把習(xí)題開發(fā)成課題 創(chuàng)造更多的“悟化成果”

/李相林

在習(xí)題教學(xué)中，能否以任務(wù)的方式進一步引導(dǎo)學(xué)生深入研究，帶領(lǐng)他們創(chuàng)造出一片未知的天地呢？下面，我們以舊版蘇教版教材五下中“”這道習(xí)題的教學(xué)實踐為例來進行探討。

一、重“點”，變習(xí)題為例題

這是一道比較單純的數(shù)學(xué)習(xí)題，完美地詮釋了幾何直觀的價值。學(xué)生初見驚嘆，但到后來，只要遇見“”就直接用1減去最后那個分數(shù)，其中不乏生搬硬套，其承載的幾何直觀能力培養(yǎng)的價值并沒有真正得以實現(xiàn)。由此，我們準備用任務(wù)的方式驅(qū)動學(xué)生“小題大做”一番。

我們首先變這道習(xí)題為例題，進行重“點”宣傳：一是讓學(xué)生在表示單位“1”的正方形中嘗試表示算式；二是讓學(xué)生把算式和圖形聯(lián)系起來想一想，原來的算式應(yīng)該怎樣轉(zhuǎn)化？重點突出了幾何直觀的兩個關(guān)鍵——描述和分析（問題）。這樣一變，就變出了“直觀感知”的學(xué)習(xí)力，全班學(xué)生都能借助直觀圖來求解問題。在新版教材中，這道習(xí)題成了例題，與我們的嘗試不謀而合。

二、延“線”，變習(xí)題為專題任務(wù)

以任務(wù)驅(qū)動提升學(xué)生的數(shù)學(xué)研發(fā)力，需要突破淺表的“直觀感知”層面，向教學(xué)更深處——“直觀理解”延伸，將圖示與算式建立對應(yīng)關(guān)系，理解圖示本身各部分間的關(guān)系，從而借助直觀圖分析、解決問題。

（圖1）

我們繼續(xù)據(jù)“點”延“線”，將這道習(xí)題設(shè)計成專題任務(wù)，以期獲得更多的“悟化成果”：（1）增加尾數(shù)：（2）變加為減：；（3）變增為減：。在題組任務(wù)探究中，學(xué)生受益于題（2），在用圖形描述難度系數(shù)較高的題（3）時，為了建立直觀圖和算式的對應(yīng)關(guān)系，他們在原始圖上進行框注，分解出了新的圖示（如上頁圖1），進而用“”求出結(jié)果。

三、拓“面”，變習(xí)題為課題

“直觀推理”是“直觀理解”更高層面的發(fā)展，對學(xué)生特別是一些學(xué)有余力和學(xué)有潛力的學(xué)生的學(xué)習(xí)動力、毅力和能力的提升有著巨大的價值。認知心理學(xué)研究表明：當(dāng)個體在某一方面有著豐富的知識經(jīng)驗時，他就有可能進行更高級的思維。我們由“線”拓“面”，變習(xí)題為課題研究任務(wù)：怎樣運用直觀圖形分析、解決“”？按照這樣的思路，你還能求出哪些算式的結(jié)果？能寫出其中蘊含的規(guī)律并做出解釋嗎？讓學(xué)生以小組合作的方式在獨立思考的基礎(chǔ)上合力攻關(guān)。

1.研究課題，發(fā)展直觀洞察能力。

（圖2）

（圖3）

這個直觀圖的核心是“用簡單的空白部分間接求出復(fù)雜的陰影部分”，而讓空白部分變得簡單得可以直接表示是描述問題的關(guān)鍵所在，要想不出現(xiàn)新的空白，就得不斷給分數(shù)照鏡子，這樣每次剩下的空白部分就是正在表示的這個分數(shù)。學(xué)生給“”的直觀圖起了個形象的名字——“照鏡子圖”。

（圖4）

還有學(xué)生產(chǎn)生了新的“悟化成果”，提出用圓形和長方形也可以描述算式（如圖4），由此，學(xué)生認為，“”問題也可以用其他圖形或其他分法來描述。

為了完成這個高思維含量的任務(wù)，學(xué)生經(jīng)歷了長時間的反復(fù)琢磨與嘗試，聚焦“空白點”，透過“”圖示中每次對應(yīng)分數(shù)的自然形成，實現(xiàn)“”圖示中每次對應(yīng)分數(shù)的人工促成，在圖形直觀上思考得更清晰、更深入、更合理，他們的數(shù)學(xué)研發(fā)力得到了實質(zhì)性的提升。

2.研究課題，生長直觀推理能力。

（圖5）

任務(wù)深入到這種程度，學(xué)生的幾何直觀能力達到了新的高度，他們沉浸其中，欲罷不能。對于后面的任務(wù)，學(xué)生自己如法炮制，由“”研創(chuàng)出“”的情形（如圖5）：；從而得出：；最終研創(chuàng)出這樣一個結(jié)論性的悟化成果：為≥2的自然數(shù)），這不就是關(guān)于幾分之一等比數(shù)列的求和公式嗎？

這種推理是建立在對直觀圖本質(zhì)洞察基礎(chǔ)上的直觀推理，是借助直觀圖順利解決“”問題之后，在充分積累經(jīng)驗的基礎(chǔ)上提出的。這個直觀圖可以是任何一個幾分之一的圖示，并通過由圖到算式的直觀推理直接提出關(guān)于“”的求和算式的算法。學(xué)生眼中的結(jié)論并非一道抽象的代數(shù)式，其背后隱藏著一幅直觀圖，用學(xué)生自己的話說，就是“整個圖形是幾（n－1）個自己（加法算式）與小空白的和，因此，求自己只要用‘1’減去小空白再除以份數(shù)即可”。這種直觀推理實質(zhì)上是科學(xué)歸納推理，其核心是真正揭示了對象及其屬性間的因果關(guān)系，并以此為依據(jù)由點及面推出結(jié)論，雖未給出嚴格的演繹證明，但其中的分析成分又相當(dāng)于演繹推理，學(xué)生對結(jié)論能給出令人信服的說明。

在變習(xí)題為課題的任務(wù)驅(qū)動式學(xué)習(xí)中，學(xué)生由特殊到一般趁勢融通，將豐富、深刻的認識提升到理性層面，其悟化成果達到了知識的高點，這在小學(xué)教學(xué)中無疑是難能可貴的，學(xué)生特別是一些學(xué)有余力和學(xué)有潛力的學(xué)生需要更多這樣的課題。