高中數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造法的運(yùn)用

高雨含

（四川省成都石室中學(xué)，四川 成都）

所謂構(gòu)造法就是讓學(xué)生根據(jù)題目的要求構(gòu)造出符合題目條件的數(shù)學(xué)模型，通過這些數(shù)學(xué)模型來進(jìn)行解題，問題會瞬間從復(fù)雜變得簡單。在我們剛看到這些問題時，會覺得給的已知條件太少，而構(gòu)建起相關(guān)的數(shù)據(jù)模型之后，會發(fā)現(xiàn)存在許多的已知量，這樣便可以保證我們更快地解決問題。本文主要從構(gòu)造函數(shù)模型和圖形等方面對構(gòu)造法的運(yùn)用進(jìn)行詳細(xì)的闡述。

一、構(gòu)造方程

方程的構(gòu)造在高中數(shù)學(xué)解題中是最常用的一種方法。對于高中的學(xué)生來說，在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，方程依舊是非常重要的一項(xiàng)學(xué)習(xí)內(nèi)容，而且方程和函數(shù)還有著非常密切的聯(lián)系。在遇到一些看上去比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)題時，可以對問題做到仔細(xì)的分析和觀察，掌握其中的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過構(gòu)造起相關(guān)的等式，從而分析出幾個未知量之間的關(guān)系以及方程本身等量之間的關(guān)系，再利用恒等式的多方位變形，從而把復(fù)雜的數(shù)學(xué)題逐漸變得簡單化，對問題做到有效解答。首先要對相關(guān)的知識和理論做到熟練掌握和應(yīng)用，只有基礎(chǔ)知識做到牢固掌握，才方便構(gòu)造法的使用。

例 1，設(shè) α＞β＞γ，且 α+β+γ=1，α2＋β2＋γ2=1，求出 α+β 的范圍。解析這道題：因?yàn)?α+β+γ=1，可以得出 α+β=1-γ，然后將這個方程進(jìn)行兩邊平方，代入到 α2＋β2＋γ2=1，最終獲得 αβ=γ2-γ。由上面的方程可知 α 和 β 是方程 x2+（γ-1）x+（γ2-γ）=0的兩個不等式的實(shí)根。所以 Δ=（γ-1）2-4（γ2-γ）=-3γ2+2γ+1＞0，最終解得-＜γ＜1，即-＜1-（α+β）＜1，所以 1＜α+β＜

二、構(gòu)造函數(shù)

高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)也是非常重要的一項(xiàng)學(xué)習(xí)內(nèi)容，其和方程之間有著許多共同點(diǎn)。在對一些函數(shù)進(jìn)行解答時，也可以通過構(gòu)造法來對問題進(jìn)行解決，這對于鍛煉我們的數(shù)學(xué)思維能力和實(shí)踐解題能力都有很好的促進(jìn)作用。通過采用構(gòu)造法進(jìn)行解題，加深了我們對基礎(chǔ)知識的掌握。在數(shù)學(xué)題中，代數(shù)類型的題和幾何類型的題都具有一定的函數(shù)思想，所以針對一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，都可以通過構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化成簡單的函數(shù)問題，從而快速地得出正確的答案。這對于提高我們的綜合能力有很大的作用。

例 2，方程x2+（2m-1）x+4-2m=0的一個根大于 2，一個根小于2，請求出實(shí)數(shù)m的取值范圍。解析：這個時候可以令g（x）=x2+（2m-1）x+4-2m，那么就可以把原來的問題轉(zhuǎn)化成 g（2）＜0，最終求出m的取值范圍，即：m＜-3。

學(xué)生在做這道題時，根據(jù)題目的特點(diǎn)，再結(jié)合自己所掌握的函數(shù)知識，通過運(yùn)用構(gòu)造法，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)對問題進(jìn)行有效的解決。同時可以采用多種方法，我們就需要從多個角度來看問題，尋找到不同的解題思路或者突破口，這樣，我們對于圍繞這些問題的知識點(diǎn)可以進(jìn)行很好的鞏固，自己的數(shù)學(xué)思維能力也可以得到很好的鍛煉。

方程和函數(shù)在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是非常重要的內(nèi)容，也是學(xué)生在長期學(xué)習(xí)過程中慣用的一種解題思維，方程和函數(shù)相當(dāng)于是數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)工具。在解決這些復(fù)雜問題時，只要將其還原成最初簡單的面貌，那么這些問題也就可以迎刃而解了。

三、構(gòu)造圖形法在解題中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，數(shù)形結(jié)合也是非常重要的一種解題方法。在解決數(shù)學(xué)問題時，通過利用圖形可以把問題的已知條件都非常形象具體地表現(xiàn)出來。這樣學(xué)生在解答問題時，也就變得更加直觀和簡單。在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，如果可以熟練地運(yùn)用這樣的解題方法，那么學(xué)生的做題效率便可以得到很大的提高。因?yàn)樵跀?shù)學(xué)題中經(jīng)常會有很多選擇題，而對于這些選擇題來說，并不需要我們寫出相關(guān)的步驟，學(xué)生只要可以進(jìn)行快速解答便可以了。這個時候，許多問題通過采用圖形構(gòu)造法可以非?？焖俚亟獯穑瑥亩岣咦鲱}效率。

例3，設(shè)a∈R，在關(guān)于x的一元二次方程7x2-（a+13）x+a2-a-2=0 中，有兩個實(shí)數(shù)根分別是 α 和 β，而且知道 0＜α＜1＜β＜2，最終求a的取值范圍。

解析：令f（x）=7x2-（a+13）x+a2-a-2，通過函數(shù)圖象可以對這個函數(shù)進(jìn)行表示，如下圖中，標(biāo)注出f（x）和x軸的交點(diǎn)，而這兩個交點(diǎn)分別是在（0，1）內(nèi)和（1，2）內(nèi)，根據(jù)這些條件，列出相關(guān)的不等式，然后求解。即，f（0）＞0，f（1）＜1，f（2）＞0，解得-2＜a＜-1或者3＜a＜4。

綜上所述，在現(xiàn)代的高中數(shù)學(xué)中，我們所面臨的數(shù)學(xué)問題變得更加復(fù)雜，解題方面也變得更加困難。為了提高我們的學(xué)習(xí)效果，要對構(gòu)造法的解題方法做到充分的掌握，從而促使我們在做題時，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題再進(jìn)行解答。