橢圓的離心率教學(xué)隨想

馮剛 張瑞

（江蘇省奔牛高級中學(xué)，江蘇 常州）

高中數(shù)學(xué)課標修訂組給出了數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析。發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)已經(jīng)成為當下的熱點，作為一線教師，筆者更關(guān)心的是如何將發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的理念落實到課堂？它與已有的教學(xué)理念是否矛盾？本文是筆者結(jié)合《橢圓的離心率》的教學(xué)隨想。

一、課程實施流程設(shè)想

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》強調(diào)“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習數(shù)學(xué)的方式?！?/p>

結(jié)合范式教學(xué)理論，設(shè)置如下教學(xué)流程:

1.設(shè)置承上啟下的引例，感受橢圓的實際背景

引例（課本例2），如圖1，我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地球的中心（簡稱“地心”）F2為一個焦點的橢圓。已知它的近地點A（離地面最近的點）距地面439km，遠地點B（離地面最遠的點）距地面2384km，AB是橢圓的長軸，地球半徑約為6371km，求衛(wèi)星運行的軌道方程。

圖1

分析：選擇本例作為開堂引例，一可以回顧上一節(jié)課的知識；二是讓學(xué)生進一步感受圓錐曲線的實際背景。激發(fā)學(xué)生的愛國熱情和探究數(shù)學(xué)知識的欲望，認識到數(shù)學(xué)不是“紙上談兵”。

2.動手操作，生成概念

發(fā)放課前準備好的硬紙板、圖釘和細繩，每個小組一份，等學(xué)生完成之后上臺展示作品，學(xué)生在對比中感受到不同的小組畫出的橢圓大小、圓扁程度不一樣。

問：我們?nèi)绾螐拇鷶?shù)的角度來刻畫橢圓的這種“圓扁程度”呢？

（1）動手操作，分析規(guī)律

探究（1）將細繩的兩端點固定在焦點處，用鉛筆筆尖拉緊繩子，在平面上畫一個橢圓，然后調(diào)整繩子的長度（分別加長、縮短），觀察橢圓的“扁”的程度的變化規(guī)律；探究（2）細繩的長度固定不變，將焦距分別增大和縮小，觀察橢圓的“扁”的程度的變化規(guī)律。

兩個探究活動由小組協(xié)作畫圖分析，匯報結(jié)果。培養(yǎng)學(xué)生的動手實踐動能、探究分析能力、合作交流能力。

（2）展示成果，生成概念。通過探索，揭示刻畫橢圓“圓扁程度”的數(shù)學(xué)概念離心率，“離心率”這個名詞非常形象：離心率越大，焦點距離中心越遠，橢圓就越扁。

3.精選例題，滲透數(shù)學(xué)思想

解法1 如圖2，由題意得直線y=2x與橢圓的交點的坐標為A（c，2c），又 A 在橢圓上，∴1，分子、分母分別除以

圖2

解法2 如圖2，由題意得直線y=2x與橢圓的交點坐標為A（c，2c），∴AF1=2c，又 AF1+AF2=2a，F(xiàn)1F2=2c∴AF2=2a-2c，由 AF1⊥從而有2a-2c=

分析：本例揭示了求離心率的一般步驟：（1）找到a，b，c的關(guān)系式。（2）利用b2=a2-c2消去b。（3）化為關(guān)于e的式子并解答。這樣的例題安排比直接給出a，b，c的關(guān)系式求離心率更有吸引力，可以滲透解析幾何的數(shù)形結(jié)合思想、方程思想，同時還可以培養(yǎng)學(xué)生的計算能力，計算也是解析幾何的一大難點，有點繁瑣，但有技巧。

二、結(jié)語

對于橢圓的離心率這樣的一個內(nèi)容，很多時候被上成了單純的習題課，教師的教學(xué)功利性太強，學(xué)生缺少探究知識的過程。核心素養(yǎng)不僅僅是知識技能，更重要的是情感、態(tài)度、知識、技能的綜合表現(xiàn)。這一超越知識和技能的內(nèi)涵，可以矯正過去重知識、輕能力、忽略情感態(tài)度價值觀的教育偏失，更加完善和系統(tǒng)地反映教育目標和素質(zhì)教育理念。由此我們啟示，新理念與已有的理念并不是矛盾的，而應(yīng)該在繼承的基礎(chǔ)上更加重視學(xué)生的情感態(tài)度的培養(yǎng)。