

5 試題啟示

從近幾年的高考全國卷來看，解析幾何試題總是源于教材高于教材，又能給人似曾相識的感覺，因此，在日常教學中教師應(yīng)立足于教材，精選典型的例題習題，進行變式、延伸、拓展，加強對數(shù)學問題的深入探究，波利亞說過：“一個有責任心的教師與其窮于應(yīng)付繁瑣的數(shù)學內(nèi)容和過量的題目，還不如適當選擇某些有意義但又不太復雜的題目去幫助學生發(fā)掘題目的各個方面，在指導學生解題的過程中，提高他們的才智與推理能力，”這種思想的實質(zhì)就是變式教學思想，通過變式教學，有意識地引導學生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探求“變”的規(guī)律，通過變式教學讓學生對問題進行多角度、多層次的拓展和探究，使學生在解決數(shù)學問題時能夠舉一反三，會思考、會拓展，變式的方面包括問題的弱化強化、問題的正反面互換、問題的縱橫向類比、問題的特殊和一般，總之，采用變式教學，引導學生對問題進行靈活變換，可使學生觸類旁通，提高學生提出問題、分析問題和解決問題的能力，進而提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng).