三參數(shù)離散灰色預測模型DGM(1,1)3及其應用

孫 峰，周雪玉

（重慶工商大學a.旅游與國土資源學院；b.國家智能制造服務國際科技合作基地，重慶 400067）

0 引言

灰色預測模型[1]是研究和解決小數(shù)據(jù)不確定性問題的一種常用方法。經(jīng)過三十余年的發(fā)展，灰色預測模型已由最初的GM(1,1)模型拓展出GM(1,N)模型、DGM(1,1)模型、Verhulst模型、DGM(2,1)模型[2-4]等；建模對象也由最初的實數(shù)序列拓展至區(qū)間灰數(shù)序列、離散灰數(shù)序列及灰色異構數(shù)據(jù)序列[5-8]。上述研究成果的不斷涌現(xiàn)，豐富了灰色預測模型理論體系，改善了灰色預測模型的建模能力與適用范圍，促進了灰色預測模型與現(xiàn)實問題的有效對接，解決了生產(chǎn)和生活中的大量實際問題。

謝乃明對經(jīng)典GM(1,1)模型進行了非常深入的研究，認為GM(1,1)模型中利用離散形式的差分方程進行參數(shù)估計，利用連續(xù)形式的微分方程進行擬合和預測，而離散形式和連續(xù)形式由于構造方式不同是不能精確等同的，這兩種形式之間的跳躍是造成模型誤差的根本原因，在此基礎上提出了離散灰色預測模型DGM(1,1)[9，10]。DGM(1,1)解決了經(jīng)典GM(1,1)無法實現(xiàn)齊次指數(shù)序列無偏擬合的不足，在灰色預測模型體系中具有十分重要的地位。

為了進一步優(yōu)化DGM(1,1)模型的模擬及預測精度，研究人員從初始值、背景值、累加階數(shù)、非齊次序列模擬、模型性質(zhì)、區(qū)間DGM(1,1)模型等方面[11-15]對DGM(1,1)進行了大量研究，促進了該模型的發(fā)展和完善。然而，當建模序列具有一定的波動性特征時，傳統(tǒng)的DGM(1,1)及其優(yōu)化模型，其模型精度仍然較差。這主要是因為DGM(1,1)在建模時，僅考慮了β1(k) 對x?(1)(k+1) 的影響，當β1(k)為異常值并導致序列呈現(xiàn)出波動特征時，將直接對(k+1)的模擬及預測值造成干擾，導致模型精度不理想。這就是DGM(1,1)模型在面對具有一定波動特征的建模序列時，即使其參數(shù)最優(yōu)而預測效果仍不理想的根本原因。

本文在傳統(tǒng)DGM(1,1)的基礎上，提出了一種三參數(shù)的離散灰色預測模型（簡稱DGM(1,1)3模型），該模型充分考慮了序列滯后項對模擬及預測結果的影響，能在一定程度上改善建模序列光滑性，較好地規(guī)避了序列中的極端奇異值對的模擬及預測值可能造成的干擾，從而提高離散灰色預測模型性能。本文通過對波動序列模擬及預測誤差的比較和分析，驗證了DGM(1,1)3模型具有比傳統(tǒng)的DGM(1,1)及經(jīng)典GM(1,1)更好地模擬及預測性能。最后將該模型成功地應用于安徽省萬人有效發(fā)明專利數(shù)的模擬及預測。

1 DGM(1,1)3模型

1.1 DGM(1,1)3模型的定義

定義1：設非負原始數(shù)據(jù)序列X(0)=(x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n) ),其中x(0)(k)≥0,k=1，2，…n，序列X(1)是序列X(0)1-AGO[2]序列，即：

其中：

則：

被稱為是含參數(shù)β1，β2及β3的離散灰色預測模型，簡稱DGM(1,1)3模型。在該模型中，x(1)(1)及x(1)(2)被稱為DGM(1,1)3模型的初始值。顯然，當β2=0,DGM(1,1)3模型即為傳統(tǒng)的DGM(1,1)模型。

1.2 DGM(1,1)3模型的參數(shù)估計

本文將應用最小二乘法(OLS)及克萊姆法則來估計DGM(1,1)3模型的參數(shù)β1，β2及β3。確保x(1)(k+1)的模擬值x?(1)(k+1)最小模擬誤差S需滿足:

根據(jù)最小二乘法，可得：

則：

根據(jù)克萊姆法則，可得：

參數(shù)β1，β2及β3的計算表達式，如下：

1.3 DGM(1,1)3模型的推導

根據(jù)定義1,當k=2：

當k=3：

將公式（3）帶入公式（4），得：

當k=4：

將公式（4）、公式（5）帶入公式（6），得：

從上面的推導過程可以發(fā)現(xiàn)，DGM(1,1)3模型的時間響應函數(shù)的推導過程是非常復雜的，很難發(fā)現(xiàn)其演變規(guī)律。實際上，本文構建DGM(1,1)3模型的目的是模擬或預測數(shù)據(jù)(k) 及(k)，k=2，3，…，4，在這個意義上而言，DGM(1,1)3模型的時間響應式并不重要。根據(jù)定義1可知，DGM(1,1)3模型滿足迭代算法，因此可以通過一個MATLAB程序來實現(xiàn)數(shù)據(jù)(k) 的計算，在此基礎上，根據(jù)累加生成的逆過程求解最終還原值(k)。

2 模型性能比較和分析

設隨機序列X(0)（x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)），其中40≤x(0)(k)≤80，k=1，2，…，n。分別構建序列X(0)DGM(1,1)3模型，DGM(1,1)模型及GM(1,1)模型，并對上述三個模型對序列X(0)的模擬及預測誤差進行比較和分析。

為了同時比較不同模型的模擬及預測性能，本文將隨機序列X(0)分成兩個部分。其中，第一部分(k=1，2，…，10)用來建立DGM(1,1)3模型，DGM(1,1)模型及GM(1,1)模型，并計算模型模擬誤差；第二部分(k=11，12，…，15)用來測試模型的預測性能。

運用MATLAB軟件計算各模型參數(shù)，結果如下所示：

（1）DGM(1,1)3模 型 ：β1=1.5969;β2=-0.5710;β3=22.6016

（2）DGM(1,1)模型：β1=1.0884;β2=35.6882

（3）GM(1,1)模型：a=-0.0854;b=33.9309

根據(jù)模型的參數(shù)，可計算上述三個模型對隨機序列X(0)(k=1，2，…，10)的模擬值及模擬誤差，計算結果如表1所示。

表1 GM(1，1)、DGM(1，1)及DGM(1，1)對隨機序列 X(0) 的模擬值及模擬誤差3

類似地，當k=11，12，…，15時，可以計算三個模型對隨機序列X(0)的預測值及預測誤差，結果如表2所示。

表2 GM(1，1)、DGM(1，1)及DGM(1，1)對隨機序列 X(0) 的預測值及預測誤差3

在表1及表2中，符號x(0)(k),x?(0)(k),Δk(%),MAPE(In) andMAPE(Out)含義如下：

（1）x(0)(k)序列X(0)的第k個元素。

（2）x?(0)(k)對應x(0)(k)的模擬或預測值。

（3）Δkx?(0)(k)的模擬或預測絕對百分誤差。

（4）MAPE(In)平均絕對模擬百分誤差。

（5）MAPE(O ut)平均絕對預測百分誤差。

根據(jù)表1、表2不難發(fā)現(xiàn)，相對于GM(1，1)與DGM(1，1)，本文所構建的DGM(1，1)3對隨機序列X(0)，其模擬及預測誤差最小，這表明對于相同序列，DGM(1，1)3具有相對更優(yōu)的模擬及預測性能。這主要是因為在DGM(1，1)3模型中增加了滯后項β2x(1)(k-1)，表示x(1)(k+1)的值不僅僅受到β1x(1)(k)的影響，同時還受到滯后項β2x(1)(k-1)的影響，從而避免了β1x(1)(k)的極端值對x(1)(k+1)可能產(chǎn)生的沖擊，起到了抑制極端值及改善序列平滑性的效果。

3 模型應用

萬人有效發(fā)明專利數(shù)是指每萬人擁有經(jīng)國內(nèi)外知識產(chǎn)權行政部門授權且在有效期內(nèi)的發(fā)明專利件數(shù)，是衡量一個國家或地區(qū)科研產(chǎn)出質(zhì)量和市場應用水平的國際通用綜合指標，主要體現(xiàn)一個國家或地區(qū)自主科技創(chuàng)新能力。安徽省2010—2015年的萬人有效發(fā)明專利數(shù)，如表3所示（數(shù)據(jù)來自《安徽省統(tǒng)計年鑒》）。本文將構建安徽省萬人有效發(fā)明專利數(shù)的DGM(1，1)3模型，并對該省2016—2020年的萬人有效發(fā)明專利數(shù)進行預測。

表3 安徽省2010—2015年萬人有效發(fā)明專利數(shù) （單位：件）

根據(jù)表3可知：

則序列X(0)的1-AGO序列X(1)為：

應用MATLAB程序可計算序列X(0)的DGM(1，1)3模型，如下：

則安徽省萬人有效發(fā)明專利數(shù)的DGM(1,1)3模型為：應用公式（8），可計算安徽省2010—2015年萬人有效發(fā)明專利數(shù)的模擬值及模擬誤差：

則：

根據(jù)灰色預測模型誤差等級參照表[2]，可知該模型的誤差等級為II，可用于中短期預測。

根據(jù)公式（8），預測安徽省2016—2020年萬人有效發(fā)明專利數(shù)，結果如表4所示。

表4 安徽省2016—2020年萬人有效發(fā)明專利數(shù) （單位：件）

根據(jù)表4可知，安徽省2016—2020年萬人有效發(fā)明專利數(shù)預計呈現(xiàn)快速增長的趨勢，到2020年，其數(shù)據(jù)規(guī)模將達到14.71件，是2010年的6倍多。這主要得益于近年來安徽省大力推進科技創(chuàng)新型省份的建設，出臺了支持科技創(chuàng)新的“1+6”政策和“1+10”政策。扶持高層次科技人才團隊在皖創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)、促進科技成果轉化、大型科學儀器共享共用、市創(chuàng)新能力評價5項實施細則，同時研究制定科技重大專項、科技保險試點、實驗室建設、專利權質(zhì)押貸款4項實施細則，加上已出臺的高新技術產(chǎn)業(yè)投資基金實施細則，形成覆蓋創(chuàng)新驅(qū)動全過程的“1+10”政策體系。

4 結論

本文在傳統(tǒng)DGM(1,1)的基礎上，提出了一種三參數(shù)的離散灰色預測模型DGM(1,1)3，該模型充分考慮了序列滯后項對模擬及預測結果的影響，能在一定程度上改善建模序列光滑性，較好地規(guī)避了序列中的極端奇異值對(k+1)的模擬及預測值可能造成的干擾，從而提高離散灰色預測模型性能。通過對波動序列模擬及預測誤差的比較和分析，驗證了DGM(1,1)3模型具有比傳統(tǒng)DGM(1,1)及經(jīng)典GM(1,1)更好的模擬及預測性能。最后將該模型成功地應用于安徽省萬人有效發(fā)明專利數(shù)的模擬及預測。如何對DGM(1,1)3模型的初始條件、背景值、建模條件、累加階數(shù)等內(nèi)容進行系統(tǒng)研究，是項目組下一步的將要研究的主要內(nèi)容。