層狀土毛細水上升過程中Lucas-Washburn模型評價及修正

郝 瑞，施 斌，曹鼎峰，孫夢雅，魏廣慶

(1. 南京大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 210023；2. 蘇州南智傳感科技有限公司，江蘇 蘇州 215123)

受淋溶-淀積、剝蝕-沉積、生物擾動等作用，層狀結(jié)構(gòu)土壤在自然界廣泛分布[1]。層狀土中水力特性的不連續(xù)，導(dǎo)致其水分運移和賦存特征與均質(zhì)土壤中的情況完全不同。在毛細水上升過程中，土壤中的分層結(jié)構(gòu)可能會阻礙(或加速)水分垂直方向的運動[2～4]。有關(guān)層狀土中界面效應(yīng)對水分運移規(guī)律影響的研究成果已較多。Hill等[5]發(fā)現(xiàn)土壤層狀結(jié)構(gòu)對水分入滲起抑制減滲作用。Baker等[6]指出水分在穿越細砂-粗砂的界面時會出現(xiàn)滯留。付志文等[7]將毛細水運移過程分為四個階段，即慣性力作用階段，黏性力-慣性力作用階段，黏性力作用階段和黏性力-重力作用階段。Zettl等[8]比較了加拿大阿爾伯達省油砂地區(qū)田間深1 m的土壤剖面持水量，結(jié)果表明具有分層結(jié)構(gòu)的土壤田間持水量高于均勻土壤，并有利于作物高產(chǎn)。因此，建立層狀土中描述毛細水上升規(guī)律的模型非常重要。

目前描述毛細水運移最常用的滲吸模型有：Lucas-Washburn模型、Terzaghi模型、Handy模型、Bosanquet模型和純慣性力模型等[9～12]。19世紀初，Lucas等[13]分析了等截面毛細管和多孔材料界面中水分自吸的作用因素，并提出了經(jīng)典的Lucas-Washburn(LW)模型。后來很多關(guān)于自吸的理論分析和實驗研究大多數(shù)在LW模型的基礎(chǔ)上進行。蔡建超等[1]綜述了常用的自發(fā)滲吸理論模型，總結(jié)了近十年來自發(fā)滲吸理論的研究進展和現(xiàn)狀，分析了滲吸機理判別參數(shù)，簡述了數(shù)值模擬研究及滲吸率影響機理的實驗研究現(xiàn)狀；Cai等[14]基于彎曲流線的分形特征，通過引入彎曲毛細管的彎曲度和分形維數(shù)，獲得毛細管上升的高度/重量隨時間演變的解析表達式。然而，目前大部分模型都是用于描述均質(zhì)土中毛細水上升，關(guān)于層狀土的研究還很少，主要原因是受測試技術(shù)的限制，層狀土界面影響很難實際測定，從而難以進一步驗證相關(guān)模型。

目前，對于毛細水運移與賦存特征的測試方法都是點式的，如取樣烘干法、干濕計法和時域反射法，這些方法對均質(zhì)土含水率的測試效果較好，但是空間分辨率低，難以更加精確測定層狀土中水分信息；遙測法、地面熱輻射測量法、衛(wèi)星遙感法等測量精度較低，主要用于測量地表土層含水率[15～16]。而近幾年發(fā)展起來的主動加熱光纖法(Actively heated fiber optic method, AHFO)具有測試精度高、速度快、操作簡便、可以連續(xù)分布式實時監(jiān)測土中水分場等優(yōu)勢，曹鼎峰等[17]、嚴珺凡等[18]已對AHFO法測試水分場的可行性進行了驗證。

本文將基于AHFO測試結(jié)果對LW模型進行評價，進一步對其進行改進，并通過室內(nèi)試驗測定改進前后LW模型的精度。

1 毛細水運移與賦存原理

1.1 Lucas-Washburn(LW)滲吸模型

毛細水主要受到基質(zhì)吸力Fcap、毛細管側(cè)壁的黏性阻力Fvisco和毛細水自身重力Fgrav作用。毛細水上升過程中液體充分發(fā)展的穩(wěn)態(tài)階段在整個上升過程中占有重要地位，此時的流體可視為層流，尤其是通過一個等截面圓管的流體流動被認為是Hagen-Poiseuille流動[19]，其流動的控制方程可直接由納維-斯托克斯方程(Navier-Stokes)[20]求得。根據(jù)計算有：

(1)

式中：γ——毛細水液面張力；

φ——接觸角；

R——平均空隙半徑；

η——流體黏度；

ρ——毛細水密度；

g——重力加速度；

t——時間；

h——毛細水上升高度。

在黏性力作用階段，Lucas和Wash burn忽略式(1)中慣性力和重力的作用，提出了該階段的簡化模型(LW)：

(2)

對于黏性力-重力作用階段，Washburn在考慮了毛細水重力、黏性阻力和基質(zhì)吸力作用，求解出式(1)的隱形解：

(3)

當(dāng)基質(zhì)吸力和毛細水重力相平衡時，毛細水上升到最大高度，可以求得最大高度heq為：

(4)

毛細水達到最大高度后，其運移過程趨于平衡，此時其表現(xiàn)出的特征稱為毛細水賦存特征，常用土壤水分特征曲線表征。

1.2 土壤水分特征曲線Van Genuchten模型

土壤水分特征曲線又名土壤持水曲線(soil water retention curve，SWRC)，表征土壤中含水率與勢能之間的關(guān)系，是研究非飽和土壤水分的保持能力和運移規(guī)律所用到的基本特性曲線，本文選用Van Genuchten模型以描述土水特征曲線[21]：

(5)

(6)

(7)

(8)

式中：θ(h)——土壤體積含水率；

θr，θs——殘余含水率、飽和含水率/(cm3·cm-3)；

α,m,n——土壤水分曲線參數(shù)；

h——土壤水吸力/cm；

K(h)，KS——飽和滲透系數(shù)；

Se——有效飽和度[22～23]。

在毛細水上升過程中，當(dāng)砂土層覆蓋黏土層時，水分在界面處運移速率取決于兩層土壤的土壤持水曲線(soil water retention curve，SWRC)，該曲線反映了土壤水的基質(zhì)勢(或土壤水吸力)與土壤含水率的變化關(guān)系，主要受到土壤顆粒粒徑、礦物成分、孔隙率、孔徑大小、容重等因素影響。砂土和黏土初始含水率相近，但下層黏土的基質(zhì)吸力明顯高于上層砂土的基質(zhì)吸力[24]。因此，當(dāng)下部毛細水濕潤鋒上升到界面處時，不能立即進入上部砂層，水流會在界面處滯留。直至黏土基質(zhì)吸力隨含水率升高而降低，并低于上層砂土的基質(zhì)吸力時，毛細水流才會越過界面繼續(xù)向上運動[24～27]，該現(xiàn)象即為“毛細屏障作用”。

圖1顯示了在毛細水濕潤鋒穿過砂土層達到平衡狀態(tài)后層狀土壤剖面中含水率的分布。當(dāng)毛細水進入砂土層后，由于砂土的基質(zhì)勢低于黏土，因此，在毛細水運移過程穩(wěn)定后，整個土壤剖面的含水率不連續(xù)，砂土層的含水率會出現(xiàn)低于黏土層的突變。

圖1 平衡狀態(tài)下層狀土中土壤含水率示意圖Fig.1 Moisture content of layered soils at equilibrium

1.3 AHFO技術(shù)測試原理

本文采用AHFO法測量毛細水運移過程與賦存特征。主動加熱光纖法(Actively heated fiber optic method, 簡稱AHFO)，是利用熱耗散原理測量土壤中含水率[28]。通過AHFO法測得的溫度值滿足：

(9)

式中：T——AHFO法測得土壤溫度/ ℃；

P——單位長度加熱功率/(J·m-1·s1)；

λ——土壤有效導(dǎo)熱系數(shù)；

D——線性熱源長度，本文中即為測管長度/m;

rb——線性熱源半徑，本文中即為測管半徑/m;

Rb——土壤熱阻系數(shù)/(K·m·W-1)；

T0——土壤初始溫度/℃;

t——加熱時間/s；

α——所測土壤熱擴散系數(shù)/(m2·s1)。

式(9)可以簡化為[28]:

(10)

土壤的導(dǎo)熱系數(shù)與其含水率有關(guān)，含水率越高，土壤的導(dǎo)熱能力越強，導(dǎo)熱系數(shù)越大，在相同功率下加熱相同時間時所達到的溫度越低。Sayde等[29]研究建議，將溫度特征值和土壤的含水率建立函數(shù)關(guān)系，根據(jù)所測溫度特征值直接推算土壤含水率，可以大大降低求解誤差。碳纖維加熱光纜周邊形成的溫度場升溫梯度穩(wěn)定時，選取某個時間段[t1,t2]計算單位時間平均溫度升高值，該平均溫度升高值即為溫度特征值Tt[30]。如圖2所示，測量時通過碳纖維或金屬材料對土體施加溫度場，利用分布式光纖監(jiān)測周圍土體溫度特征值Tt，根據(jù)溫度特征值Tt與體積含水率θ的函數(shù)關(guān)系就可以計算出土壤的體積含水率θ。根據(jù)土壤含水率θ分布曲線，箭頭所指含水率突增點為濕潤鋒所達高度，即毛細水上升高度。

圖2 AHFO技術(shù)測試原理Fig.2 Principle of AHFO technology

曹鼎峰等[17]通過測試證明，單用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)模型不能滿足整個時刻的需求，而分段函數(shù)模型具有測試精度高、標(biāo)定簡單、工程領(lǐng)域?qū)嵱眯詮姷膬?yōu)點。所以本文采用分段函數(shù)模型，根據(jù)文獻[17]研究結(jié)果，含水率較低時采用對數(shù)函數(shù)，含水率較高時采用線性函數(shù)，其函數(shù)表達式為：

(11)

式中：θc——界限含水率，即Tt-θ-h曲線上曲率半徑最小點所對應(yīng)的含水率；

θs——飽和含水率；

a,b,c,k,d——常參數(shù)。

試驗前通過取樣烘干測得的含水率與溫度特征值擬合出a,b,c,k,d等5個參數(shù)。

2 室內(nèi)試驗

為了測量均質(zhì)土和層狀土中毛細水運移規(guī)律，評價分析LW模型在毛細水運移表述中的誤差，設(shè)計了均質(zhì)土和層狀土的毛細水上升模型試驗。試驗裝置如圖3所示。試驗裝置主要包括鐵桶和水槽。鐵桶高度100 cm，直徑40 cm，上部有桶蓋防止水分蒸發(fā)，下部在距桶底3 cm處鐵桶側(cè)面均勻設(shè)置8個半徑2 cm小孔，保證鐵桶內(nèi)部和水槽內(nèi)保持相同水位高度。鐵桶放置于1個深度為10 cm、直徑60 cm水槽中。為防止土壤堵塞下部小孔，在桶底鋪設(shè)厚10 cm、粒徑4～8 mm礫石層作為反濾層。在礫石層上覆1層紗布防止上部黏土進入。

圖3 試驗裝置Fig.3 Experimental apparatus

為了提高光纖測量的空間分辨率，將碳纖維加熱光纜緊密纏繞直徑50 mm的PVC管，制成碳纖維感測光纜測管，簡稱測管，設(shè)備與測管如圖4所示。并在測管外側(cè)緊套熱縮管防止水分沿光纜上移產(chǎn)生誤差。光纖的空間分辨率為1 m，因此沿測管方向空間分辨率達到20 mm，滿足室內(nèi)試驗要求。

圖4 碳纖維測管與儀器實物圖Fig.4 Carbon fiber tube and instrument physical map

試驗所采用的工業(yè)砂和高嶺土初始含水率分別為7.7%、4.7%，工業(yè)砂干密度為1.53 g/cm3，高嶺土干密度為2.53 g/cm3，工業(yè)砂與高嶺土按照9∶1、7∶3比例均勻混合后土壤顆粒級配曲線如圖5所示。本次所用DTS解調(diào)儀主要技術(shù)指標(biāo)如表1所示。

圖5 土壤顆粒分析結(jié)果Fig.5 Particle analysis results of sand material

光纖類型測量距離/km空間分辨率/m測溫范圍/ ℃測溫精度/ ℃功率/W62.5/125101-40～1200.1300

試驗時將工業(yè)砂和高嶺土分別按照比例9∶1和7∶3均勻混合，得到砂土和黏土材料。在桶底礫石層上覆蓋一層紗布，將光纖測管埋置于鐵桶正中心固定，再將試驗材料分層裝滿鐵桶，每次裝填10 cm后擊實，并做刨毛處理，減小分層裝填對模型整體性的影響。對于均質(zhì)土模型，分別直接用按9∶1和7∶3比例均勻混合的材料分層填裝滿鐵桶；對于層狀土模型，先填裝厚度20 cm 按7∶3比例均勻混合的黏土，再填裝厚度10 cm按9∶1比例均勻混合的砂土，再用黏土將鐵桶填裝滿。在初始狀態(tài)下測得模型中土壤的初始含水率，然后向水槽中持續(xù)加水保持滿水狀態(tài)。前24 h通過AHFO法每1 h測試1次含水率，24 h后每隔12 h左右測1次含水率并取樣。

3 試驗結(jié)果

3.1 含水率與溫度特征值標(biāo)定

已知溫度特征值Tt與土壤含水率θ之間的函數(shù)表達形式，參照文獻[17]取樣烘干分段擬合的標(biāo)定方式，分別擬合出工業(yè)砂與高嶺土按照9∶1、7∶3均勻混合土函數(shù)表達式中的常參數(shù)a,b,c,k,d，其表達式為：

9∶1土樣

Tt=

(12)

7∶3土樣

Tt=

(13)

3.2 土壤含水率運移與分布

基于AHFO技術(shù)測得不同時刻均質(zhì)土與層狀土剖面中土壤含水率分布如圖6所示，圖6(a)為工業(yè)砂和高嶺土按照比例7∶3均勻混合所得均質(zhì)黏性土中不同時刻體積含水率分布曲線，圖6(b)為層狀土中不同時刻體積含水率分布曲線，圖中水平虛線為分層界面，0～20 cm為7∶3均質(zhì)黏土，20～30 cm為9∶1均質(zhì)砂土，30～100 cm為7∶3均質(zhì)黏土。圖中含水率突增點所對應(yīng)高度即為毛細水濕潤鋒所達到高度?？梢钥闯?，隨著時間延長，兩種土毛細水上升高度逐漸增高，濕潤鋒以下土壤含水率也逐漸增大。而濕潤鋒上升速率和含水率增長速率逐漸降低。主要是因為隨著毛細水量的增加，重力勢增大，基質(zhì)勢不變，毛細水所受向上驅(qū)動力減小。當(dāng)含水率增加到重力勢與基質(zhì)勢相同時，向上驅(qū)動力為零，毛細水達到最大上升高度。在毛細水濕潤鋒達到20 cm前，兩者運移規(guī)律相同，但達到20 cm后，層狀土砂土層中含水率急劇下降，遠低于均質(zhì)土中同層位土壤含水率。這是因為砂土基質(zhì)吸力突然變小，其持水能力降低。而且濕潤鋒超過30 cm后，從下到上均質(zhì)土中含水率緩慢下降，但層狀土中含水率卻先升高后降低。這是因為上層黏土層基質(zhì)吸力變大，持水能力增強。

圖6 不同時刻均質(zhì)土的含水率剖面Fig.6 Volumetric moisture content of the homogeneous clay

為了便于觀察分析毛細水濕潤鋒隨時間升高規(guī)律，由圖6中含水率分布曲線繪制出均質(zhì)砂土、均質(zhì)黏土和層狀土濕潤鋒高度隨時間變化曲線，即毛細水上升高度隨時間變化關(guān)系曲線(圖7)。

圖7 毛細水上升高度隨時間變化曲線Fig.7 Curve of the rise of capillary water with time

由圖7可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)毛細水上升到20 cm時，毛細水濕潤鋒到達黏土層(下部)與砂土層(上部)界面高度，均質(zhì)黏土和均質(zhì)砂土中毛細水持續(xù)穩(wěn)定上升，20 h時毛細水分別上升到25 cm和30 cm，但層狀土中毛細水發(fā)生滯留與減緩，20 h時毛細水仍滯留在20 cm高度。原因是下層黏土的基質(zhì)吸力大于上層砂土，毛細水不能立即進入砂土層。但是界面以下黏土中水分持續(xù)增加，基質(zhì)吸力不斷減小，直至下層黏土中基質(zhì)吸力隨著含水率的升高而下降到與上層砂土的基質(zhì)吸力相同時，毛細水才能越過界面繼續(xù)向上運移進入砂土層，40 h時毛細水達到25 cm。該現(xiàn)象即“毛細屏障作用”。

80 h后，均質(zhì)黏土和均質(zhì)砂土中毛細水高度均已超過40 cm，上升速率緩慢，而層狀土中毛細水達到30 cm進入黏土層，其上升速率加快，與均值土毛細水高度差距逐漸減小。根據(jù)田町正譽[31]的解釋，當(dāng)小孔徑毛細管連通在大孔徑毛細管之上時，毛細水的上升速率明顯加快，是因為砂土層中大孔徑毛細管促進了水分在黏土小孔徑毛細管中的運動。究其本質(zhì)，是由于在接近地下水位處，土壤剖面的含水量較大，砂土的導(dǎo)水率明顯大于黏土所致[32]。

對比均質(zhì)砂土與均質(zhì)黏土上升曲線，85 h前黏土中毛細水上升速率低于砂土，根據(jù)張志權(quán)[33]的研究，毛細水前期的上升速度與土壤毛細管通暢性相關(guān)，黏粒含量越高，毛細管截面內(nèi)被黏粒強烈吸附的結(jié)合水越多，阻礙了自由水向上運動，所以毛細水上升速度越慢，與本試驗實際測得的結(jié)果相同。

根據(jù)Van Genuchten模型理論，在黏土層與砂土層界面處含水率會發(fā)生突變。而圖6(b)中實際測得的結(jié)果卻是連續(xù)緩變的。選取120 h實測界面處含水率與理論值繪制在圖8中，可以看出在層內(nèi)含水率實測值與理論值很吻合，但是在界面處吻合度較低。這是由AHFO技術(shù)測量原理導(dǎo)致的。已知測管空間分辨率為2 cm，即測管每一點監(jiān)測值為上下各1 cm內(nèi)監(jiān)測值的平均值，因此在含水率的突變處由光纖測管測得的突變程度是低于實際突變程度的。

圖8 界面處含水率實測值與理論值Fig.8 Measured and theoretical values of moisture content at the interface

3.3 Lucas-Washburn滲吸模型預(yù)測與修正

通過Lucas-Washburn模型可以計算預(yù)測毛細水濕潤鋒上升高度，根據(jù)文獻[7]中所給出ρ,γ,φ,η的經(jīng)驗值，并通過文獻[34]中給出的平均空隙直徑D0與d20和孔隙率之間的關(guān)系D0=0.63nd20，代入毛細水在黏性力作用階段和黏性力-重力作用階段的表達式(2)和式(3)，繪制出Lucas-Washburn滲吸模型預(yù)測曲線和層狀土濕潤鋒高度實測值曲線如圖9所示。

根據(jù)圖9層狀土中毛細水濕潤鋒實測高度和Lucas-Washburn模型預(yù)測值，在高度達到20 cm前模型預(yù)測值較準(zhǔn)確，但毛細水進入砂土層后該模型無法預(yù)測濕潤鋒高度。一是因為砂土層減緩了毛細水上升速度，二是因為毛細水穿過砂土層重新進入上層黏土層后，下部砂土層導(dǎo)水率加大，有利于毛細水運移。據(jù)此，為了描述毛細水在上層黏土中運移規(guī)律，本文對Lucas-Washburn模型進行修正。由于上述兩點原因的主要影響因素是毛細管徑，因此，定義穿過砂土層后上層黏土的等效毛細管半徑R為：

(14)

式中：R1，R2——砂土和黏土的平均空隙半徑/m；

D1，D2——砂土層厚度和毛細水進入上部黏土層高度/cm。

則Lucas-Washburn模型黏性力-重力作用階段修正后Improved Lucas-Washburn模型(ILW模型)表達式為：

(15)

(16)

將已知黏土和砂土的水土特征參數(shù)代入，可以得到毛細水在層狀土中的運移方程為：

(17)

通過MATLAB繪制出實測結(jié)果與修正擬合結(jié)果曲線如圖10所示。修正后的結(jié)果精度大大提高，與實測值也很接近。可以精確描述層狀土中毛細水的上升過程。

圖10 模型修正后修正值與實測結(jié)果Fig.10 Corrected and measured results after model correction

對比圖9中修正前Lucas-Washburn模型(LW模型)預(yù)測曲線和圖10中修正后Improved Lucas-Washburn模型(ILW模型)預(yù)測曲線，修正等效平均空隙半徑R后的曲線精度較高，能夠有效預(yù)測層狀土中毛細水上升規(guī)律，對層狀土中毛細水運移規(guī)律的預(yù)測具有較高參考價值。

4 結(jié)論

(1)通過主動加熱光纖法(AHFO)分布式測得均質(zhì)土和層狀土整個剖面含水率，分析發(fā)現(xiàn)毛細水在達到下部黏土層與砂土層界面時產(chǎn)生“毛細屏障作用”，砂土層中毛細水含水率急劇下降。而砂土層與上部黏土層界面處含水率突增，平穩(wěn)后砂土層含水率低于同層位均質(zhì)土含水率。這主要是由于層狀土中基質(zhì)吸力變化造成的。

(2)當(dāng)毛細水越過砂土層后，黏土層中毛細水上升速率大于同時刻均質(zhì)土中毛細水上升速率，是因為砂土層的導(dǎo)水率明顯大于黏土層，砂土黏性阻力小于黏土，毛細水的驅(qū)動力大于均質(zhì)土。

(3)Lucas-Washburn滲吸模型可以有效準(zhǔn)確預(yù)測均質(zhì)土中毛細水濕潤鋒上升高度。層狀土由于“毛細屏障作用”和下部土層導(dǎo)水率的增大，Lucas-Washburn滲吸模型預(yù)測值遠遠高于實測值，無法有效預(yù)測層狀土中毛細水上升規(guī)律。