尋覓球心的幾種視角

福建省羅源一中 (郵編：350600)

球是立體幾何的重要內(nèi)容，是培養(yǎng)學生直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的重要載體.四面體外接球問題在質(zhì)檢、高考和競賽試題中頻頻出現(xiàn)，解決四面體外接球問題的關(guān)鍵在于確定球心的位置，本文給出尋覓球心的幾種視角，為教師教學提供參考.

1 在過四面體底面外心且垂直底面的直線上覓球心

由于四面體外接球球心到各頂點的距離相等，所以球心在底面的射影為底面三角形的外心，因此可在過底面外心且垂直底面的直線上尋覓四面體外接球的球心.四面體的各個面都可作為底面，為便于尋覓球心，常選擇特殊三角形(如直角三角形、等邊或等腰三角形等)為底面.

1.1 若四面體兩個面是公共斜邊的直角三角形，則球心為斜邊中點

直角三角形的外心為斜邊中點，若四面體兩個面是公共斜邊的直角三角形，由于過公共斜邊中點且垂直兩個面的兩條直線的交點即為公共斜邊的中點，所以四面體外接球的球心在公共斜邊的中點.由兩個面公共斜邊中點到四頂點的距離相等，亦知四面體外接球的球心在公共斜邊的中點.

例1 (2018年福州市高三質(zhì)檢文科第10題)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.已知四面體ABCD為鱉臑，AB⊥平面BCD，AB=BD=CD=2，且該鱉臑的四個頂點都在球O的表面上，則球O的表面積為______.

圖1

1.2 若四面體有一個面為直角三角形，則在過斜邊中點且垂直于直角三角形所在平面的直線上覓球心

A.1 B.2 C.4 D.8

圖2

顯然當球O2與面BCD相切且在面BCD下方與球O1內(nèi)切時直徑最大，最大值為OH1與球O1半徑之和，故球O2直徑最大值為8.

1.3 若四面體涉及二面角大小，設(shè)過二面角兩個半平面所在三角形外心且垂直所在面的直線為l1、l2，則球心為l1、l2交點

例3 (2018年全國高中數(shù)學聯(lián)賽福建省預賽第6題)如圖，在三棱錐P-ABC中，△PAC、△ABC都是邊長為6的等邊三角形.若二面角P-AC-B的大小為1200，則三棱錐P-ABC外接球的面積為_______________.

圖3

圖4

2 在長方體中覓球心

對某些特殊四面體，可通過構(gòu)造長方體將四面體“鑲嵌”在長方體內(nèi)，使四面體的頂點為長方體的頂點，則長方體的對角線和中點分別為四面體外接球的直徑和球心.以下幾種情形的四面體都可通過構(gòu)造長方體尋覓其外接球球心.

2.1 若四面體三條棱兩兩垂直，則分別以這三條棱為長、寬、高構(gòu)造長方體

例5 同例1

圖5

例6 (2018年全國高中數(shù)學聯(lián)賽四川省預賽第10題)在三棱錐P-ABC中，三條棱PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=1,PB=2，PC=2.若點Q為三棱錐P-ABC外接球的球面上任一點，則Q到面ABC距離最大值為______.

圖6

2.2 若四面體中的空間四邊形有三個直角，則以直角頂點為端點的兩條邊為長和寬，以過非直角頂點的對角線為對角線構(gòu)造長方體

四面體去掉一組對棱變成空間四邊形，若空間四邊形有三個直角，則以直角頂點為端點的兩條邊為長和寬，以過非直角頂點的對角線為對角線構(gòu)造長方體.

圖7

2.3 若四面體三組對棱相等，則以三組對棱為長方體六個面的對角線構(gòu)造長方體

圖8

3 在空間直角坐標系中覓球心

通過建立空間直角坐標系，利用球心到四頂點的距離相等求出球心坐標.

例9 (2018年全國高中數(shù)學聯(lián)賽山西省預賽第7題)四面體ABCD中，有一條棱長為3，其余五條棱長皆為2，則其外接球的半徑為______.

圖9