對(duì)一道高考試題的探究

許鳳姣 劉成龍 蔣紅珠

探究指“探索研究”，即努力找出答案，解決問題，數(shù)學(xué)探究活動(dòng)指圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（下文簡稱《課標(biāo)》）指出：數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是數(shù)學(xué)內(nèi)容的主線之一，數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是綜合提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的載體，”[1]可見，探究活動(dòng)是新一輪課程改革提倡的重要數(shù)學(xué)活動(dòng)形式，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升有益，下文以2013年高考安徽卷理科第9題（簡稱第9題）為探究問題，從背景、解法和拓展視角展開探究.

1 探究問題

希爾伯特指出：“數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)的靈魂，”數(shù)學(xué)問題是探究活動(dòng)的起點(diǎn)，好的數(shù)學(xué)問題引領(lǐng)探究活動(dòng)的順利開展，伴隨整個(gè)探究性活動(dòng)，什么樣的數(shù)學(xué)問題適宜于探究呢？“問題真實(shí)，源于學(xué)生實(shí)際;問題難度適中，符合學(xué)生最近發(fā)展區(qū);問題背景深刻、內(nèi)涵豐富;解答視角寬，便于學(xué)生從不同角度探究;問題可變性強(qiáng)，宜于推廣和變式;問題與其它數(shù)學(xué)內(nèi)容融合度大，”[2]第9題具有一定的難度、深度和廣度，是一個(gè)好的探究問題，

問題再現(xiàn)（2013年高考安徽卷·理9）在平面直角坐標(biāo)系中，0是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)Α，Β滿足|OA|=|OB|= OA·OB =2，則點(diǎn)集{P|OP=λ0A+μOB，|λ|++|μ|≤1，λ，μ∈R）所表示區(qū)域的面積是（? ?）

2 問題背景

背景指命題時(shí)選取素材中含有的知識(shí)、模型、問題、文化、思想和方法等，[3]試題背景引領(lǐng)試題編擬方向，凸顯試題立意，研究試題背景，可以準(zhǔn)確把握試題本質(zhì)、理解試題設(shè)問、拓寬試題解法、加強(qiáng)試題拓展，第9題蘊(yùn)含向量等系數(shù)和線（簡稱等和線）背景，

等和線定理[4]如圖1，直線AB∥DE，點(diǎn)C為直線DE上任意一點(diǎn)，P為直線AB，DE外一點(diǎn)，若PC=mPA+nPB，則m+n=k=PC/PF（其中K為定值）.

特別地，A，B，C共線時(shí)，m+n=1，反之亦然，

等和線定理的推廣形式為：

推廣型等和線定理如圖2，設(shè)直線DE∥AB，直線DE'∥A'B，直線D'E'∥A'B'，直線DE'∥A'B，點(diǎn)C為四邊形DED'E'邊界上任意一點(diǎn)，若PC=x PA+yPB，PCi/PFi=k（i=1，2，3，4），則|x|+|y|=k.

推論1 若|PA|=|PB|，四邊形ABA'B'的為矩形;

推論2 若|PA|=|PB|，|x|+|y|

由推論2 知第9題中點(diǎn)集P表示區(qū)域?yàn)榫匦芜吔缂皟?nèi)部，得S= 4S△OAB，毫無疑問，熟悉上述背景對(duì)試題的本質(zhì)、試題的解法將有更加深入的認(rèn)識(shí).

3解法研究

P.R.Halmos指出：數(shù)學(xué)家存在的主要理由是解問題，數(shù)學(xué)的真正組成部分是問題和解，可見，解題研究在數(shù)學(xué)活動(dòng)中占有十分重要地位，解題研究的視角有：一題多解、多題一解、一題多用、錯(cuò)解分析等等，[5]其中，一題多解指從不同視角對(duì)同一問題進(jìn)行分析進(jìn)而得到多種解答方法，通過對(duì)解法間共性與差異的把握，既能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì)，又能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，[6]第9題從直觀上看屬于線性規(guī)劃問題，但又有別于傳統(tǒng)的線性規(guī)劃問題，具有一定的新穎性和創(chuàng)造性，下面從特殊化、一般化和本質(zhì)化給出問題的解答：

由cos∠AOB=OA·OB/|OA|·|OB|=1/2，得AOB∠=60°，故△OAB是邊長為2的等邊三角形，

視角1特殊化

華羅庚教授指出：“復(fù)雜的問題要善于‘退，足夠地‘退，退到最原始而不失重要性的地方”，特殊化是“退”的重要策略，

視角2 一般化

你能用不同的方式推導(dǎo)這個(gè)結(jié)果嗎？你能一眼就看出它來嗎？[5]

視角3 本質(zhì)化

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：“理解與高中數(shù)學(xué)關(guān)系密切的高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，能夠從更高的觀點(diǎn)理解高中數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，”“在日常的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，能夠用高等數(shù)學(xué)的思想、觀點(diǎn)、方法去解釋和理解中學(xué)數(shù)學(xué)問題的例子很多，重要的是，作為一名數(shù)學(xué)教師應(yīng)該具有這樣的思維和意識(shí).（張奠宙語）”從高等數(shù)學(xué)的角度來認(rèn)識(shí)第9題的解答方法，

方法3 矩陣變換法

方法4 二重積分的變量代換法[7]

評(píng)注方法1將坐標(biāo)特殊化，從線性規(guī)劃的角度進(jìn)行求解，是考生最容易想到的辦法;方法2抓住試題的背景，給出了試題的一般解法，這對(duì)把握試題的本質(zhì)有益;方法3、4從高等數(shù)學(xué)角度給出試題的解法，這對(duì)更高角度理解方法1、方法2有益，對(duì)深層次認(rèn)識(shí)試題有利，對(duì)問題的推廣有用.

4 問題拓展

波利亞指出：沒有任何一個(gè)題目是徹底完成了的，總還會(huì)有些事情可以做，[5]比如，問題的拓展，第9題可以從變式和推廣兩個(gè)方面展開.

4.1 試題變式

變式是指相對(duì)于某種范式，不斷變更問題情境或改變思維角度，使事物的非本質(zhì)屬性時(shí)隱時(shí)現(xiàn)，而事物的本質(zhì)屬性保持不變的變化方式，“依靠變式提升演練水準(zhǔn)”是張奠宙先生指出的數(shù)學(xué)教學(xué)的四個(gè)特征之一，它不僅能有效制題海戰(zhàn)術(shù)，而且能完善學(xué)生認(rèn)知，幫助學(xué)生形成良好的的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，陳景潤先生指出“題有千變，貴在有根，”基于根一等和線定理，可以對(duì)第9題作出如下變式，

變式平面直角坐標(biāo)系中，0是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)A，B滿足|OA|=|OB|，OA=（x1，Y1），OB= （X2，Y2），則點(diǎn)集{P|OP=λOA+μOB，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R）表示區(qū)域的面積是2|x1Y2 - x2Y1|.

評(píng)注 第9題中條件|OA|=|OB|：OA·OB =2的功能是求△OAB的面積，事實(shí)上，由OA， OB的坐標(biāo)即可確定△OAB的面積，于是可得上述變式，特別指出，變式中的|OA|=|OB|一條件可去掉，變式結(jié)論依然成立.

4.2 試題推廣

數(shù)學(xué)推廣是指在一定范圍內(nèi)或一定層次上對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理、法則進(jìn)行拓展，使之在更大范圍或更高層次上成立，此外，也指對(duì)條件、結(jié)論進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析以后，進(jìn)行適當(dāng)變化，使得到的新命題為真，[8]張景中院士指出：“推廣是數(shù)學(xué)研究中極其重要的手段之一，數(shù)學(xué)自身的發(fā)展在很大程度上依賴于推廣，試題推廣有利于完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)，試題推廣的方法有：增加元的個(gè)數(shù)、提升元的次數(shù)，數(shù)字字母化，結(jié)論一般化等[6]，第9題可以從多視角推廣，如下：

視角1 條件中的常數(shù)一般化

視角2 平面問題空間化

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017

[2]蔣紅珠，劉成龍.對(duì)一道向量最值問題的研究性學(xué)習(xí)[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2018 （2）： 14一18

[3]薛世林，劉成龍.2016年高考四川理科數(shù)學(xué)卷21題的多角度分析[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2017 （4）： 4-6

[4]余小芬，劉成龍.2017全國卷III數(shù)學(xué)理科12題的研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（江西），2017 （11）：37-39

[5]波利亞.涂泓，馮承天譯.怎樣解題[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?007

[6]余小芬，劉成龍.對(duì)2016年四川卷高考理科10題的研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（江西），2016 （11）：12-16

[7]陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2004

[8]鄭隆昕.數(shù)學(xué)推廣的類型與思想方法[J].武漢教育學(xué)院學(xué)報(bào)，1999，18 （3）：5-10