精選 細(xì)讀 深究 善聯(lián)
——基于數(shù)學(xué)名題研讀的小學(xué)生思維訓(xùn)練研究

（義烏復(fù)旦實驗學(xué)校 浙江義烏 322000）

一、問題的提出與分析

1. 提升思維品質(zhì)，教學(xué)永恒的主題

從歷史來看，人類很早就意識到思維訓(xùn)練的重要性，無論是蘇格拉底的“頭腦助產(chǎn)術(shù)”，還是亞里士多德的“思維工具說”都代表了先賢們對思維訓(xùn)練的一種不懈探索和研究。近代，當(dāng)創(chuàng)新學(xué)在工商界蓬勃興起的時候，思維訓(xùn)練迎來了它的真正黃金發(fā)展期，大量的思維研究新成果不斷涌現(xiàn)，無數(shù)的思維方法和技巧被應(yīng)用于企業(yè)產(chǎn)品創(chuàng)新和管理創(chuàng)新之中，進(jìn)而也帶動了學(xué)校和教育界對思維訓(xùn)練的重視與引進(jìn)。[1]

2. 思維影響質(zhì)量，實證數(shù)據(jù)的證明

《2011版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，數(shù)學(xué)課堂要重視學(xué)生的思維訓(xùn)練。右上表是浙江省教育廳評價部方張松主任提供的可靠權(quán)威的實證數(shù)據(jù)，可知：高品質(zhì)思維對教學(xué)質(zhì)量提升關(guān)系最大。[2]

3. 面對現(xiàn)實課堂，存在突出的問題

當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)行為以及評價方式體系，依然更多的是關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，學(xué)生思維培養(yǎng)存在嚴(yán)重的問題：

（1）教師過度的導(dǎo)學(xué)，降低學(xué)生思考力，教師的過度引導(dǎo)縮短了學(xué)生的思維過程，學(xué)生參與學(xué)習(xí)的思維程度明顯不夠。從上海2012年的PISA檢測情況看，我國學(xué)生解決需較長時間獨立思考的大問題比較薄弱。這跟課堂上長期開展小步子教學(xué)有很大的關(guān)系。

（2）學(xué)生思維的隱形，加大思維模糊度，學(xué)生思維品質(zhì)的提升，不是一朝一夕的事，是一個長期積累的過程。每次訓(xùn)練的效果不能立竿見影，所以容易被忽視。正因為抽象的思維隱形于學(xué)生的學(xué)習(xí)活動中，教師不能準(zhǔn)確把握學(xué)生思維動態(tài)，對學(xué)生的思維訓(xùn)練研究也常處于模糊的狀態(tài)之中。

然而，主題式的經(jīng)典數(shù)學(xué)名題往往是個大問題，能讓學(xué)生進(jìn)入探究之中……數(shù)學(xué)名題是數(shù)學(xué)發(fā)展史中有一定的歷史故事與情節(jié)，有數(shù)學(xué)著作記載或民間流傳的有代表性的數(shù)學(xué)問題。如雞兔同籠、李白喝酒、以碗知僧、百錢白雞、韓信點兵……都是我國古代的數(shù)學(xué)名題。本課題研讀的名題包括這些問題及所蘊(yùn)含的文化思想、解決方法策略等相關(guān)內(nèi)容。數(shù)學(xué)題之所以能成為名題 ，大多數(shù)是因富含哲理且寓于生活之中，讀之妙趣橫生而又回味無窮 ，很多名題都是小學(xué)生所喜聞樂見的。

由此我們提出了：“基于數(shù)學(xué)名題研讀的小學(xué)生思維品質(zhì)培養(yǎng)研究”。

二、解決的思路與實施

本課題研究思路是“精選—細(xì)讀—深究—善聯(lián)”。具體地說，是以“數(shù)學(xué)名題研讀”為活動載體，閱讀文獻(xiàn)收集名題，并依據(jù)數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)思想、策略等要素，篩選出一部分典型的、有文化底蘊(yùn)的、適合小學(xué)生探究的數(shù)學(xué)名題素材。以“導(dǎo)學(xué)單”為載體，組織學(xué)生開展獨立閱讀，伙伴同讀、教師導(dǎo)讀等形式的研讀。為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個可以像數(shù)學(xué)家那樣“想”的空間。（即：面對現(xiàn)實問題時，以分析和抽取其中的本質(zhì)特征為手段，以構(gòu)造數(shù)量關(guān)系和空間形式為目標(biāo)的過程。）學(xué)會運用抽象、概括、歸納、演繹、轉(zhuǎn)化、分類、類比、特殊化、一般化、方程等思想方法去發(fā)現(xiàn)提出問題和分析解決問題。同伴之間展學(xué)，呈現(xiàn)真正經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”和“再創(chuàng)造”的過程。并及時進(jìn)行舉一反三，觸類旁通，最終實現(xiàn)積累豐富而深刻的數(shù)學(xué)思想，提升思維品質(zhì)的研究目標(biāo)。[3]

1. 精選：精心挑選，制作微課

我們遵守選題原則，從這三個途徑精選:

（1）用好教材內(nèi)的經(jīng)典題目；

（2）挖掘教材內(nèi)的拓展題材；

（3）收集教材外的數(shù)學(xué)名題。并制作數(shù)學(xué)名題微課。

2. 細(xì)讀：細(xì)心研讀，思維顯形

語言是思維的外殼。在課堂上，讓學(xué)生通過說題，促進(jìn)學(xué)生主動理解題意。在同伴交流中學(xué)會傾聽不同的聲音，大膽質(zhì)疑，提出不同觀點，討論爭辯。同時通過一些具體的辦法讓抽象的思維顯形，如：圖表法、操作法等將內(nèi)部思維轉(zhuǎn)化為外部動作，讓隱形的思維被看見。

3. 深究：深入探究，積累策略

引導(dǎo)學(xué)生運用高階思維（分析，綜合，創(chuàng)造）的方法：比較法，分類法，歸納法，推理法，歸錯法，概括法，提觀點，找論據(jù)，增強(qiáng)思維的深刻性、靈活性、敏捷性、批判性和獨創(chuàng)性。很多數(shù)學(xué)名題能體現(xiàn)某種策略的優(yōu)勢。如《李白喝酒》的倒推策略、《百錢白雞》中的替換策略、《雞兔同籠》中的假設(shè)策略……通過數(shù)學(xué)名題的探索分析，找出解決問題的有效方法策略，積累一系列思維策略，量變達(dá)到質(zhì)變，提升學(xué)生思維品質(zhì)。[4]

4. 善聯(lián)：一單三環(huán)，舉一反三

一課一名題，這樣的課堂有大量的時間讓學(xué)生進(jìn)行有效探究。根據(jù)小學(xué)生的年齡特點和認(rèn)知能力，我們采用“一單三環(huán)”學(xué)導(dǎo)課堂：

導(dǎo)學(xué)單是指一種讓學(xué)生“跳一跳，摘桃吃”的試學(xué)學(xué)習(xí)單，“導(dǎo)學(xué)單”是教師根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)要求、學(xué)生認(rèn)知水平、認(rèn)知規(guī)律編寫的供學(xué)生使用的書面學(xué)習(xí)新知重難點的單子，是指導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、主動參與合作探究的“路線圖”，是幫助學(xué)生自主攀登學(xué)習(xí)高峰的“腳手架”。即學(xué)生能自己解決的問題讓他們自己解決，解決不了的就放到小組中解決，實在是有困難的就讓我們大家一起解決。剔除已知的知識，解決未知的知識，這樣做既可以節(jié)省時間，也能真正體現(xiàn)課堂中“以學(xué)為中心”的學(xué)生主體地位。導(dǎo)學(xué)單是展示學(xué)生思維過程和成果的平臺。

第一環(huán)節(jié)是研讀。引導(dǎo)小學(xué)生依托“導(dǎo)學(xué)單”進(jìn)行自主研讀數(shù)學(xué)名題。

第二環(huán)節(jié)：展學(xué)。讓學(xué)生以小先生身份展示并讓傾聽者質(zhì)疑，進(jìn)行有效辨析。思維本身就是很無形的感覺，如果老師們能在實施過程中化無形為有形，勢必會讓學(xué)生的思維增量。如五年級的“雞兔同籠”圖1：通過教師的表格數(shù)據(jù)比對，調(diào)整過程用箭頭顯現(xiàn)，學(xué)生調(diào)整的過程一目了然，理解起來顯然輕松。兩步列表法發(fā)展到算術(shù)法只差臨門一腳，因此通過兩步列表法理解過程，算術(shù)法來總結(jié)思維過程就水到渠成了。

通過一些具體的辦法讓抽象的思維顯形，如：表述法、圖表法、操作法等將內(nèi)部思維轉(zhuǎn)化為外部動作。在同伴交流中感悟。學(xué)會傾聽不同的聲音，大膽質(zhì)疑，提出不同觀點，討論爭辯。在自主學(xué)習(xí)、同伴交流、質(zhì)疑思辨的過程中提升學(xué)生的思維品質(zhì)。

第三環(huán)節(jié)：勾連。三、四、五年級的課堂中呈現(xiàn)了大量的素材，幫助孩子們舉一反三建立雞兔同籠的模型，如：日本的龜鶴算、三輪車和自行車同輪分配、人民幣混裝問題都屬于雞兔同籠模型下的思維拓展。學(xué)生面對“日本的龜鶴算、三輪車和自行車同輪分配、人民幣混裝問題”，引導(dǎo)他們給“雞兔同籠”重新取名。到了六年級下冊進(jìn)行問題解決策略總復(fù)習(xí)時，老師巧妙的點撥，適時的追問，讓學(xué)生一次次跳出那只有形的“籠子”，超越各種具體的解題方法，上升為一種更具有普適性的思想方法與策略——假設(shè)，從而建構(gòu)起解決這類問題的更具有一般性的“數(shù)學(xué)模型”，通過方法遷移會一題通一類。如圖2：

因為，數(shù)學(xué)是一門關(guān)于“模式”的科學(xué)，探究的是解決某類問題的“通則通法”。[5]

三、研究的成效與思考

1. 形成了系列化的有思考價值的數(shù)學(xué)名題素材

品讀經(jīng)典，豐厚人生。我們?nèi)w師生通過大量閱讀數(shù)學(xué)名題，評比后篩選出了經(jīng)典名題。我們課題組利用休息時間制作數(shù)學(xué)名題微課，放在“浙江省網(wǎng)絡(luò)工作室”供廣大師生自主學(xué)習(xí)、探討，點擊率高達(dá)幾萬人次，深受大家的喜歡和好評。

2. 構(gòu)建了數(shù)學(xué)名題學(xué)導(dǎo)課堂范式的教學(xué)新生態(tài)

我們工作室經(jīng)過一年多的學(xué)導(dǎo)課堂實踐與反思，逐漸形成“一單三環(huán)”的數(shù)學(xué)名題學(xué)導(dǎo)課堂：整節(jié)課依托“導(dǎo)學(xué)單”，第一環(huán)節(jié)是研讀。喚醒學(xué)生生活經(jīng)驗，對接學(xué)生學(xué)習(xí)邏輯，引導(dǎo)小學(xué)生進(jìn)行自主研讀數(shù)學(xué)名題；第二環(huán)節(jié)是展學(xué)。小組合作展學(xué)，質(zhì)疑辨析，概括總結(jié)；第三環(huán)節(jié)是勾連。引導(dǎo)學(xué)生串聯(lián)類似數(shù)學(xué)問題，一以貫之，舉一反三，觸類旁通，并能拓展延伸。構(gòu)建基于數(shù)學(xué)名題的學(xué)導(dǎo)課堂模式，形成“思維金三角”，有利于形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

3. 看到了“數(shù)學(xué)名題興趣班”一些驚喜的現(xiàn)象

經(jīng)過一年多的數(shù)學(xué)名題研讀，我們感悟到：數(shù)學(xué)名題不是讓學(xué)生回憶學(xué)到了哪些知識，而是促使學(xué)生運用所學(xué)知識解決實際生活中的現(xiàn)實問題，并去發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新。與目前的PISA題目是一脈相承的。

用PISA部分?jǐn)?shù)學(xué)樣題來檢測“數(shù)學(xué)名題興趣班”學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，雖然不是很準(zhǔn)確，但從中可以獲取一些驚喜的現(xiàn)象。我們用PISA檢測部分樣題（詳見附件）對參加數(shù)學(xué)名題賞析的義烏復(fù)旦實驗學(xué)校六（1）班30名學(xué)生進(jìn)行獨立檢測。數(shù)學(xué)名題興趣班與基礎(chǔ)差不多但沒有參加數(shù)學(xué)名題拓展興趣班的學(xué)生比較，結(jié)果數(shù)學(xué)名題拓展興趣班學(xué)生運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決實際應(yīng)用問題能力比沒有參加數(shù)學(xué)名題拓展興趣班學(xué)生要強(qiáng)一些。

從以上復(fù)式統(tǒng)計圖直觀看出，在普通試卷成績差不多的情況下，參加數(shù)學(xué)名題拓展研讀的學(xué)生解決PISA樣題的能力要比沒參加數(shù)學(xué)名題研讀的學(xué)生強(qiáng)得多。

4. 弘揚(yáng)了中外古代數(shù)學(xué)歷史文化的精華

以數(shù)學(xué)名題為載體，適當(dāng)介紹有關(guān)的背景知識，幫助學(xué)生感悟深厚的數(shù)學(xué)文化，體會數(shù)學(xué)在人類發(fā)展史中的作用。人文素養(yǎng)是學(xué)生的核心素養(yǎng)之一。學(xué)生通過數(shù)學(xué)經(jīng)典趣題的閱讀，了解數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，滲透數(shù)學(xué)文化。數(shù)學(xué)是人類的一種文化，數(shù)學(xué)名題具有獨特的文化價值。師生感受到了古人的聰明智慧，增強(qiáng)民族的自豪感。我們學(xué)習(xí)中國古代名題《聰明人和有錢人 》和古代印度的《棋盤放米問題》數(shù)學(xué)名題，可以讓學(xué)生從多方面感受數(shù)學(xué)的魅力，從而喜歡數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)。

圖2 參加與未參加數(shù)學(xué)名題興趣班PISA樣題檢測成績復(fù)式條形統(tǒng)計圖表

5. 實現(xiàn)了課題成果較好的應(yīng)用與推廣

數(shù)學(xué)名題思維金三角的學(xué)導(dǎo)課堂在省內(nèi)多次研討課交流并推廣，深受廣大師生的喜歡。

（1）學(xué)生喜歡上數(shù)學(xué)名題賞析興趣拓展課，增強(qiáng)了思維力

本課程以“數(shù)學(xué)名題研讀”為活動載體，組織對數(shù)學(xué)名題感興趣的學(xué)生開展獨立閱讀，伙伴同讀、教師導(dǎo)讀等形式的研讀。為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個可以像數(shù)學(xué)家那樣“想”的空間，真正經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”和“再創(chuàng)造”的過程。最終實現(xiàn)積累豐富而深刻的數(shù)學(xué)思想，提升思維品質(zhì)的研究目標(biāo)。數(shù)學(xué)成績不是最重要的，可貴的是學(xué)生對數(shù)學(xué)名題充滿興趣。 興趣是最好的老師。參加數(shù)學(xué)名題拓展興趣班學(xué)生會主動抽時間做“數(shù)獨”，玩“魔方”，解“九連環(huán)”，樂此不疲。

（2）工作室老師喜歡上數(shù)學(xué)名題的研討課，提高了指導(dǎo)力

近兩年，工作室成員喜歡上數(shù)學(xué)名題的研討課，如在3、4、5、6不同年級各上了4節(jié)《雞兔同籠》，三年級的畫圖法、四年級的列表法、五年級的算術(shù)法和六年級解題策略綜合復(fù)習(xí)法，深深吸引著與會者的眼球。

教學(xué)中，我們不僅要關(guān)注孩子是否“會做”，還要關(guān)注孩子是否“會說”。要求孩子在經(jīng)歷的基礎(chǔ)上，把想法用自己的語言表達(dá)出來。經(jīng)常這樣訓(xùn)練孩子有條理地說思路，使孩子形成見題就想，想好了就說的好習(xí)慣，會更加有效地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和語言表達(dá)能力。

（3）課題成果得到較好的提煉和推廣，提高了宣傳力

數(shù)學(xué)名題的研讀，提高了教師的反思能力和思維能力，很多老師發(fā)表了與課題相關(guān)的論文，由組長執(zhí)筆的本課題代表性論文《基于數(shù)學(xué)名題的思維課堂實踐研究》發(fā)表在今年第6期的《遼寧教育》上，拋磚引玉。

本課題研究過程中，發(fā)現(xiàn)有些數(shù)學(xué)名題雖然題材不錯，但遠(yuǎn)離目前學(xué)生的生活實際，這給學(xué)生理解題意帶來一定的難度。因此，我們計劃在后續(xù)研究中，對一些數(shù)學(xué)名題進(jìn)行適當(dāng)?shù)母木帲嘣O(shè)計一些類似PISA的題目，既能比較貼近學(xué)生的生活實際，又能在一個比較大的數(shù)學(xué)問題空間中探索，研究。接下來，我們試圖“探究小學(xué)數(shù)學(xué)名題準(zhǔn)PISA題的設(shè)計與實施”，努力喚醒學(xué)生生活經(jīng)驗，對接學(xué)生學(xué)習(xí)邏輯。繼續(xù)引領(lǐng)學(xué)生探究在數(shù)學(xué)名題的道路上！