AAH不動(dòng)點(diǎn)定理與二階非線性方程的正解

徐厚生, 王 波

(1. 沈陽(yáng)建筑大學(xué) 理學(xué)院, 沈陽(yáng) 110168; 2. 東北大學(xué) 理學(xué)院, 沈陽(yáng) 110819)

0 引 言

一些學(xué)者已經(jīng)開始應(yīng)用泛函形式的錐拉伸與壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理研究非線性微分方程正解的存在性[1-15],文獻(xiàn)[2]將Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理[5]進(jìn)行推廣, 得到如下結(jié)論。

引理1[2]設(shè)P是實(shí)Banach空間E上的錐,α是P上的非負(fù)連續(xù)凹泛函,β是P上的非負(fù)連續(xù)凸泛函,T:P→P是全連續(xù)算子。 若存在非負(fù)實(shí)數(shù)a,b,c,d使得

1) {x∈P|a<α(x),β(x)

2) 若x∈P, 有β(x)=b, 且α(x)≥a, 則β(Tx)

3) 若x∈P, 有β(x)=b, 且α(Tx)

4) {x∈P|c<α(x),β(x)

5) 若x∈P, 有α(x)=c, 且β(x)≤d, 則α(Tx)>c;

6) 若x∈P, 有α(x)=c, 且β(Tx)>d, 則α(Tx)>c;

且如果

a) 如果a

b) 如果c

Anderson等[2]應(yīng)用引理1,討論了二階非線性邊值問題

(1)

正解的存在性。本文分別在壓縮條件和拉伸條件下, 通過引理1給出了二階非線性邊值問題

(2)

存在正解的充分條件。設(shè)G(t,s)是(2)相應(yīng)齊次方程的Green函數(shù), 即

(3)

引理2 由(3)表示的Green函數(shù)G(t,s)具有以下性質(zhì):

G(t,s)在[0,1]×[0,1]上連續(xù)對(duì)稱;

G(t,s)≥0,G(t,s)≤G(s,s), ?0≤t,s≤1;

G(t,s)≥2tG(1/2,s),t∈[0,1/2],s∈[0,1]。

證明 前2個(gè)性質(zhì)是顯然的。至于第3個(gè)性質(zhì), 事實(shí)上,

從而

G(t,s)≥2tG(1/2,s),t∈[0,1/2],s∈[0,1]

定義P={x∈C[0,1]|x(t)≥0,x是對(duì)稱的,x是凹的,t∈[0,1],x(t)≥2t‖x‖, t∈[0,1/2]}。易見P是C[0,1]中的錐。下面定義算子T為

易證P→7P。

設(shè)τ∈(0,1), 下面在P上定義凹泛函α為

凸泛函β為

由于x是凹的, 則

1 主要結(jié)論

定理1 若b,c為正實(shí)數(shù),3b≤c,f:[0,+∞)→[0,+∞)連續(xù)且滿足

2)f(ω)在[0,bτ]是單調(diào)遞減的, 在ω∈[bτ,b]有f(bτ)≥f(ω);

則方程(2)在P(β,α,b,c)中有一個(gè)正解x*。

?x∈P有

1) 若?x∈P(α,c)={x∈P|α(x)≤c},則

則P(α,c)有界。

xM∈P(β,α,b,c)

事實(shí)上,

因此xM是凹的。

xM(t)=xM(2t·1/2)≥2t·xM(1/2)=2t‖xM‖

故xM∈P。

則P(β,α,b,c)≠?。

xL∈{x∈P|a<α(x),β(x)

事實(shí)上, 由xM∈P, 同理可知xL∈P,

則{x∈P|a<α(x),β(x)

xJ∈{x∈P|c<α(x),β(x)

事實(shí)上, 由xM∈P, 同理可知xJ∈P,

則{x∈P|c<α(x),β(x)

3) 若x∈P,β(x)=b,α(x)≥a, 則β(Tx)

事實(shí)上,

由于x的對(duì)稱性及連續(xù)性, 因此

從而

4) 若x∈P,β(x)=b,α(Tx)

事實(shí)上,

5) 若x∈P,α(x)=c,β(x)≤d, 則α(Tx)>c。

事實(shí)上,

?s∈[τ,1-τ],α(x)≤x(s)≤β(x)

6) 若x∈P,α(x)=c,β(Tx)>d, 則α(Tx)>c。

事實(shí)上,

根據(jù)引理1, 則方程在P(β,α,b,c)中有一個(gè)正解x*。

例1 令b=1,c=3,τ=1/4。函數(shù)

滿足條件:

根據(jù)定理1,方程(2)在P(β,α, 1, 3)中有一個(gè)正解。

定理2 若a,d為正實(shí)數(shù),a≤τd,f:[0,+∞)→[0,+∞)連續(xù)且滿足:

2)f(ω)在[0,a]是單調(diào)遞減的, 在ω∈[a,b]有f(ω)≤f(a);

則方程(2)在P(α,β,a,d)中有一個(gè)正解x*。

?x∈P有

1) 若?x∈P(β,d)={x∈P|β(x)≤d},則‖x‖=β(x)≤d,則P(β,d)有界。

若?x∈P(α,a)={x∈P|α(x)≤a}, 則

從而P(α,a)?P(β,d)。

xM∈{x∈P|a<α(x),β(x)

事實(shí)上,

從而xM是凹的。

故xM∈P。

則{x∈P|a<α(x),β(x)

xL∈{x∈P|a<α(x),β(x)

事實(shí)上,由xM∈P, 同理可知xL∈P,

則{x∈P|a<α(x),β(x)

xJ∈{x∈P|c<α(x),β(x)

事實(shí)上, 同理xJ∈P,

則x∈Pc<α(x),β(x)

3) 若x∈P,β(x)=b,α(x)≥a, 則β(Tx)

事實(shí)上,

則a≤x(s)≤b。

由于x的對(duì)稱性及連續(xù)性, 因此

從而

4) 若x∈P,β(x)=b,α(Tx)

事實(shí)上,

5) 若x∈P,α(x)=c,β(x)≤d, 則α(Tx)>c。

事實(shí)上,

?s∈[τ,1-τ],α(x)≤x(s)≤β(x)

則c≤x(s)≤d。

6) 若x∈P,α(x)=c,β(Tx)>d, 則α(Tx)>c。

事實(shí)上,

則根據(jù)引理1,方程在P(α,β,a,d)中有一個(gè)正解x*。

例2 令a=1,d=4,τ=1/4。函數(shù)

滿足條件:

2)f(ω)在[0,1]是單調(diào)遞減的,在[1,16]上有f(1)≥f(ω);

根據(jù)定理2,方程(2)在P(α,β,1,4)中有一個(gè)正解。

2 結(jié) 語(yǔ)

本文應(yīng)用建立在錐理論和不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)方法基礎(chǔ)上的AAH不動(dòng)點(diǎn)定理, 研究一類中與文獻(xiàn)中不同類型的二階非線性邊值問題正解的存在性。當(dāng)非線性項(xiàng)滿足單調(diào)性和某些不等式條件時(shí), 給出該類二階非線性邊值問題正解存在的錐拉伸與壓縮型充分條件, 并且通過一些例子來說明結(jié)論的應(yīng)用。