尋覓球心的幾種視角

福建省羅源一中 (郵編：350600)

球是立體幾何的重要內(nèi)容，是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的重要載體.四面體外接球問題在質(zhì)檢、高考和競(jìng)賽試題中頻頻出現(xiàn)，解決四面體外接球問題的關(guān)鍵在于確定球心的位置，本文給出尋覓球心的幾種視角，為教師教學(xué)提供參考.

1 在過四面體底面外心且垂直底面的直線上覓球心

由于四面體外接球球心到各頂點(diǎn)的距離相等，所以球心在底面的射影為底面三角形的外心，因此可在過底面外心且垂直底面的直線上尋覓四面體外接球的球心.四面體的各個(gè)面都可作為底面，為便于尋覓球心，常選擇特殊三角形(如直角三角形、等邊或等腰三角形等)為底面.

1.1 若四面體兩個(gè)面是公共斜邊的直角三角形，則球心為斜邊中點(diǎn)

直角三角形的外心為斜邊中點(diǎn)，若四面體兩個(gè)面是公共斜邊的直角三角形，由于過公共斜邊中點(diǎn)且垂直兩個(gè)面的兩條直線的交點(diǎn)即為公共斜邊的中點(diǎn)，所以四面體外接球的球心在公共斜邊的中點(diǎn).由兩個(gè)面公共斜邊中點(diǎn)到四頂點(diǎn)的距離相等，亦知四面體外接球的球心在公共斜邊的中點(diǎn).

例1 (2018年福州市高三質(zhì)檢文科第10題)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.已知四面體ABCD為鱉臑，AB⊥平面BCD，AB=BD=CD=2，且該鱉臑的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積為______.

圖1

1.2 若四面體有一個(gè)面為直角三角形，則在過斜邊中點(diǎn)且垂直于直角三角形所在平面的直線上覓球心

A.1 B.2 C.4 D.8

圖2

顯然當(dāng)球O2與面BCD相切且在面BCD下方與球O1內(nèi)切時(shí)直徑最大，最大值為OH1與球O1半徑之和，故球O2直徑最大值為8.

1.3 若四面體涉及二面角大小，設(shè)過二面角兩個(gè)半平面所在三角形外心且垂直所在面的直線為l1、l2，則球心為l1、l2交點(diǎn)

例3 (2018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建省預(yù)賽第6題)如圖，在三棱錐P-ABC中，△PAC、△ABC都是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形.若二面角P-AC-B的大小為1200，則三棱錐P-ABC外接球的面積為_______________.

圖3

圖4

2 在長(zhǎng)方體中覓球心

對(duì)某些特殊四面體，可通過構(gòu)造長(zhǎng)方體將四面體“鑲嵌”在長(zhǎng)方體內(nèi)，使四面體的頂點(diǎn)為長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線和中點(diǎn)分別為四面體外接球的直徑和球心.以下幾種情形的四面體都可通過構(gòu)造長(zhǎng)方體尋覓其外接球球心.

2.1 若四面體三條棱兩兩垂直，則分別以這三條棱為長(zhǎng)、寬、高構(gòu)造長(zhǎng)方體

例5 同例1

圖5

例6 (2018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川省預(yù)賽第10題)在三棱錐P-ABC中，三條棱PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=1,PB=2，PC=2.若點(diǎn)Q為三棱錐P-ABC外接球的球面上任一點(diǎn)，則Q到面ABC距離最大值為______.

圖6

2.2 若四面體中的空間四邊形有三個(gè)直角，則以直角頂點(diǎn)為端點(diǎn)的兩條邊為長(zhǎng)和寬，以過非直角頂點(diǎn)的對(duì)角線為對(duì)角線構(gòu)造長(zhǎng)方體

四面體去掉一組對(duì)棱變成空間四邊形，若空間四邊形有三個(gè)直角，則以直角頂點(diǎn)為端點(diǎn)的兩條邊為長(zhǎng)和寬，以過非直角頂點(diǎn)的對(duì)角線為對(duì)角線構(gòu)造長(zhǎng)方體.

圖7

2.3 若四面體三組對(duì)棱相等，則以三組對(duì)棱為長(zhǎng)方體六個(gè)面的對(duì)角線構(gòu)造長(zhǎng)方體

圖8

3 在空間直角坐標(biāo)系中覓球心

通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用球心到四頂點(diǎn)的距離相等求出球心坐標(biāo).

例9 (2018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山西省預(yù)賽第7題)四面體ABCD中，有一條棱長(zhǎng)為3，其余五條棱長(zhǎng)皆為2，則其外接球的半徑為______.

圖9