淺談一元二次方程的根和系數(shù)聯(lián)系

陳景東

摘要：本文主要分析一元二次方程的兩個根與系數(shù)的聯(lián)系.并從多個方面去論證其中的正確過程。從而達到更加認識的效果。

關(guān)鍵詞：方程的根，系數(shù)，解方程，χ1，χ2。

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：如果一元二次方程 （ ）的兩根是χ1，χ2，那么有 。這實際上就是著名的“韋達定理”。運用這個定理，在不解方程的情況下，可以解決許多與一元一次方程的根有關(guān)的問題。

一、已知一根求另一根及求未知系數(shù)

例1：已知方程 的一個根是5，求另一個根及 的值。

解：設方程的另一個根為 ，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得

，得 。

又∵ ，∴ 。

所以，方程的另一個根是1， 的值是5。

二、不解方程，求與根有關(guān)的代數(shù)式的值

例2 設χ1，χ2是方程 的兩個根，不解方程，試求下列代數(shù)式的值：

（1） ； （2）

解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得

（1） （2）

；

注：利用根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值的問題，關(guān)鍵是把所求的代數(shù)式通過適當?shù)淖冃?，轉(zhuǎn)化為兩根之和或兩根之積的形式，然后代人求值。

三、已知兩根，求作方程

如果 ， 是一元二次方程 的兩根，那么有 。所以 。

通過以上推導，我們得出“韋達定理”的一個推論：

如果一個一元二次方程（二次項系數(shù)為1）的兩根是 ， ，那么這個一元二次方程是 。

利用這個推論，只要知道一個一元二次方程的兩根，就可以寫出原方程了。

例3 已知一個一元二次方程的兩根是1+ 和1- ，試寫出這個方程

解：所求的方程是

。

即

總結(jié)以上例子，解決這類問題應注意下面幾點：

①已知兩數(shù)的和與積，可以用根與系數(shù)的關(guān)系求出這兩個數(shù)；

②求作一個新的方程，常常無須求出方程的兩個根，只要能已知兩根之和及兩根之積即可；

③運用韋達定理的前提條件是方程必須有實數(shù)根，即△≥0。

四、結(jié)合根的判別式解決有關(guān)一元二次方程的綜合題

例4： ：已知 ， 是關(guān)于 的方程 的兩個正實數(shù)根，且滿足 ，試求出 的值。

解：∵

∴ 。

將 代人原方程，得：

即 ，解得 。

當 時，△ ， ，即 ， 異號，不合題意，舍去。

當 時，△>0， ，且 ，符合題意?！?的值是6。