基于變量控制的太陽影子定位

田 冰，朱英豪，彭?xiàng)顥?

(1. 華北理工大學(xué)數(shù)學(xué)建模創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)室，河北 唐山 063210；2. 華北理工大學(xué)冶金與能源學(xué)院， 河北 唐山 063210；3. 華北理工大學(xué)以升教育創(chuàng)新基地，河北 唐山 063210)

0 引言

影子是一種光學(xué)現(xiàn)象。光線在同種介質(zhì)中沿直線傳播，不能穿過不透明物體而形成的較暗區(qū)域，就是影子。太陽影子定位技術(shù)逐漸應(yīng)用于各個領(lǐng)域，其原理為通過觀察物體的影子變化來確定日期時(shí)間和物體所在的地理位置。通過建立太陽高度角與影長的物理模型，以及最小二乘法擬合模型，研究出直桿隨各參數(shù)的變化規(guī)律，利用影子頂點(diǎn)坐標(biāo)，建立數(shù)學(xué)模型求解直桿所處位置。利用MATLAB 進(jìn)行最小二乘法擬合，得到影長關(guān)于時(shí)間變化的函數(shù)方程，利用該方程求解圖像最低點(diǎn)，從而確定觀測點(diǎn)的精確經(jīng)緯度。

1 太陽影子長度相關(guān)函數(shù)方程的建立

物體在光線的照射下，會在地面上留下它的投影，這就是影子。物體的影子長短不僅與物體自身體量有關(guān)系，還與許多外界因素有關(guān)，即位置、日期、時(shí)間、太陽高度角等[1]。

對于地球表面上的一個點(diǎn)，太陽高度角指的是太陽光的入射方向與地平面切線的夾角，記作h。隨著地球的自轉(zhuǎn)運(yùn)動，太陽光線與地平面切線的夾角改變，太陽高度角也隨之變化。太陽赤緯是地球赤道平面與太陽和地球中心的連線之間的夾角，等于太陽直射點(diǎn)的緯度值，記作σ 。太陽時(shí)角時(shí)太陽所處的位置與正午太陽位置之間的角度差，記作ε 。地理緯度記作δ 。

在進(jìn)行模型建立前，首先建立合理的假設(shè)條件，簡化模型：

（1）假設(shè)影子的長度與地形無關(guān)；（2）假設(shè)大氣層分布均勻，對陽光折射率不變。

太陽赤緯δ 的計(jì)算公式為[2]：

圖1 太陽相關(guān)角的圖像 Fig.1 Image of solar correlation Angle

其中N 為積日，即日期在年內(nèi)的序號，int 表示取整數(shù)。

太陽時(shí)角ε 的計(jì)算公式為[3]：

太陽高度角的計(jì)算公式[3]為：

設(shè)物體自身高度為l，影子的長度m，由三角函數(shù)可知：

由計(jì)算公式可以看出物體影子的長度與太陽高度角有著直接的關(guān)系，而隨日期變化的太陽赤緯、隨時(shí)間和經(jīng)度變化的時(shí)角都影響著太陽高度角，所以物體影子的長短與自身長度、日期和時(shí)間、當(dāng)?shù)亟?jīng)緯度有關(guān)。

2 影長隨各參數(shù)變化的模型建立

2.1 影子長度隨地理緯度的變化規(guī)律

在影響太陽高度角的這些因素中，首先控制日期、時(shí)間、經(jīng)度不變，僅物體所處的地理緯度改變。為便于研究，設(shè)定日期為問題1 給出的2015 年10 月22 日，物體長度為3 米，時(shí)間選取正午12 點(diǎn)整，代入公式求解得到影子長度隨緯度變化的關(guān)系式：

利用MATLAB 繪制出影長隨地理緯度變化的曲線為：

圖2 影長關(guān)于緯度的變化曲線圖 Fig.2 Change curve of shadow length with respect to latitude

總結(jié)規(guī)律為：當(dāng)物體的日期時(shí)間和經(jīng)度確定，隨著地理緯度的升高，影長逐漸增加。

2.2 影子長度隨時(shí)間的變化規(guī)律

研究了影子長短隨緯度變化的規(guī)律后，控制日期和經(jīng)緯度不變，研究物體影長關(guān)于時(shí)間的變化規(guī)律。仍以問題1 中2015 年10 月22 日天安門廣場3 米高的直桿為參照，研究北京時(shí)間9：00-15：00 的影子長短變化，計(jì)算得到影子長度隨時(shí)間的變化規(guī)律為：

當(dāng)ε∈[9,15]時(shí)，計(jì)算出部分影長如下表：

表1 部分時(shí)間對應(yīng)的影長 Tab.1 Corresponding shadow lengths of part time

利用MATLAB 繪制出影長及太陽高度角隨時(shí)間變化的曲線為：

圖3 影長及太陽高度角隨時(shí)間的變化曲線圖 Fig.3 Curve of shadow length and solar altitude Angle over time

總結(jié)規(guī)律為：當(dāng)物體的高度和地點(diǎn)確定，在一天之內(nèi)，從早上開始影長逐漸減小，減小的速度越來越慢，到正午12 點(diǎn)時(shí)影長最短，從正午到傍晚時(shí)，影長不斷增加，增加的速度越來越快。

2.3 基于曲線擬合的經(jīng)度求解

根據(jù)某一時(shí)刻物體影子的頂點(diǎn)坐標(biāo)x 和y，可以得出這一時(shí)刻影子長度為：

利用附件4 中頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)可以計(jì)算出14：42 到15：42 這一個小時(shí)內(nèi)不同時(shí)刻的影子長度。在問題1 中，最終求得的影長隨時(shí)間的變化曲線為拋物線，于是利用這一個小時(shí)的影長與時(shí)間的數(shù)據(jù)，在MATLAB 中對影長和時(shí)間進(jìn)行拋物線擬合[4]，得到曲線方程為：

圖像最底點(diǎn)處即為導(dǎo)數(shù)值為0 的點(diǎn)，也是當(dāng)?shù)卣?2 點(diǎn)對應(yīng)的影長，對方程（8）求導(dǎo)可知在北京時(shí)間12.6 小時(shí)的時(shí)候影長取最小值。

圖4 影長隨時(shí)間變化的擬合曲線圖 Fig.4 Fitting curve of shadow length changing with time

由地理知識可知，影子最短的時(shí)刻對應(yīng)于一天的正午12 點(diǎn)，此點(diǎn)對應(yīng)的北京時(shí)間為12.6，即該地與北京的時(shí)差為0.6 小時(shí)。所以直桿所處地點(diǎn)的經(jīng)度為：

3 基于最小二乘法的緯度迭代求解

確定了物體所在地的經(jīng)度之后，為了確定其緯度，引入太陽方位角，即直桿在太陽光線下的投影與正南方向的夾角γ，其計(jì)算公式[5]為：

根據(jù)影子定點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)確定實(shí)測量方位角為

在物體所在地的經(jīng)緯度未知時(shí)，時(shí)角的值不能確定，若利用問題1 建立的若干太陽角數(shù)學(xué)模型求解緯度，涉及的未知量太多，無法直接求解方程得出結(jié)果?？紤]到變量個數(shù)不為一且范圍廣，采用尋找最優(yōu)解的思想，模擬出各種可能的緯度，得到它的方位角，然后與實(shí)際值作誤差分析，若誤差足夠小，尋找使模擬出的數(shù)據(jù)與真實(shí)數(shù)據(jù)為誤差最小值時(shí)，即為緯度最優(yōu)解。

在這里采用最小二乘法對緯度進(jìn)行優(yōu)化求解[6]，太陽方位角和實(shí)際方位角的相對誤差平方和為：

目標(biāo)函數(shù)為：

約束條件為：

在MATLAB 中進(jìn)行緯度的迭代[7]，設(shè)定初始緯度范圍是[-90°, +90°]，設(shè)定步長為20°，計(jì)算出滿足條件的大致范圍，在這些符合條件的區(qū)域中重新設(shè)定步長為0.5°，繼續(xù)進(jìn)行迭代選取出精確到更高的區(qū)域后，在這些區(qū)域中重復(fù)進(jìn)行迭代，就這樣一直擇優(yōu)選取迭代區(qū)域，使精度越來越高，直到符合各參數(shù)精度要求后結(jié)束，確定了誤差平方和最小時(shí)的緯度為19.50°N 和19.68°N。

所以附件1 影子的數(shù)據(jù)對應(yīng)的地點(diǎn)可能為（19.50°N，110°E）和（19.68°N，110°E），在地圖上進(jìn)行定位后如下圖：

圖5 （19.68°N，110°E）定位圖 Fig.5 (19.68°N, 110°E) location diagram

圖6 （19.50°N，110°E）定位圖 Fig.6 (19.50°N, 110°E) location diagram

4 結(jié)論

（1）太陽影子長度變化規(guī)律：正午之前，隨著時(shí)間的推移，影長逐漸減??；正午以后，隨時(shí)間的推移，影長逐漸增加。

（2）在已知影長隨時(shí)間變化的圖像近似為拋物線前提下，于是根據(jù)已有數(shù)據(jù)確定影長，并對影長和時(shí)間進(jìn)行拋物線擬合，求得影長最小值處所對應(yīng)的北京時(shí)間為12：36，根據(jù)兩地的時(shí)差為36 分鐘，求得影子所在地的經(jīng)度為110°E。以太陽方位角和實(shí)際測量方位角的誤差為切入點(diǎn)，用最小二乘法逐步選取出更精確的緯度范圍，進(jìn)行迭代確定出符合條件的緯度最優(yōu)解為19.50°N 和19.68°N。

（3）在建立影子長度變化的數(shù)學(xué)模型中，分析影子長度關(guān)于各參數(shù)的變化規(guī)律，并在建立3m 高的直桿的太陽影子長度變化曲線中，采用了控制變量法，將多因素問題變?yōu)閱我蛩厍蠼鈫栴}，使要研究的參數(shù)對影長的影響更加顯著。

（4）根據(jù)某固定直桿在水平面上的太陽影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定其所處的具體地點(diǎn)和日期的推理過程中，利用曲線擬合思想由已知推未知，并利用迭代求解目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解，避免了參數(shù)不確定性的討論。問題3 中，未知參數(shù)過多，在第2 問的基礎(chǔ)上進(jìn)行多參數(shù)、多層迭代，設(shè)置的變量范圍廣，求解的結(jié)果也越精確。問題4 中，利用圖像分析技術(shù)，將圖像中有用的數(shù)據(jù)提取出來，結(jié)合現(xiàn)有的問題3 中的模型直接進(jìn)行求解，使求解過程更加簡便。

（5）曲線擬合的思想還可以用在科學(xué)和工程上，利用采集的離散數(shù)據(jù)樣本，能都得到一條連續(xù)函數(shù)或者更加密集的離散樣本。圖像分析中的圖像特征提取能夠運(yùn)用在分類器上分類紋理圖像，在信號處理上也有重要作用。