追尋原理，挖掘本質(zhì)
——巧用數(shù)形結(jié)合處理解析幾何問題

熊 杰

（江蘇省南京市文樞高級(jí)中學(xué)，江蘇 南京）

解析幾何是運(yùn)用代數(shù)方法研究和處理幾何問題的知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生應(yīng)對(duì)解析幾何問題時(shí)總覺得運(yùn)算繁瑣，因此仔細(xì)挖掘幾何意義，合理數(shù)形結(jié)合，往往能降低運(yùn)算量，讓問題順利解決。

一、且算且思考，解題有技巧

例 1.已知過點(diǎn) A（1，4）的直線 l與圓C： x2+y2-4x-4y+7=0交于 P，Q 兩點(diǎn)，且立，因

方此法斜一率：存當(dāng)在直，線斜率不存在時(shí)，不成消

設(shè)去lPQ：yy，-整4=理k（得x（-1k）2+，1與）x圓2-（C2 k方2-程4k聯(lián)+4）立x+，k2-4k+7=0

設(shè)點(diǎn) P（x1，y1），Q（x2，y2），由韋達(dá)定理

圖1

將 y1=k（x1-1）+4，y2=k（x2-1）+4 兩式代入（*）

化簡求解得k=-1或k=-7，所以直線方程為y=-x+5或y=-7x+11

方法一采用代數(shù)方法運(yùn)算求解，容易想到，但弊端也很明顯，運(yùn)算量明顯偏大，很多學(xué)生中途算錯(cuò)或算不下去。如果能思考0的幾何意義，則能得到更合理的方法。

方法二：圓 C：（x-2）2+（y-2）2=1，直線 l與圓 C 交于 P，Q 兩點(diǎn)

當(dāng)斜率不存在時(shí)，l：x=1與圓C相切，舍去?！嘣O(shè)直線方程l：y-4=k（x-1）

所以直線方程為y=-x+5或y=-7x+11

方法二由兩向量垂直的幾何意義，發(fā)現(xiàn)其幾何圖形特點(diǎn)，利用圓心到直線的距離來解答，過程簡易。數(shù)形結(jié)合降低了運(yùn)算量，提升了正確率。因此解題時(shí)要仔細(xì)地探索思考，一個(gè)條件往往能有多種解讀，可能不只是一種結(jié)果，解題的時(shí)候切忌慌不擇路，匆“匆謀忙定忙而確后定動(dòng)的”計(jì)，認(rèn)劃真，往審?fù)}不，仔是細(xì)好觀的察計(jì)，劃細(xì)，心可思能考事，倍努功力半產(chǎn)。生“解好題應(yīng)想法”，自然事半功倍。

二、仔細(xì)審題，逐句分析

例2.如圖，為了保護(hù)河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū).規(guī)劃要求:新橋BC與河岸AB垂直；保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓.且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m。經(jīng)測量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60 m處，點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170 m 處（OC為河岸），tan∠BCO=

圖2

（1）求新橋BC的長；

（2）當(dāng)OM多長時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？

1.分析：本題是2014年江蘇高考應(yīng)用題，求BC的長既可以看做幾何圖形的求長度問題，也可以從解析幾何中的兩點(diǎn)距離角度入手，關(guān)鍵在于觀察角度。，求直線l的方程。

方法一：做BD⊥OC于D，做AE⊥BD于E（圖2）

設(shè) DC為xm，則OD=170-x，由 BD⊥DC，tan∠BCO=，BD=60，又 AB⊥BC，AE⊥BD，tan∠BAE=tan∠BCD=

方法一主要運(yùn)用平面幾何的解法，學(xué)生的平面幾何還可以就沒有太大問題。本題在圖形體現(xiàn)了直角坐標(biāo)系的特點(diǎn)，因此也可以用解析法。

方法二：以O(shè)為原點(diǎn)，OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.

由條件知 A（0，60），C（170，0），直線 BC 的斜率 kBC=-tan∠BCO=

解得a=80，b=120，所以BC=150.因此新橋長度為150m.

條件中的正切值既和直角三角形有關(guān)也和斜率有關(guān)，兩種解法恰恰體現(xiàn)了平面幾何和解析法的特點(diǎn)，只要平時(shí)多去思考，這些合理的方法都不難想到。

2.分析：第二關(guān)鍵是題意的理解和方法的選擇，題目要求圓形保護(hù)區(qū)面積最大，自然等價(jià)于圓半徑最大，而保護(hù)區(qū)所在圓與直線BC相切，因此考慮到從直線和圓的位置關(guān)系入手，再結(jié)合幾何圖形的特點(diǎn)，運(yùn)用解析法無疑是比較合理的方式。

解：設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M的半徑為rm，OM=dm（0≤d≤60）

由條件知，直線BC的方程為y=-4（x-170），即 4x+3y-680=0 3

由于圓M與直線BC相切，故點(diǎn)M（0，d）到直線BC的距離是r，

因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不小于80 m，

本題中的保護(hù)區(qū)和橋其實(shí)對(duì)應(yīng)圓和直線兩個(gè)圖形，學(xué)生如果能從這兩個(gè)幾何圖形關(guān)系入手解題方向應(yīng)該更加明確，應(yīng)用題只要能正確理解題意后往往就能迎刃而解。當(dāng)然在處理最值問題時(shí)看清限制條件是什么，找出變量的范圍也是關(guān)鍵的一環(huán)。

解析幾何讓幾何和代數(shù)優(yōu)美地結(jié)合起來，幾何語言和代數(shù)語言的相互轉(zhuǎn)化讓解析幾何的解答變得“精彩絕倫”，數(shù)形結(jié)合的思想也貫穿著高中數(shù)學(xué)的很多內(nèi)容。正如著名數(shù)學(xué)家華羅庚所言：“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微。”依托概念本質(zhì)，充分探索解法，數(shù)形結(jié)合會(huì)讓你解題游刃有余。