一類造血模型偽概周期解的存在性*

張 玲，謝景力

(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖南 吉首 416000)

脈沖微分方程最大的特點是考慮了系統(tǒng)中瞬時突發(fā)現(xiàn)象的影響,更準確地描述了事物發(fā)展的進程，其解的存在性引起了學(xué)者們的興趣.楊飛等[1]利用臨界點定理研究了脈沖分數(shù)階微分方程解的存在性；徐蘇柳[2]利用不動點定理研究了3類脈沖微分方程概周期解的存在性；陳鵬[3]研究了一類Nicholson飛蠅模型的脈沖正偽概周期解的存在性和指數(shù)穩(wěn)定性；P Chen等[4]研究了一類脈沖造血模型的正漸進概周期的存在性.筆者擬討論如下具有脈沖效應(yīng)的造血模型的偽概周期解:

(1)

對每一個有界函數(shù)f:R→R,記

定義1[5]函數(shù)f:R→R是概周期的,如果滿足以下條件:

(ⅱ)對于?ε>0,存在常數(shù)δ>0(δ與ε有關(guān)),若函數(shù)f(t)在相同區(qū)間下的2點t′,t″滿足|t′-t″|<δ,則|f(t′)-f(t″)|<ε;

(ⅲ)對于?ε>0,存在ε-概周期列緊集T,若ω∈T,則對于?t∈R+且|t-tk|>ε(k∈N)，有|f(t+ω)-f(t)|<ε.

定義3[7]設(shè)f:R→R為有界函數(shù),稱f是偽概周期的，若存在g(·)∈AP(R,R)和h(·)∈PAP0(R,R),使得

f(t)=g(t)+h(t)t∈R.

記PAP(R,R)表示所有偽概周期函數(shù)的集合.

現(xiàn)做以下假設(shè):

(A2)γk是概周期序列,δk是偽概周期序列，且對于?k∈N,有γk≥-1;

(A3)H(t,·)∈PAP(R,R),且存在常數(shù)LH>0,使得‖H(t,x)-H(t,y)‖≤LH‖x-y‖；

考慮如下線性非齊次方程組:

(2)

其中:a(t)是概周期函數(shù);f(t)是偽概周期函數(shù);γk是概周期序列;δk是偽概周期序列.

引理1[5]對于方程組(2)的齊次方程組的基解矩陣W(t,s),任給t,s∈R+,t≥s,則存在μ>0,使得

W(t,s)≤e-μ(t-s).

定理1若(A1)—(A4)成立,則系統(tǒng)(1)在Ω={φ(·)∈PAP(R,R)是一致連續(xù)的}上存在唯一的偽概周期解.

(3)

由(A1)—(A3)和文獻[3]中的引理1、引理2,通過簡單計算,可得

所以,由引理2可知,對于?φ(·)∈PAP(R,R),方程(3)有唯一的偽概周期解xφ(t),xφ(t)∈PAP(R,R)且

定義Ω上的算子F,令(Fφ)(t)=xφ(t),t∈R,φ(·)∈Ω.顯然,Ω是PAP(R,R)中的閉子集,故F是Ω上的自映射.

接下來證明F是壓縮映射.對于?φ(·),ψ(·)∈Ω,有

由(A4)可知F是壓縮映射,從而F在Ω上有唯一的不動點,即方程(1)有唯一的偽概周期解.

證畢.