柯西積分公式的推廣及應(yīng)用

王振華，張為元，賀 雯

（咸陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 咸陽 712000）

柯西積分公式是計(jì)算復(fù)變函數(shù)積分的有力工具，它揭示了解析函數(shù)在定義域的界點(diǎn)和內(nèi)點(diǎn)上值之間的關(guān)系，可以把對(duì)解析函數(shù)的研究轉(zhuǎn)化成對(duì)柯西型積分的研究。代數(shù)學(xué)基本定理用純粹代數(shù)的方法是不容易證明的，但如果從高階的柯西積分公式著手，則證明過程簡(jiǎn)潔易懂[1]125。因此，柯西積分公式在理論研究和積分計(jì)算上都很重要，一直是專家學(xué)者研究的熱點(diǎn)。朱茱等[2]介紹了柯西主值積分和Holder條件，并給出了奇點(diǎn)在積分路徑上的柯西積分公式，但沒有給出公式的證明；易才鳳等[3]舉例說明了柯西積分公式在復(fù)數(shù)計(jì)算中的應(yīng)用；劉志宏[4]給出了積分曲線內(nèi)含有多個(gè)奇點(diǎn)時(shí)的柯西積分公式，但僅局限于奇點(diǎn)是m階極點(diǎn)的情況；吳立鶴等[5]將分子函數(shù)分別在其奇點(diǎn)處展開成羅朗級(jí)數(shù)，并選取展開式的主要部分，再將被積函數(shù)的奇點(diǎn)代入求函數(shù)值，巧妙地避免了計(jì)算復(fù)雜的高階導(dǎo)數(shù)的情況；趙天玉等[6]進(jìn)一步將吳立鶴等人的結(jié)果進(jìn)行了推廣。張健[7]介紹了柯西積分公式在實(shí)變函數(shù)中的應(yīng)用,極大簡(jiǎn)化了無窮積分和瑕積分的計(jì)算；王曉嬋等[8]針對(duì)現(xiàn)有的血管分割方法誤差較大的問題，提出了一種新的基于八元數(shù)柯西積分公式的血管分割新算法。趙曉輝等[9]利用柯西積分公式證明了在偏微分方程中有重要應(yīng)用的泊松積分公式。本文從3個(gè)不同角度出發(fā)，分別在復(fù)周線、高階形式、無界域上推廣了柯西積分公式，極大地簡(jiǎn)化了具有多奇點(diǎn)的復(fù)積分計(jì)算問題。

1 柯西積分公式推廣到復(fù)周線情形

引理1[1]114設(shè)D是由復(fù)周線C=C0++…+圍成的n+1連通區(qū)域，函數(shù) f()z在D內(nèi)解析，在 Dˉ=D+C上連續(xù) ，則

（沿外邊界的積分等于沒沿內(nèi)邊界的積分之和）。

引理2[1]117（柯西積分公式）設(shè)區(qū)域D的邊界是周線C，函數(shù) f()z在D內(nèi)解析，在Dˉ=D+C上連續(xù)，則有

定理1（推廣到復(fù)周線的柯西積分公式）已知復(fù)周線C由外周線C0和內(nèi)周線C1，C2，…，Cn構(gòu)成，復(fù)連通區(qū)域D由復(fù)周線C圍成。如果函數(shù) f()z在區(qū)域D解析，在閉集Dˉ=D+C上連續(xù)，那么對(duì)任意的z∈D，都有

運(yùn)用推廣的柯西積分公式時(shí)，如果有兩個(gè)以上奇點(diǎn)，可先將被積函數(shù)分解為部分分式，使分解得到的每個(gè)分式函數(shù)在C內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn)，這時(shí)就可以用柯西積分公式求解了。

2 高階柯西積分公式的推廣

當(dāng)被積函數(shù)在C內(nèi)包含多個(gè)奇點(diǎn)時(shí)，高階柯西積分公式（引理3）就不再適用了。

引理3[1]121設(shè)區(qū)域D的邊界是周線C，函數(shù) f(z)在D內(nèi)解析，在Dˉ=D+C上連續(xù)，那么函數(shù) f(z)在區(qū)域D內(nèi)有各階導(dǎo)數(shù)，并且有

這是一個(gè)用解析函數(shù) f(z)的邊界值表示其各階導(dǎo)函數(shù)內(nèi)部值的積分公式。

引理4[1]221設(shè)a為 f(z)的n階極點(diǎn)，

其中?(z)在點(diǎn)a解析，?(a)≠0，則

這里Res[f(z),a]表示 f(z)在點(diǎn)z0的留數(shù)。

引理5[10]（柯西留數(shù)定理）函數(shù)f(z)在周線或復(fù)周線C所圍區(qū)域D內(nèi)，除a1,a2,…,an外解析，在閉域Dˉ=D+C上除a1,a2,…,an外連續(xù)，則

如果被積函數(shù)在積分曲線C內(nèi)的奇點(diǎn)是m階極點(diǎn)，那么高階的柯西積分公式就溝通了函數(shù)?(z)在邊界C上的函數(shù)值與其m-1階導(dǎo)函數(shù)在極點(diǎn)處的函數(shù)值之間的關(guān)系。下面，將引理3推廣到積分曲線內(nèi)具有多個(gè)極點(diǎn)的情況。

定理2如果C為簡(jiǎn)單周線，f(z)在C及其內(nèi)部解析，且a1,a2,...,an在C的內(nèi)部，那么

其中被積函數(shù)

在周線C內(nèi)有n個(gè)極點(diǎn)ak，nk表示ak的階數(shù)，函數(shù)

在極點(diǎn)ak處解析，且φk(ak)≠0。

證明：因?yàn)閍k是g(z)包含在C內(nèi)的nk階極點(diǎn)，所以由引理4知

所以由引理5知

3 無界區(qū)域中的柯西公式

定理3設(shè) f(z)在某一閉合曲線C的外部解析，并且當(dāng)z→∞時(shí) f(z)一致地趨于零，則對(duì)C外部的任意一點(diǎn)a有

證明：設(shè)E(C)表示閉合曲線C的外部無界區(qū)域（含∞點(diǎn)），則 f(z)在E(C)內(nèi)解析。因?yàn)?/p>

現(xiàn)在，對(duì) ?a∈E(C)，?ρ＞0，s.t.ρ- ||a ＞δ 成立。作圓周Cρ: ||z-a=ρ,使得閉曲線C包含在圓周Cρ內(nèi)部，那么 f(z)在以C和Cρ為邊界的區(qū)域內(nèi)解析，由定理1得到

4 結(jié)論

柯西積分公式是在復(fù)變函數(shù)論中很重要的一個(gè)公式，是研究解析函數(shù)各種局部性質(zhì)的重要工具。它給出了解析函數(shù)的積分表達(dá)形式，即函數(shù)在區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)的值可以用沿邊界曲線的積分來表示。當(dāng)奇點(diǎn)在積分曲線上時(shí)，如果利用柯西留數(shù)定理來推廣柯西積分公式，也許會(huì)得到更好的結(jié)果。