非高斯粗糙表面的彈性微滑接觸問題研究

謝曉東，趙三星

（武漢科技大學(xué) 機(jī)械自動化學(xué)院，湖北 武漢 430081）

1 引言

微滑接觸是指在摩擦接觸中，當(dāng)接觸體受到法向力和切向力的作用，但是切向力不足以使接觸體發(fā)生宏觀的滑動時，在接觸面間會產(chǎn)生微滑區(qū)域和粘著區(qū)域。微滑區(qū)域表示接觸體在外加載荷的作用下發(fā)生相對微小滑移的區(qū)域；粘著區(qū)域則表示接觸體在外加載荷作用下沒有相對移動的區(qū)域。

文獻(xiàn)[1-2]最早建立了彈性微滑接觸的力學(xué)模型。他們假定在微滑區(qū)域的局部切向力大小等于最大靜摩擦力，通過彈性力學(xué)理論分析得到了微滑接觸的解析解。文獻(xiàn)[3]進(jìn)一步總結(jié)了Cattaneo-Mindlin的線接觸微滑模型。文獻(xiàn)[4-5]又分析了粗糙表面對于微滑接觸的影響，但是所用的粗糙表面都是規(guī)則粗糙表面。

上述對于微滑接觸的研究都是僅限于同質(zhì)接觸，即兩個接觸體的材料相同。對同質(zhì)微滑接觸來說，切向應(yīng)力的變化對彈性變形不會產(chǎn)生影響。而對于異質(zhì)微滑接觸，切向應(yīng)力的變化會對彈性變形產(chǎn)生影響，此時微滑接觸就不符合Cattaneo-Mindlin接觸問題。文獻(xiàn)[6]最早用數(shù)值方法進(jìn)行耦合求解異質(zhì)微滑接觸問題，得到了剛性平底壓頭接觸問題的數(shù)值解。文獻(xiàn)[7-8]又首次將共軛梯度法（CGM）用于同質(zhì)和異質(zhì)微滑接觸中的應(yīng)力求解，加快了計算過程。主要分析粗糙表面對于接觸應(yīng)力產(chǎn)生的影響，所以采用同質(zhì)接觸來簡化計算模型。

半解析法被用來求解這里的微滑接觸問題，即利用解析的方法求得影響系數(shù)，然后通過疊加原理，得到數(shù)值解。具體過程：通過格林函數(shù)推導(dǎo)出應(yīng)力-應(yīng)變的影響系數(shù)[12]。影響系數(shù)等于單位應(yīng)力的作用下產(chǎn)生的應(yīng)變，這樣只需在意計算區(qū)域的網(wǎng)格劃分，節(jié)省了計算時間。最后通過應(yīng)力疊加得到應(yīng)變。在計算過程中采用快速傅里葉變換方法（FFT）[9]和共軛梯度法（CGM）[10]，這可進(jìn)一步加快計算過程，節(jié)省計算時間。

對于實際中的工程接觸問題大多數(shù)都是粗糙表面接觸，而粗糙表面多數(shù)符合非高斯分布。將非高斯表面疊加到微滑接觸中，使接觸問題更加的接近于實際。通過選取不同參數(shù)的粗糙表面，來分析非高斯粗糙表面對接觸應(yīng)力的影響。

2 理論模型

采用的彈性微滑接觸模型，如圖1（a）所示。上面為一個彈性球體，彈性模量和泊松比分別為E1，V1，下面為半空間，彈性模量和泊松比分別為E2，V2。彈性球體受到三個方向的力：法向力W和切向力Fx，F(xiàn)y，在接觸面間分別產(chǎn)生法向壓力p和切向應(yīng)力qx和qy。

圖1 三維接觸微滑模型和接觸變量Fig.1 3-D Contact Model and Variables Under Partial Slip Conditions

接觸表面間的接觸間隙滿足如下方程式：

式子：g—接觸表面間隙；h0—初始剛體間距；δz—接觸對在z方向

的兩個表面的剛體位移；uz—接觸對在z方向的彈性位移。

當(dāng)受到法向力作用時，根據(jù)接觸力學(xué)[12]中的理論分析，接觸表面點（x，y）處的彈性位移uz可以表示為：

式中：M、N—離散化后 x，y 方向的網(wǎng)格數(shù)；（i，j）—離散化坐標(biāo)；p—接觸面間的壓力；K—應(yīng)力-應(yīng)變影響系數(shù)，等于單位法向壓力作用下的表面變形，可以通過格林函數(shù)插值求解[12]。為了節(jié)省計算時間，采用快速傅里葉變換方法（FFT）[11]來計算彈性位移。

在接觸問題中接觸壓力和接觸間隙需要滿足如下邊界條件：

在接觸區(qū)域內(nèi)：

根據(jù)上述條件可以知道接觸問題實際上變成了線性補(bǔ)余問題，將式（1）寫成如下形式：

式中：hi—常數(shù)矩陣，而Kp—彈性變形。

通過變分原理將式（6）轉(zhuǎn)變?yōu)槎魏瘮?shù)的條件極值問題，即尋找函數(shù)：在約束條件式（4）和式（5）下的條件極值，然后就可以應(yīng)用共軛梯度法來求解[13]。

文獻(xiàn)[12]總結(jié)了微滑接觸的理論模型，如下所示：

式中：ux，uy—接觸對在 x，y 方向的彈性位移；δx，δy—接觸對在 x，y方向兩個表面的剛體位移；Sx和Sy—接觸對沿x，y方向的相對滑移距離。以上的各個變量的實際意義已經(jīng)詳細(xì)表示在圖 1（b）中。

由于接觸面間的初始應(yīng)力分布已經(jīng)從式（1）中的純法向接觸求解得到，所以上述微滑模型可以簡化為：

式（8）和式（9）中x，y方向的彈性位移可以根據(jù)

如下公式求解

式（10）中的 m 可以是 x或者 y，Kmx，Kmy，Kmz分別表示 x，y，z方向的單位切向應(yīng)力和單位接觸壓力作用下產(chǎn)生的切向位移[12]。同樣，對式（10）的計算可以采用FFT算法，以節(jié)省計算時間。

切向應(yīng)力qx，qy和滑移距離Sx，Sy在粘著區(qū)域和微滑區(qū)域要遵循如下邊界條件：

粘著區(qū)：

式（11）和式（12）中的μf表示摩擦系數(shù)，這樣式（9）的微滑模型就可以通過共軛梯度法求解[7]。

為更接近于實際，研究了粗糙表面彈性微滑接觸問題。首先，基于參考文獻(xiàn)[11]中的方法生成非高斯粗糙表面，文獻(xiàn)中比較了數(shù)值方法生成粗糙表面和實際粗糙表面，兩個表面具有高度的一致性。之后，采用上述方法對粗糙表面微滑接觸問題進(jìn)行分析。

3 計算結(jié)果與比較

3.1 算法驗證

首先計算不考慮粗糙度的光滑表面微滑接觸，來驗證算法的正確性。根據(jù)表1中的球-面微滑接觸實際數(shù)據(jù)和這里的算法得到了如圖2所示的切向應(yīng)力的數(shù)值解，通過與解析解[3]相比較，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)和圖形幾乎完全一致，即證明了這里算法的可靠性。圖中的qx和ph分別表示切向應(yīng)力和最大赫茲接觸應(yīng)力，a表示赫茲接觸半徑。

表1 輸入?yún)?shù)Tab.1 Input Parameters

圖2 切向應(yīng)力在y=0處的分布Fig.2 Tangential Stress Distribution in y=0

3.2 粗糙表面微滑接觸

求解粗糙表面的微滑接觸問題，首先要生成接近于實際工況的非高斯粗糙表面。生成粗糙表面所采用的網(wǎng)格為（128×128），粗糙表面的數(shù)據(jù)為：各向同性粗糙表面x和y方向的波長βx和βy都為 20μm，RMS為 0.1μm，偏態(tài) SK 的分別為取值 0.0、0.5、1.0、1.5。峰度 K 的取值范圍為（3～10）。

由于非高斯粗糙表面生成具有隨機(jī)性，所以本文對于同一參數(shù)的粗糙表面分別生成十個，并分別計算求解了最大應(yīng)力，最后取平均值，以期獲得可靠的接觸規(guī)律。

在粗糙表面接觸問題，最大表面應(yīng)力是機(jī)械零部件的界面破壞分析和使用壽命設(shè)計的一個重要參考指標(biāo)。在不同峰度和正偏態(tài)粗糙表面下的最大切向應(yīng)力和最大接觸壓力（球-面微滑接觸參數(shù)見表1），如圖3所示。從圖中可以看出：對最大切向應(yīng)力，偏態(tài)一定，峰度對最大切向應(yīng)力的影響較小。隨著峰度的增加，最大切向應(yīng)力基本保持不變；如果峰度一定，隨著偏態(tài)的增加，最大切向應(yīng)力減小。對最大接觸壓力，偏態(tài)一定，隨著峰度的增加，最大接觸壓力逐漸增加，如果峰度一定，隨著偏態(tài)的增加，最大接觸壓力減小。

圖3 不同的峰度和正偏態(tài)對最大切向應(yīng)力和最大接觸壓力的影響Fig.3 The Influence of Different Positive Skewness and Kurtosis to Maximum Tangential Stress and Maximum Pressure

上面所討論的粗糙表面都是正偏態(tài)表面，而負(fù)偏態(tài)的表面也廣泛存在于生產(chǎn)實際中，不同峰度和負(fù)偏態(tài)的粗糙表面對最大應(yīng)力產(chǎn)生的影響，如圖4所示。從圖4中可以看出：對最大切向應(yīng)力，負(fù)偏態(tài)的變化對最大切向應(yīng)力的影響較小。峰度一定，隨著偏態(tài)的變化，最大切向應(yīng)力基本保持不變。對最大接觸壓力，峰度一定，隨著偏態(tài)減小，最大接觸壓力也隨著減小。

圖4 不同的峰度和負(fù)偏態(tài)對最大切向應(yīng)力和最大接觸壓力的影響Fig.4 The Influence of Different Negative Skewness and Kurtosis to Maximum Tangential Stress and Maximum Pressure

正負(fù)偏態(tài)對最大應(yīng)力的影響情況，如圖5所示。從圖5中可以看出：峰度一定，負(fù)偏態(tài)的最大切向應(yīng)力和最大接觸壓力要比正偏態(tài)的情況下都要大。同時，正負(fù)偏態(tài)的最大接觸壓力和最大切向應(yīng)力隨峰度的變化趨勢基本一致。

圖5 正負(fù)偏態(tài)粗糙表面對最大切向應(yīng)力和最大接觸壓力的影響對比Fig.5 The Influence of Positive and Negative Skewness on the Maximum Tangential Stress and Maximum Pressure

粗糙表面除了各向同性表面還存在著各向異性表面。所謂各向異性粗糙表面就是表面的波長βx和βy不再相等，此處取x，y方向的波長分別為20μm和200μm，其他參數(shù)不變。各向同性和各向異性粗糙表面的最大應(yīng)力，如圖6所示?？梢钥闯觯涸谙嗤姆宥群推珣B(tài)條件下，各向同性與各向異性粗糙表面的最大表面應(yīng)力比較接近。各向同性和各向異性的最大切向應(yīng)力基本一致；各向同性的最大接觸壓力略大于各向異性。

圖6 各向同性和各向異性粗糙表面對最大切向應(yīng)力和最大接觸壓力的影響Fig.6 The Influence of Isotropic and Anisotropic Rough Surface to Maximum Tangential Stress and Maximum Pressure

4 結(jié)論

通過半解析法結(jié)合快速傅里葉變換（FFT）和共軛梯度方法（CGM）求解微滑接觸問題。將不同峰度和偏態(tài)的非高斯粗糙表面疊加到接觸面，分析最大接觸壓力和最大切向應(yīng)力的變化情況，得到如下結(jié)論：

（1）對于固定的正偏態(tài)，隨著峰度的增加，最大接觸壓力也隨著不斷增加，但是最大切向應(yīng)力基本保持不變。對于固定的峰度，隨著正偏態(tài)的增加，最大接觸壓力和最大切向應(yīng)力反而減小。

（2）對于負(fù)偏態(tài)粗糙面，偏態(tài)值的變化對于最大切向應(yīng)力的影響較?。粚τ诠潭ǖ姆宥?，隨著負(fù)偏態(tài)的減小，最大接觸壓力也隨之減小。同時，負(fù)偏態(tài)的最大切向應(yīng)力和最大接觸壓力要比正偏態(tài)下大。

（3）各向同性和各向異性粗糙表面的最大切向應(yīng)力和最大接觸壓力比較接近。在相同的偏態(tài)和峰度條件下，最大切向應(yīng)力基本保持不變。各向同性的最大接觸壓力略大于各向異性。