拉格朗日乘子的解析與應用

(長江工程職業(yè)技術(shù)學院，武漢 430212)

眾所周知，拉格朗日乘數(shù)法給出了求解多元函數(shù)條件極值的方法。以二元函數(shù)為例，函數(shù)z=fx,y在φx,y=0約束條件下的可能極值點x0,y0應滿足：在該點，

(1)

(2)

(3)

1 乘子λ的意義

上述(1)(2)式中的λ，稱為拉格朗日乘數(shù)法的乘子，它參與求解極值的運算，如果極值存在(以下不再說明)，則它本身的意義是什么？它的大小說明了什么？教材中一般不作解釋。為解答這一問題，我們引入“約束參數(shù)”的概念。

在一個約束條件φx,y=0中，通常含有且只有一個反映約束程度的數(shù)量，表示為字母(例如A，此時，約束條件φx,y=0可改寫為等價的ωx,y-A=0)。顯然，函數(shù)的條件極值點x,y與函數(shù)的條件極值fx,y的取值，都受到這個數(shù)量A的制約，所以它們都是A的函數(shù)。為說話方便，稱A為該約束條件的約束參數(shù)。(存在未顯示約束參數(shù)的約束條件，將在例3中討論)

例1：將周長為2p的矩形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)而構(gòu)成一個圓柱體，矩形的邊長為多少時，可使圓柱體體積最大?

解：設矩形長、寬為a,b，則圓柱體體積V=fa,,b=πab2,且a+b=p.這里，p就是反映約束程度的約束參數(shù)。p

實際上，不僅約束條件和fx,y的極值是約束參數(shù)的函數(shù)，而且它們與拉格朗日乘子之間存在如下關系。

證: 由(1)(2)式，且因φx,y=0?ωx,y-A=0，所以φxx,y=ωxx,y,

φyx,y=ωyx,y,

注意Δfx,y≈dfx,y=λdA,所以當dA=1,Δfx,y≈dfx,y=λ,即：當約束參數(shù)增加1個單位，條件極值近似地增加λ個單位。

續(xù)例1 (例1和下面的例3，其目的為便于說明定理一的應用，而非求條件極值本身。實際上若為后者，則將其化為無條件極值更簡便。)

解: .由(1)，(2)，(3)式 ，最大體積矩形的應滿足

例2 ：設某種產(chǎn)品需要投入兩種生產(chǎn)要素，x,y為兩種要素的可投入量，其產(chǎn)出為u=fx,y，若資源總量為a，在滿足φx,y=a的限制下，求最大的產(chǎn)出。

上式表明：乘子λ正是資源總量a對于最大產(chǎn)出的邊際貢獻，即此時若資源總量a再增加一個單位，則最大產(chǎn)出將近似地增加λ個單位。在經(jīng)濟學上，稱λ為產(chǎn)出最大化時資源的影子價格，它為企業(yè)考慮是否增加生產(chǎn)提供了有用的參考。

2 約束條件多于一個的情形

當函數(shù)自變量多于兩個，約束條件多于一個的情形，都有相應于定理一的定理。以4個自變量2個約束條件的情形為例。根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法，u=fx,y,z,t在φx,y,z,t=0,ψx,y,z,t=0條件下的可能極值點x0,y0,z0,t0應滿足：在該點，

(4)

(5)

必須注意這里有兩個乘子λ1、λ2，分別稱為第一，第二乘子，因為

φx,y,z,t=0?ωx,y,z,t-A1=0,

ψx,y,z,t=0?μx,y,z,t-A2=0

(6)

存在兩個約束參數(shù)A1,A2分別稱為第一、第二約束參數(shù)。由(6)式可得

φx=ωx,φy=ωy,φz=ωz,φt=ωt;ψx=μx,

ψy=μy,ψz=μz,ψt=μt

相應于定理一，有如下

(7)

而由(5)式和(6)式

3 以一個已賦值的約束參數(shù)的例題來說明上述定理二

例3 某廠家生產(chǎn)一種產(chǎn)品，同時在兩個市場銷售，售價分別為p1和p2,銷售量分別為q1和q2,需求函數(shù)為q1=24-0.2p1;q2=10-0.05p2,總成本函數(shù)為C=35+40q1+q2.廠家應如何確定兩個市場的售價，使總利潤最大，最大總利潤為多少？

解:本題是求總利潤fp1,p2,q1,q2=p1q1+p2q2-[35+40(q1+q2)]

在約束q1=24-0.2p1;q2=10-0.05p2下最大值的問題。兩個約束表明：若價格p1,p2提高，則銷售量q1,q2將減少,即后者受到前者的制約， 而24與10這兩個數(shù)字，則表明了其制約的程度。即：若價格p1接近到24/0.2=120，則銷售量q1將接近到0(對于10，情況類似)。由此可知，約束參數(shù)在這里被賦予了具體的數(shù)值24和10而沒有顯示，如果令其顯示為A1,A2，則約束為q1=A1-0.2p1;q2=A2-0.05p2,

本題是四元函數(shù)兩個約束條件的情況，由(4)，(6)式,可知: 使總利潤最大的售價p1,p2應滿足

經(jīng)計算，得到p1=2.5A1+20,p2=10A2+20 此時，q1=0.5A1-4,q2=0.5A2-1。

ΔA2=0(ΔA1=0),最大總利潤將近似地增加λ1λ2個單位。

返回A1,A2的賦值，令A1=24，;A2=10，則p1=80,p2=120.q1=8;q2=4.

最大總利潤f80,120,8,4=605.而λ1=40,表明若將A1增加一個單位，則產(chǎn)品在第一個市場銷售量將增加，從而使最大總利潤近似地增加40個單位 ，λ2=80的意義是類似的。若將A1，A2分別同時增加一個單位，則最大總利潤將近似地增加λ1+λ2=120個單位。