與二項(xiàng)分布相關(guān)的極限定理

聶凡皓

【摘要】本文主要介紹了與二項(xiàng)分布相關(guān)的一些極限定理，在第一部分首先介紹了三種常見的離散型隨機(jī)變量，他們分別服從二項(xiàng)分布、超幾何分布和泊松分布；在第二部分分別介紹了超幾何分布與二項(xiàng)分布的極限定理以及二項(xiàng)分布和泊松分布之間的極限定理，并給出了極限定理背后的實(shí)際含義。

【關(guān)鍵詞】二項(xiàng)分布 超幾何分布 泊松分布 極限定理

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）30-0119-02

一、幾種常見的離散型隨機(jī)變量

（一）二項(xiàng)分布

二項(xiàng)分布定義：假設(shè)事件A在一次伯努利試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p，在n重伯努利試驗(yàn)中，記隨機(jī)變量X1為事件A出現(xiàn)的次數(shù)，則稱隨機(jī)變量X1服從二項(xiàng)分布，記作：

X1～B（n，p）.

二項(xiàng)分布的概率分布為：

P（X1=k）=C■■pk（1-p）n-k，k=0，1，…，n.

（二）超幾何分布

超幾何分布定義：假定在N個(gè)小球品中有M個(gè)小球?yàn)樗{(lán)色小球，其余小球?yàn)榧t色小球，在N個(gè)小球中隨機(jī)抽取n個(gè)小球，記X2為藍(lán)色小球的個(gè)數(shù)，則稱隨機(jī)變量X2服從超幾何分布，記作：

X2～H（N，n，M）.

超幾何分布的概率分布：

P（X2=k）=■.

其中，k∈{0，1，2，…，min{n，M}}.

（三）泊松分布

假設(shè)隨機(jī)變量X3的可能取值為一切非負(fù)整數(shù)值，并且，

P（X3=k）=■e-？姿，k=0，1，2，….

其中，？姿>0，k為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量X3服從泊松分布，記作：

X3～P（？姿）.

二、三種離散型隨機(jī)變量之間的聯(lián)系

（一）超幾何分布與二項(xiàng)分布之間的極限定理

假設(shè)隨機(jī)變量服從超幾何分布，即：

P（X=k）=■

并假設(shè)，M=Np，其中0

則我們可以得到，

P（X=k）=■

=■·■·■

=C■■·■·■

由于，

■=p， ■=1-p

則可以得到，

■■=pk.

■■=（1-p）n-k.

因此我們有，

■■=C■■pk（1-p）n-k

故當(dāng)N足夠大時(shí)，超幾何分布逼近了二項(xiàng)分布。

從超幾何分布和二項(xiàng)分布所代表的實(shí)際意義來看，我們假設(shè)藍(lán)色小球總數(shù)M占小球總數(shù)N的比例一定，也就是說藍(lán)色小球的概率是確定的，并且當(dāng)小球總數(shù)N足夠多，抽取的小球數(shù)n比較少時(shí)，我們進(jìn)行有放回的抽取小球和無放回的抽取小球，抽到藍(lán)色小球的概率幾乎是不變的，也就是說從所有小球抽取n個(gè)小球出來，可以看作是一件一件抽取出來的，即可以看作是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，這樣超幾何分布在極限意義下（總小球數(shù)N足夠多時(shí)）逼近二項(xiàng)分布。

（二）二項(xiàng)分布與泊松分布之間的極限定理

在介紹本小節(jié)的結(jié)論之前，首先介紹一個(gè)高等數(shù)學(xué)中一個(gè)基礎(chǔ)的重要極限公式，即：

■1+■■=e.

這個(gè)公式還有一個(gè)重要的推論，

■1+■■=eC.

這里C為常數(shù)，這個(gè)推論將在下文的推導(dǎo)中用到。

假設(shè)隨機(jī)變量序列{Xn}每一項(xiàng)都服從二項(xiàng)分布，即

Xn～B（n，pn）.

并且有，

■npn=？姿.

其中，？姿>0.

P（Xn=k）=C■■p■■（1-pn）n-k

=■p■■（1-pn）n-k

=■p■■（1-pn）n-k

注意到，

■（n-m）pn=？姿

這里，0≤m≤n，并且m為固定的自然數(shù)。

因此有，

■n（n-1）…（n-k+1）p■■=？姿k.

另由重要極限的推論我們可以得到，

■（1-pn）n-k=■1+■■=e-？姿

因此有，

■P（Xn=k）=■e-？姿.

因此二項(xiàng)分布逼近了泊松分布。

事實(shí)上，泊松分布是二項(xiàng)分布n“很大”而p“很小”時(shí)的一種極限形式。二項(xiàng)分布是說，已知事件A發(fā)生的概率是p，那么做n次伯努利試驗(yàn)，事件A發(fā)生的次數(shù)就服從于二項(xiàng)分布。泊松分布是指某段連續(xù)的時(shí)間內(nèi)某事件發(fā)生的次數(shù)，而且“某事件”發(fā)生所用的時(shí)間是可以忽略的。例如，在五分鐘內(nèi)，電子元件遭受脈沖的次數(shù)，就服從于泊松分布。假如我們把“連續(xù)的時(shí)間”分割成無數(shù)小份，那么每個(gè)小份之間都是相互獨(dú)立的。在每個(gè)很小的時(shí)間區(qū)間內(nèi)，電子元件都有可能“遭受到脈沖”或者“沒有遭受到脈沖”，這就可以被認(rèn)為是一個(gè)p很小的二項(xiàng)分布。而因?yàn)椤斑B續(xù)的時(shí)間”被分割成無窮多份，因此n（試驗(yàn)次數(shù)）很大。所以，泊松分布可以認(rèn)為是二項(xiàng)分布的一種極限形式。因?yàn)槎?xiàng)分布其實(shí)就是一個(gè)最最簡(jiǎn)單的“發(fā)生”與“不發(fā)生”的分布，它可以描述非常多的隨機(jī)的自然界現(xiàn)象，因此其極限形式泊松分布自然也是非常有用的。

結(jié)束語

與二項(xiàng)分布相關(guān)的極限定理是概率論中較為重要的組成部分，更是高中時(shí)期乃至大學(xué)時(shí)期我們所研究的概率學(xué)相關(guān)知識(shí)的重點(diǎn)。本文從二項(xiàng)分布引入，對(duì)包括二項(xiàng)分布在內(nèi)的超幾何分布、泊松分布等極限定理進(jìn)行了相關(guān)的證明與論述，內(nèi)容較為抽象，理解起來有一定的難度，遂對(duì)兩個(gè)極限定理舉了實(shí)際例子來解釋。本文所介紹的概率分布在生活中應(yīng)用較多，如在判斷公司盈利概率問題或彩票中獎(jiǎng)概率等問題上有著一定作用。

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