雙向思維交融 促進(jìn)數(shù)學(xué)思考

唐寶端

學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，根據(jù)思維形態(tài)，可分為形象與抽象兩類；根據(jù)思維模式，可分為集中與發(fā)散兩種。學(xué)生集中思維有助于其深入思考，但其缺點在于該思維模式具有直線性、單項性，及缺乏變化的特性。發(fā)散思維有助于拓展思路，了解事物的普遍聯(lián)系，但它也只是一種手段，最終是為了更深入的集中思維。因而學(xué)生的數(shù)學(xué)思維并不局限于哪種模式，而是要綜合運(yùn)用、互相促進(jìn)、整體提升。

一、系統(tǒng)認(rèn)知，“發(fā)散思維”助力“集中思維”

數(shù)學(xué)教材中各個單元的教學(xué)內(nèi)容必然構(gòu)成一個完整的結(jié)構(gòu)體系。從教學(xué)目標(biāo)的四個維度分析，它們是相互關(guān)聯(lián)而不可分割的整體。因此，教學(xué)過程中必然需要承前啟后，聯(lián)系前后教學(xué)內(nèi)容。教師形成系統(tǒng)的教學(xué)觀，才能引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)化地認(rèn)知，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)散思維到集中思維的過渡。

例如，人教版五下“長方體和正方體的體積”部分內(nèi)容，其編排順序為：體積概念、體積單位、長方體的體積、正方體的體積、體積單位間的進(jìn)率、容積和容積單位。教材編者為什么不在學(xué)生學(xué)習(xí)“體積單位”之后安排“單位進(jìn)率”的學(xué)習(xí)內(nèi)容呢？不思考這一問題，很容易將上述幾部分知識個體化。以下列舉兩位教師的教學(xué)片段。

【教學(xué)片段1】

師：我們學(xué)習(xí)了棱長為1 cm的正方體體積就是

1 cm3，棱長為1 dm的正方體體積就是1 dm3?，F(xiàn)在我們嘗試將1 cm3的小正方體裝入這個1 dm3的正方體中，一行可以擺幾個呢？

生：10個。

師：很好。（課件播放擺一行）

師：橫著擺放可以擺幾行？一共擺了幾個？

生：可以擺10行，一共100個。

師：是的，這樣的一層，就有100個1 cm3的小正方體。（課件播放擺一層）

師：往上擺，可以擺幾層？一共擺了幾個？

生：可以擺10層，一共1000個。

師：（課件播放擺10層）說明1 dm3等于多少cm3？

生：等于1000 cm3。

教師板書1 dm3=1000 cm3。

【教學(xué)片段2】

師：1 dm3等于多少cm3？你是怎么知道的？

生：我想1 dm=10 cm，1 dm2=100 cm2，所以判斷

1 dm3應(yīng)該等于1000 cm3。

師：真好，你們很善于學(xué)習(xí)，也很善于推理。我們可以用什么方法來驗證這個結(jié)論呢？

生1：用小正方體擺一擺。

生2：用已學(xué)過的正方體體積計算方法證明。

師：看來大家都有各自的方法，在你們小組桌面上有正方體模型，可以選擇使用或者不用，在你的小組中大膽闡述你的觀點吧。

從“教學(xué)片段1”中，我們能感受到，教師關(guān)注的是單一的知識，單刀直入，聚焦要點，看似簡單明快，培養(yǎng)了學(xué)生的集中思維，然而這種思維是單薄的，也缺乏對學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)。教學(xué)雖然能達(dá)到認(rèn)知的目的，卻限制了學(xué)生的空間想象力，窄化了教學(xué)目標(biāo)?！皵?shù)學(xué)片段2”中的教師能從學(xué)生實際出發(fā)，既關(guān)注學(xué)生的已有認(rèn)知，把握最近發(fā)展區(qū)，又清晰定位學(xué)生的認(rèn)知瓶頸。教師很清楚學(xué)生前面學(xué)過“體積單位”及“正方體的體積”，通過有效的問題引導(dǎo)學(xué)生將知識串聯(lián)起來，形成知識體系。通過合理的交流促進(jìn)學(xué)生將數(shù)學(xué)思維融會貫通。通過學(xué)生個性化地解決問題，促進(jìn)不同層次的學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效提升。通過激發(fā)發(fā)散思維，加強(qiáng)了學(xué)生集中思維的深度。這也正是教材編者不在認(rèn)識“體積單位”后直接編排“單位進(jìn)率”教學(xué)的用意所在。

二、自主建構(gòu)，“集中思維”激發(fā)“發(fā)散思維”

集中思維與發(fā)散思維是一個有機(jī)整體，相互影響、相互作用。學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展需要兩種思維協(xié)同發(fā)展。在一些獨立問題的探究過程中，教師應(yīng)著力引導(dǎo)學(xué)生展開集中思維對知識進(jìn)行深入地思考，在思考中感悟，在思考中運(yùn)用，在思考中拓展，在思考中提升。

例如，“找次品”一課中涉及的數(shù)學(xué)知識較少，卻是蘊(yùn)藏著諸多的數(shù)學(xué)思想。這樣的課，教師無需考慮太多前后知識的關(guān)聯(lián)，應(yīng)側(cè)重于引導(dǎo)學(xué)生將積累的數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用在解決問題過程中。

【教學(xué)片段3】

在情境引入之后，學(xué)生明白了什么是“次品”，知道了怎么用天平找出次品。

師：用天平秤在3瓶鈣片中找出1瓶次品，需要稱幾次？先預(yù)測，再動手試一試。如果跟你預(yù)測的不同，想一想為什么？

就這一問題，學(xué)生進(jìn)行了深入地探究。大部分學(xué)生首先預(yù)測需要2次才能找出次品。但是，在他們動手畫一畫、稱一稱的過程中，很快發(fā)現(xiàn)“只要稱1次”這個事實。在現(xiàn)實面前，學(xué)生立即將實際情況與原有的認(rèn)知進(jìn)行對比，自我矯正，發(fā)現(xiàn)原來“不在天平上的鈣片也能參與判斷”這一道理，并在集體交流中逐漸形成一種解決問題的策略。

師：看來你們已經(jīng)學(xué)會找次品了。但是，是不是每次總數(shù)一變，你就要如此嘗試呢？能否從8瓶中用不同方法找次品，想想其中有什么奧秘。

在原有的認(rèn)知基礎(chǔ)上，教師再次以一個大問題激發(fā)學(xué)生的思維，將原有的集中思維繼續(xù)延伸。學(xué)生通過對比“分成2份”與“分成3份”的策略，發(fā)現(xiàn)后者是較好的策略。于是教師繼續(xù)啟發(fā)學(xué)生深入思考：“為什么分成3份會優(yōu)于分成2份？”學(xué)生受“3瓶中找次品”的啟發(fā)，很快發(fā)現(xiàn)了天平下面這1份與天平上面2份之間的關(guān)系，并通過集體交流發(fā)現(xiàn)“稱一次同時排除的物品越多越好”這個道理。

在本課的教學(xué)過程中，教師抓住“解決問題策略探究”這一主線，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行逐步深入的集中思維。學(xué)生在經(jīng)歷“怎么找次品”到“為什么這么找”的過程中思維不斷深入，自主經(jīng)歷“知其然”到“知其所以然”的蛻變。整個過程是方法的自主探究，是知識的自主建構(gòu)，是思維的自我延展。之所以能達(dá)到比較好的思維訓(xùn)練效果，最重要的原因是學(xué)生的自主性。教師有意適當(dāng)拓寬思維空間，引導(dǎo)學(xué)生圍繞有效問題進(jìn)行集中思維，也正是這種集中思維才能達(dá)到深層次境界。然而，教師并沒有止步于此，而是繼續(xù)深入展開教學(xué)。一是，當(dāng)學(xué)生完成了探究環(huán)節(jié)后，教師通過問題“剛才的探究給你最大的啟發(fā)是什么”，激發(fā)學(xué)生提煉方法，總結(jié)出“化繁為簡”的方法和“優(yōu)化”思想，為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)拓寬了思路。二是，在學(xué)生為順利解決問題而自信滿滿時，教師又適時提出了問題“如果有2個次品如何是好”，讓學(xué)生的發(fā)散思維就此展開。而此時的發(fā)散思維是有基礎(chǔ)的，更有利于其思路的拓展。

從上述兩節(jié)課我們可以看出，當(dāng)集中思維無法實現(xiàn)“觸類旁通”時，發(fā)散思維就應(yīng)該派上用場，拓展思路，相互關(guān)聯(lián)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思考面更廣。當(dāng)發(fā)散思維難以“觸及深層”時，集中思維就必須占據(jù)主導(dǎo)，步步為營，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思考更有深度。因此，數(shù)學(xué)課堂上教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的思維方式，針對不同的教學(xué)內(nèi)容，結(jié)合學(xué)生的思維特點，選擇不同的教學(xué)策略，有效地將集中思維與發(fā)散思維融合，使其相互促進(jìn)，培養(yǎng)學(xué)生全面而深入的數(shù)學(xué)思維。

（作者單位：福建省廈門市海滄區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校附屬學(xué)校 責(zé)任編輯：王彬 陳本煌）