小樣本數(shù)據(jù)潛變量建模：貝葉斯估計的應(yīng)用

晏 寧，毛志雄，李 英，李玉磊，郭 璐

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小樣本數(shù)據(jù)潛變量建模：貝葉斯估計的應(yīng)用

晏 寧1,2，毛志雄1，李 英3，李玉磊1，郭 璐1

1. 北京體育大學(xué) 心理學(xué)院, 北京 100084; 2. 北京聯(lián)合大學(xué) 心理素質(zhì)教育中心, 北京 100101; 3. 北京中法實(shí)驗(yàn)學(xué)校, 北京 100095

旨在通過一項(xiàng)基于計劃行為理論的鍛煉行為實(shí)證研究案例，說明貝葉斯結(jié)構(gòu)方程模型如何應(yīng)對小樣本數(shù)據(jù)。貝葉斯方法之所以適用于小樣本數(shù)據(jù)主要因?yàn)椋贺惾~斯方法不依賴大樣本理論且允許估計測量模型中所有可能的殘差協(xié)方差，經(jīng)典統(tǒng)計方法中這些均無法實(shí)現(xiàn)；借助貝葉斯定理，采用信息先驗(yàn)的貝葉斯估計允許將先前研究的結(jié)果與當(dāng)前研究進(jìn)行整合，從而使假設(shè)獲得檢驗(yàn)的機(jī)會，這也是經(jīng)典統(tǒng)計方法無法實(shí)現(xiàn)的。與最大似然估計相比，貝葉斯估計有助于降低對樣本量的要求、避免不適當(dāng)解、更好地反映研究者的理論構(gòu)想和先驗(yàn)信念、促進(jìn)科學(xué)知識的積累。然而，貝葉斯估計并非萬能，必須確保合理、透明地使用先驗(yàn)信息。

貝葉斯方法；結(jié)構(gòu)方程模型；最大似然估計；殘差相關(guān)；先驗(yàn)分布

1 問題的提出

眾所周知，樣本量越大，<0.05的可能性越大。然而研究實(shí)踐過程中，研究者并非總有機(jī)會獲得大樣本數(shù)據(jù)。運(yùn)動與鍛煉心理學(xué)領(lǐng)域的研究也不例外。縱向追蹤研究中的樣本流失、研究對象的總體數(shù)量極為有限、嚴(yán)格的研究參與者篩選標(biāo)準(zhǔn)、研究經(jīng)費(fèi)的限制以及道德約束等因素均有可能使研究者獲得大樣本的期望難以、甚至根本無法實(shí)現(xiàn)。而小樣本數(shù)據(jù)帶來的一個直接后果是統(tǒng)計檢驗(yàn)力降低，由此造成的不顯著的值，使得研究結(jié)果在零假設(shè)檢驗(yàn)框架下無法獲得有意義的解釋[7,26,33]。此時，研究者常需面對兩難的選擇，堅持還是放棄自己感興趣的研究問題。

究竟多大樣本量才能滿足當(dāng)前研究所需，是每個學(xué)者在研究開始之前必須要回答的問題。借助模型中參數(shù)個數(shù)來粗略估計研究所需樣本量是常用的策略之一。如：Lee等(2004)[26]的研究顯示，采用最大似然估計(maximum likelihood estimation)進(jìn)行結(jié)構(gòu)方程模型分析時，至少需要自由參數(shù)5倍以上的樣本量，才能獲得參數(shù)的無偏估計，這個標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)比實(shí)踐中常用的經(jīng)驗(yàn)法則要寬松得多。模型復(fù)雜程度和測量模型特征也是確定樣本量時經(jīng)常需要考慮的因素，如：Hair等(2014)[15]基于模型復(fù)雜程度和基本測量模型的特征給出一套更為精細(xì)的確定樣本量的經(jīng)驗(yàn)法則：當(dāng)模型中包含5個及以下構(gòu)念，每個構(gòu)念有3個以上觀測條目且平均方差萃取量在0.6及以上時，最小樣本量為100；當(dāng)模型包含7個及以下構(gòu)念，每個構(gòu)念有3個以上觀測條目且平均方差萃取量在0.5左右時，最小樣本量為150；模型包含7個及以下構(gòu)念，平均方差萃取量低于0.45，且(或)存在觀測條目不足3個的構(gòu)念，最小樣本量為300；模型包含7個以上構(gòu)念，其中部分構(gòu)念平均方差萃取量低于0.45，且(或)單一構(gòu)念的觀測條目不足3個，最小樣本量為500。除上述法則外，Muthén(2002)[32]甚至認(rèn)為，確定樣本量唯一有效的途徑是進(jìn)行模擬研究。如果模擬研究顯示5倍于自由參數(shù)個數(shù)的樣本量可以提供足夠的統(tǒng)計檢驗(yàn)力，則實(shí)際研究中的樣本量至少要5倍于自由參數(shù)個數(shù)。

然而，如果基于上述策略確定的樣本量無法達(dá)到，會出現(xiàn)什么情況？考慮一下這個研究問題：采用前瞻設(shè)計，考察計劃行為理論(the theory of planned behavior，TPB)[4]相關(guān)構(gòu)念對有鍛煉意向和少量鍛煉行為、但未達(dá)到推薦鍛煉標(biāo)準(zhǔn)的視障大學(xué)生群體的鍛煉行為的預(yù)測效果。這個問題中，研究者感興趣的群體有兩個限制條件。1）視障大學(xué)生。因?yàn)樵治鼋Y(jié)果顯示，計劃行為理論對鍛煉行為的預(yù)測效果存在群體差異[28]，因而有必要單獨(dú)考察計劃行為理論相關(guān)構(gòu)念對視障大學(xué)生鍛煉行為的預(yù)測效果。2）滿足“有鍛煉意向和少量鍛煉行為、但未達(dá)到推薦鍛煉標(biāo)準(zhǔn)”的篩選條件。因?yàn)榉线@一條件的研究參與者，是未來最有可能通過心理社會變量的干預(yù)促進(jìn)其鍛煉行為的群體。通常，此類研究問題需要使用結(jié)構(gòu)方程模型來回答，如前所述，使用最大似然估計需在大樣本量條件下才能獲得參數(shù)的無偏估計。但是，該研究在實(shí)際數(shù)據(jù)采集過程中，至少面臨5個挑戰(zhàn)。1）視障大學(xué)生總?cè)藬?shù)相對有限，且分散于眾多高校，研究者期望獲得一個大樣本數(shù)據(jù)，其難度可想而知。即便有些高校開設(shè)的特殊教育類專業(yè)存在一定數(shù)量的視障大學(xué)生，由于這些專業(yè)在校生的規(guī)模有限，想要獲得大樣本數(shù)據(jù)也并非易事。如2016年全國僅有1 941名殘疾人(含視障)進(jìn)入高等特殊教育學(xué)院學(xué)習(xí)[2]，而北京地區(qū)規(guī)模最大的特殊教育學(xué)院目前在校視障大學(xué)生也僅有160人左右。2）“有鍛煉意向和少量鍛煉行為、但未達(dá)到推薦鍛煉標(biāo)準(zhǔn)”這一篩選條件的限制進(jìn)一步加劇了獲得大樣本的難度。3）樣本流失是前瞻設(shè)計無法回避的現(xiàn)實(shí)。4）從倫理層面講，需征得本人的同意，才能邀請其參加研究項(xiàng)目進(jìn)而獲得數(shù)據(jù)。5）重度視障大學(xué)生無法獨(dú)自完成紙筆測驗(yàn)，需要安排調(diào)查員協(xié)助進(jìn)行，造成時間成本和經(jīng)費(fèi)投入的增加。在上述5個挑戰(zhàn)面前，研究者獲得根據(jù)經(jīng)驗(yàn)法則確定的樣本量，難度倍增。那么，對于這一研究問題，除了等待若干年，以積累足夠的樣本量之外，是否只有放棄一途？

2 貝葉斯估計應(yīng)對小樣本數(shù)據(jù)的原理

與最大似然估計相比，貝葉斯估計（Bayesian estimation）不一定需要大樣本量[30]。在分析小樣本數(shù)據(jù)時，貝葉斯估計可以同時兼顧估計精度和統(tǒng)計檢驗(yàn)力[26]。這主要?dú)w因于貝葉斯估計可以將參數(shù)的先驗(yàn)信息納入分析過程[36]。

貝葉斯估計的核心思想是將收集觀測數(shù)據(jù)前已掌握的關(guān)于參數(shù)的知識(先驗(yàn))與觀測數(shù)據(jù)信息(似然函數(shù))相結(jié)合，進(jìn)而獲得更新的參數(shù)知識(后驗(yàn))[24]。確定先驗(yàn)分布的依據(jù)是研究者在采集觀測數(shù)據(jù)前，確信已經(jīng)掌握的關(guān)于模型參數(shù)背景知識的多少，以及對這些信息的確信程度。當(dāng)參數(shù)值及其精度的先驗(yàn)信息可以獲得并加以利用時，可設(shè)定信息先驗(yàn)分布(informative prior distribution)。先驗(yàn)知識可從前人的研究(如：元分析或類似的研究)中獲得，其優(yōu)點(diǎn)是便于他人核實(shí)這些先驗(yàn)信息的來源。當(dāng)然也可從本領(lǐng)域理論或?qū)崉?wù)方面的專家處獲得[41]。當(dāng)沒有任何可資利用的先驗(yàn)知識，或者未使用先驗(yàn)知識時，可選擇無信息先驗(yàn)(non-informative prior distribution)，即假定我們對于模型參數(shù)一無所知，觀測數(shù)據(jù)中的參數(shù)估計值出現(xiàn)在負(fù)無窮到正無窮任一點(diǎn)上的概率均等，也就是模型參數(shù)服從一個從負(fù)無窮到正無窮的均勻分布(uniform distribution)。從貝葉斯的觀點(diǎn)來看，先驗(yàn)信息的缺乏同樣值得考慮，也有必要將其納入后續(xù)統(tǒng)計分析。換句話說，量化未知與量化已知同等重要[22]。有些情況下，設(shè)定參數(shù)取值范圍從負(fù)無窮到正無窮沒有實(shí)際意義，因此可以在設(shè)定先驗(yàn)分布時，增加參數(shù)取值范圍的設(shè)定，如：先驗(yàn)均值的取值范圍可以不包含超出量表刻度以外的數(shù)值。更多關(guān)于貝葉斯方法的介紹可參考van de Schoot等(2014)、Depaoli等(2017)文獻(xiàn)。

一般來說，先驗(yàn)信息精度越高，所攜帶的信息量越大，對估計結(jié)果的影響越大[37]。當(dāng)使用無信息先驗(yàn)時，先驗(yàn)分布不會對最終模型參數(shù)估計產(chǎn)生任何影響，因而，采用無信息先驗(yàn)分布所得結(jié)果與最大似然法一致[30]。當(dāng)使用低精度的信息先驗(yàn)，尤其是樣本量較大時，結(jié)果幾乎不會受到先驗(yàn)信息的影響。不管樣本量大小，精度較高的信息先驗(yàn)不僅可以將先前研究的結(jié)果納入當(dāng)前的分析過程，更可由此獲得更加精確的可信區(qū)間(credibility interval)或者后驗(yàn)預(yù)測區(qū)間(posterior predictive interval)估計值。換句話說，先驗(yàn)分布的精度越高，后驗(yàn)分布所攜帶的信息就越多，即：統(tǒng)計檢驗(yàn)力就越高，或者說，統(tǒng)計推斷錯誤不太可能發(fā)生[38]。此外，將先驗(yàn)信息納入分析過程可避免不可接受的估計值以及貝葉斯估計中的收斂問題。而多項(xiàng)模擬研究[18,29]結(jié)果顯示，經(jīng)典統(tǒng)計方法中常用的最大似然估計則經(jīng)常遭遇違犯估計和收斂問題。總之，采用信息先驗(yàn)的貝葉斯估計在小樣本量條件下，也可以獲得有意義的結(jié)果。但是，我們?nèi)詮?qiáng)烈建議，如果有可能，獲取大樣本數(shù)據(jù)仍應(yīng)作為研究者的首選。

3 研究案例

本文數(shù)據(jù)來源于一項(xiàng)鍛煉行為促進(jìn)領(lǐng)域的實(shí)證研究。該研究旨在考察計劃行為理論相關(guān)構(gòu)念對有鍛煉意向和少量鍛煉行為、但未達(dá)到推薦鍛煉標(biāo)準(zhǔn)的視障大學(xué)生鍛煉行為的預(yù)測效果。

計劃行為理論是身體活動促進(jìn)領(lǐng)域應(yīng)用最廣泛的理論之一。該理論認(rèn)為，行為態(tài)度、主觀規(guī)范和主觀控制感透過行為意向影響行為[4]。如果將主觀行為控制感視為自己是否對從事該行為有足夠選擇權(quán)的評價，則主觀行為控制感可對行為的產(chǎn)生有直接預(yù)測作用[3]。目前已有多項(xiàng)元分析和敘事性綜述為計劃行為理論解釋和預(yù)測不同人群各種形式的身體活動行為提供了支持性證據(jù)，且研究結(jié)果具有較高的一致性[6,10,11,14,17,21,23,34]。如：近期一篇元分析[28]結(jié)果顯示，行為態(tài)度與行為意向、主觀行為控制感與行為意向、主觀行為控制感與身體活動、行為意向與身體活動的相關(guān)系數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差)分別為：0.60(0.14)、0.55(0.20)、0.34(0.15)、0.48(0.18)。鑒于元分析結(jié)果具有易量化、可查證、可提供變量關(guān)系的強(qiáng)證據(jù)等特點(diǎn)，研究案例將以此作為先驗(yàn)信息的來源，并將其納入后續(xù)的數(shù)據(jù)分析過程。

為降低讀者的認(rèn)知負(fù)荷，研究案例僅將計劃行為理論框架中的行為意向和主觀控制感作為鍛煉行為的預(yù)測因素納入假設(shè)模型。根據(jù)計劃行為理論，可以假設(shè)，鍛煉意向和主觀控制感對鍛煉行為均有顯著正向預(yù)測作用，且主觀控制感可同時對鍛煉意向有顯著正向預(yù)測作用。

下文將借助真實(shí)數(shù)據(jù)分析過程演示說明如何應(yīng)用貝葉斯估計分析小樣本數(shù)據(jù)，同時對比最大似然估計和貝葉斯估計在小樣本條件下模型擬合和參數(shù)估計的差異。至于兩種估計方法對比的結(jié)果，可以預(yù)期，在小樣本量條件下，當(dāng)最大似然估計無法對模型參數(shù)作出有效估計時，采用允許納入先驗(yàn)信息的貝葉斯估計，可使研究假設(shè)獲得重新檢驗(yàn)的機(jī)會。

特別說明，因該數(shù)據(jù)僅用作演示說明的目的，且假設(shè)模型僅選用了部分計劃行為理論構(gòu)念，相關(guān)結(jié)果不構(gòu)成計劃行為理論對視障大學(xué)生鍛煉行為預(yù)測效果的研究證據(jù)。

3.1 方法

采用前瞻設(shè)計。研究參與者來源于某高校特殊教育學(xué)院的在校大學(xué)生，第1次測量完成鍛煉行為以及鍛煉意向和主觀控制感的測量。4周后，完成第2次鍛煉行為測量。共有81人完成兩次測量。兩次測量中，達(dá)到ACSM推薦鍛煉標(biāo)準(zhǔn)[16]，即每周參與中等強(qiáng)度鍛煉5次以上或者大強(qiáng)度鍛煉3次以上者，以及每周參與中等以上強(qiáng)度鍛煉低于1次者予以剔除。最終獲得52份有效數(shù)據(jù)。

鍛煉意向和主觀控制感的測量各3個條目，采用6級李克特量表計分[1]。鍛煉行為采用【休閑時間鍛煉問卷】（the Godin Leisure-Time Exercise Questionnaire，GLTEQ）[13]，要求參與者報告過去4周中，每周鍛煉時間在30 min以上的次數(shù)[35]。

采用Mplus 7.4[31]進(jìn)行潛變量建模。首先，使用最大似然法對模型進(jìn)行估計，此時，不使用任何先驗(yàn)信息。模型擬合采用傳統(tǒng)的2/CFI、TLI、RMSEA、SRMR等指標(biāo)進(jìn)行評估。一般來說，2/小于3，CFI、TLI大于0.9，RMSEA、SRMR小于0.05代表模型擬合良好[15]。

使用信息先驗(yàn)進(jìn)行貝葉斯估計時，需進(jìn)行敏感度分析(sensitivity analysis)，以考查先驗(yàn)信息選擇的合理性。所謂敏感度分析即通過考查不同先驗(yàn)信息條件下模型參數(shù)估計結(jié)果的差異，檢驗(yàn)先驗(yàn)分布的選擇對后驗(yàn)分布的影響程度。如不同先驗(yàn)信息條件下模型參數(shù)估計結(jié)果相差不大，則表明先驗(yàn)分布的選擇對后驗(yàn)分布的影響較小，可以一定程度上支持先驗(yàn)信息選擇的合理性[12]。根據(jù)Zondervan-Zwijnenburg等（2017）[40]的推薦，本研究選用無信息先驗(yàn)和信息先驗(yàn)兩種先驗(yàn)信息進(jìn)行敏感度分析，并詳細(xì)報告先驗(yàn)信息的來源及設(shè)定方法，以確保先驗(yàn)信息使用的透明度。具體來說，無信息先驗(yàn)?zāi)Ｐ凸烙嫴捎肕plus的默認(rèn)設(shè)置。如：測量條目均值、鍛煉行為截距項(xiàng)、因子載荷和路徑系數(shù)的默認(rèn)先驗(yàn)分布為N(0,1010)，代表模型中這些參數(shù)服從先驗(yàn)均值為0，先驗(yàn)方差為1010的正態(tài)分布，以此近似代表先驗(yàn)均值為0，先驗(yàn)方差無限大的均勻分布。測量條目和鍛煉行為的殘差方差以及鍛煉意向、主觀控制感兩個潛變量方差的先驗(yàn)分布為IG(-1,0)，即服從先驗(yàn)均值和先驗(yàn)方差無限大的逆伽馬分布(inverse gamma distribution)。信息先驗(yàn)?zāi)Ｐ褪窃谏鲜瞿Ｐ偷幕A(chǔ)上，首先對所有觀測變量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化轉(zhuǎn)換，然后通過model prior命令增加參數(shù)先驗(yàn)分布的設(shè)定。本研究依據(jù)近期一篇元分析[28]所提供的鍛煉意向與鍛煉行為、主觀控制感與鍛煉行為、主觀控制感與鍛煉意向關(guān)系的相關(guān)系數(shù)及其標(biāo)準(zhǔn)差確定相應(yīng)路徑系數(shù)的先驗(yàn)分布為N(0.48, 0.032 4)、N(0.34, 0.022 5)、N(0.55, 0.04)。根據(jù)Hair等(2014)[15]關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)化因子載荷的推薦標(biāo)準(zhǔn)，確定因子載荷的先驗(yàn)均值為0.7，根據(jù)Asparouhov等(2010)[5]的建議，選擇0.01作為因子載荷的先驗(yàn)方差，即標(biāo)準(zhǔn)化因子載荷的先驗(yàn)分布為N（0.7, 0.01），代表因子載荷很可能介于0.5~0.9之間（0.7±0.2）。根據(jù)Muthén等(2012)[30]的建議，采用近似零的殘差相關(guān)替代零殘差相關(guān)，理由將在下文討論。測量條目殘差相關(guān)的先驗(yàn)分布設(shè)為IW(0, 12)①，即服從先驗(yàn)均值為0，先驗(yàn)方差為0.011的逆威沙特分布(inverse Wishart distribution)；殘差方差的先驗(yàn)分布設(shè)為IW(1, 12)，即服從先驗(yàn)均值為0.2，先驗(yàn)方差為0.027的逆威沙特分布。

由于對殘差相關(guān)設(shè)定了小方差信息先驗(yàn)，收斂的難度增大，因而需要設(shè)定較大的迭代次數(shù)。根據(jù)Muthén等(2012)[30]的建議，固定貝葉斯迭代100000次。行為意向和主觀控制感是計劃行為理論中兩個獨(dú)立的構(gòu)念，因此這里不考慮設(shè)置交叉載荷。其余使用Mplus的默認(rèn)設(shè)定。以PSR指標(biāo)小于1.1，且軌跡圖呈現(xiàn)快速上下變動，但沒有長期趨向或任意漂移的情形時，可認(rèn)為達(dá)到收斂[12]。模型擬合采用后驗(yàn)預(yù)測值和卡方差異值95%可信區(qū)間來判斷。后驗(yàn)預(yù)測值在0.5附近，且卡方差異值95%可信區(qū)間以零為中心基本對稱，代表模型擬合良好。模型比較選用DIC指標(biāo)，DIC值越小代表模型擬合越好[12]。

3.2 結(jié)果

最大似然法模型估計結(jié)果見表1。鍛煉意向和主觀控制感所有條目的標(biāo)準(zhǔn)化因子載荷均在0.7以上；主觀控制感到鍛煉意向的標(biāo)準(zhǔn)化路徑系數(shù)為0.758，主觀控制感解釋鍛煉意向方差的57.4%；模型擬合指標(biāo)除RMSEA之外，均比較理想。然而，鍛煉意向和主觀控制感到鍛煉行為的路徑系數(shù)以及對鍛煉行為方差解釋率均未達(dá)顯著，提示僅部分研究假設(shè)獲得支持。此外，最大似然估計結(jié)果報告中，有一個主觀控制感測量條目的殘差方差未達(dá)顯著，意味著該參數(shù)估計值非常接近負(fù)值，超出統(tǒng)計分析所能接受的范圍，為不適當(dāng)解。

表1 最大似然估計結(jié)果

注：DV-結(jié)果變量；IV-預(yù)測變量；Std. FL-標(biāo)準(zhǔn)化因子載荷；unstd.-非標(biāo)準(zhǔn)化路徑系數(shù)；std.-標(biāo)準(zhǔn)化路徑系數(shù)；INT-行為意向；PBC-主觀控制感；PE-鍛煉行為；***<0.001，下同。

貝葉斯模型估計結(jié)果見表2。兩個模型PSR指標(biāo)在迭代100 000次后，均小于等于1.002。檢視所有參數(shù)軌跡圖，也均提示迭代過程已收斂。敏感度分析結(jié)果顯示，選用兩種不同的先驗(yàn)信息(即無信息先驗(yàn)和信息先驗(yàn))，所得模型參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)化路徑系數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)化因子載荷)結(jié)果差異不大，表明先驗(yàn)信息的納入并未對模型參數(shù)的估計造成重大影響，這一定程度上支持了先驗(yàn)信息選擇的合理性[37]。從模型擬合指標(biāo)來看，信息先驗(yàn)?zāi)Ｐ秃篁?yàn)預(yù)測值為0.564，95%可信區(qū)間以零為中心基本對稱，且DIC指標(biāo)數(shù)值較小，提示信息先驗(yàn)?zāi)Ｐ蛿M合度優(yōu)于無信息先驗(yàn)?zāi)Ｐ?。從模型參?shù)估計和推斷的結(jié)果來看，無信息先驗(yàn)?zāi)Ｐ椭械臉?biāo)準(zhǔn)化路徑系數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)化因子載荷等參數(shù)的后驗(yàn)估計值均與最大似然估計的結(jié)果相近，這是因?yàn)闊o信息先驗(yàn)分布不會對最終模型參數(shù)估計產(chǎn)生任何影響[30]；其中，主觀控制感到鍛煉意向的標(biāo)準(zhǔn)化路徑系數(shù)為0.753，主觀控制感解釋鍛煉意向方差的56.8%；而鍛煉意向和主觀控制感到鍛煉行為兩條路徑系數(shù)的95%PPI包含0，提示僅部分研究假設(shè)得到支持，與最大似然估計結(jié)果一致。信息先驗(yàn)?zāi)Ｐ椭兴新窂较禂?shù)的95%PPI均不包含0，提示全部研究假設(shè)得到支持。鍛煉意向和主觀控制感共同解釋了鍛煉行為方差的19.7%，與計劃行為理論對身體鍛煉行為預(yù)測效果相關(guān)元分析的結(jié)果接近[28]。此外，信息先驗(yàn)?zāi)Ｐ秃蜔o信息先驗(yàn)?zāi)Ｐ椭兴袣埐罘讲詈篁?yàn)估計值的95%PPI均不包含0，提示未出現(xiàn)違犯估計現(xiàn)象。

表2 貝葉斯估計結(jié)果

注：coeff.-標(biāo)準(zhǔn)化路徑系數(shù)；*95%PPI不包含0。

3.3 分析

當(dāng)樣本量較小時，貝葉斯估計通過納入先驗(yàn)知識，以更新先驗(yàn)知識的方式，使研究假設(shè)全部獲得數(shù)據(jù)支持；而最大似然估計結(jié)果僅支持了部分研究假設(shè)。

樣本量較小是導(dǎo)致上述案例中最大似然估計結(jié)果未能支持全部研究假設(shè)的重要原因。1）根據(jù)計劃行為理論及現(xiàn)有元分析[28,34]證據(jù)判斷，行為意向和主觀控制感應(yīng)可有效預(yù)測鍛煉行為。而該研究中最大似然估計結(jié)果提示模型擬合指標(biāo)良好，且3條路徑系數(shù)所反映的變量關(guān)系方向與計劃行為理論所預(yù)測的一致，唯獨(dú)模型中鍛煉意向到鍛煉行為以及主觀控制感到鍛煉行為兩條路徑系數(shù)未達(dá)顯著，由此可以排除模型建構(gòu)本身的問題。2）眾所周知，采用最大似然估計進(jìn)行結(jié)構(gòu)方程模型分析，需要的樣本量較大。如：根據(jù)Hair等(2014)[15]的推薦標(biāo)準(zhǔn)，包含5個及以下構(gòu)念、每個構(gòu)念包含3個以上測量條目、且平均方差萃取量在0.6及以上的模型，最少需要100個樣本。3）結(jié)構(gòu)方程模型要求誤差方差為正，且顯著[15]。最大似然估計結(jié)果中存在誤差方差不顯著的情形，為不適當(dāng)解。而貝葉斯方法估計的誤差方差全部為正，且95%可信區(qū)間均未包含0，提示未出現(xiàn)不適當(dāng)解。根據(jù)Hair等(2014)[15]的準(zhǔn)則，樣本量在300以上，且滿足每個構(gòu)念至少3個條目的原則，才可能不出現(xiàn)上述違犯估計的情況。即便是采用相對比較寬松的準(zhǔn)則，在每個構(gòu)念包含3個及以上條目時，若要最大似然估計能夠收斂并獲得適當(dāng)解，樣本量至少也要在150以上[20]。而該研究僅有52筆有效數(shù)據(jù)。綜合以上3點(diǎn)，不難判斷，最大似然估計結(jié)果未能支持全部研究假設(shè)，很有可能是樣本量小所致。鑒于該研究數(shù)據(jù)采集過程中的種種挑戰(zhàn)，增加樣本的難度和成本較高，因此需要一種替代估計方法來對研究假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)。

貝葉斯方法不依賴大樣本理論，可將先前研究的結(jié)果與當(dāng)前研究進(jìn)行整合，從而使假設(shè)獲得檢驗(yàn)的機(jī)會，且允許估計測量模型中所有可能的殘差協(xié)方差，而這些在經(jīng)典統(tǒng)計方法中均無法實(shí)現(xiàn)[26,30,36,40]。這些特征決定了貝葉斯估計可以在小樣本量條件下作為最大似然估計的替代方案。本研究結(jié)果表明，在相對較小的樣本量條件下，貝葉斯估計利用從元分析獲得的變量關(guān)系方向、強(qiáng)度的先驗(yàn)信息，借助Gibbs采樣算法，依然獲得了模型參數(shù)的無偏估計，進(jìn)而使研究假設(shè)全部獲得支持。同時，貝葉斯估計通過納入誤差方差的先驗(yàn)信息(先驗(yàn)均值為正)，也有效避免了不適當(dāng)解的情形[37]。此外，該研究根據(jù)Muthén等(2012)[30]的建議，對殘差相關(guān)設(shè)定小方差信息先驗(yàn)，替代零殘差相關(guān)。因?yàn)橹饔^控制感和鍛煉意向兩個量表題目具有相似的結(jié)構(gòu)、內(nèi)容和措辭以及相同反應(yīng)形式，由此造成的方法偏誤必然會包含在每個測量條目的殘差中，因此，模型中一定會存在微小但不為零的殘差相關(guān)。最大似然估計的殘差獨(dú)立原則假定所有測量條目的殘差相關(guān)為0，僅僅是出于模型簡約性的考慮，而不能使模型更加符合現(xiàn)實(shí)情況[30]。因而允許對殘差相關(guān)設(shè)定小方差信息先驗(yàn)，或許是信息先驗(yàn)貝葉斯估計能夠在小樣本條件下對研究假設(shè)做出有效檢驗(yàn)的另一個重要原因。

最后，有必要強(qiáng)調(diào)的是，采用最大似然估計進(jìn)行結(jié)構(gòu)方程模型分析時，經(jīng)常遇到研究假設(shè)無法獲得數(shù)據(jù)支持(如：因統(tǒng)計檢驗(yàn)力降低致使>0.05)、違犯估計(如：殘差方差為負(fù)或不顯著)等問題。此時需要具體問題具體分析，明確引發(fā)這些問題的確切原因，采取針對性的應(yīng)對措施。切勿一味強(qiáng)行使用信息先驗(yàn)貝葉斯估計，獲取自己感興趣的研究結(jié)果。

4 討論

本文首先簡要分析了小樣本數(shù)據(jù)的成因，并介紹了貝葉斯方法分析小樣本數(shù)據(jù)的基本原理。樣本量是每個研究者在開始一項(xiàng)研究前都關(guān)心的一個議題。最大似然估計是結(jié)構(gòu)方程模型最常用的估計方法，通常需要較大的樣本量。然而由于種種原因，研究者卻往往難以、甚至無法獲得借助經(jīng)驗(yàn)法則或模擬研究確定的最小樣本量。樣本量不足會直接導(dǎo)致統(tǒng)計檢驗(yàn)力下降，進(jìn)而使研究結(jié)果在零假設(shè)檢驗(yàn)框架下無法獲得有意義的解釋。貝葉斯估計可以作為小樣本量條件下，結(jié)構(gòu)方程模型的備選估計方法。其主要原因在于貝葉斯估計可將先驗(yàn)信息納入分析過程，結(jié)合觀測數(shù)據(jù)信息，獲得參數(shù)的后驗(yàn)分布，而這個過程并不受樣本量大小的限制。對一筆小樣本數(shù)據(jù)而言，模型參數(shù)的先驗(yàn)分布精度越高，其后驗(yàn)分布的精度就越高，統(tǒng)計檢驗(yàn)力也越高。

然后借助一項(xiàng)運(yùn)動與鍛煉心理學(xué)研究領(lǐng)域?qū)嵶C研究的數(shù)據(jù)分析過程，說明利用貝葉斯方法分析小樣本數(shù)據(jù)的具體方法。通過與最大似然估計的對比，可見貝葉斯估計在實(shí)務(wù)上的4個獨(dú)特優(yōu)勢。1）同等條件下，貝葉斯方法對樣本量的要求較低。正如Lee等(2004)[26]的模擬研究表明，采用最大似然估計的結(jié)構(gòu)方程模型，其最小樣本量為待估計參數(shù)的4~5倍，而采用貝葉斯方法僅需待估計參數(shù)的2~3倍。不僅如此，Hox等(2012)[19]的研究表明，采用穩(wěn)健最大似然估計(MLR)進(jìn)行多層次模型分析時，至少需要50組樣本，而采用貝葉斯估計則僅需20組。2）貝葉斯方法可以避免不適當(dāng)解。最大似然估計有時會產(chǎn)生不恰當(dāng)解，如殘差方差不顯著或者小于0、標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)大于1。通過殘差方差、協(xié)方差先驗(yàn)分布的設(shè)定，這些不適當(dāng)解的情況不會出現(xiàn)[37]。但需要注意：由于模型設(shè)定錯誤導(dǎo)致的不適當(dāng)解，貝葉斯方法沒辦法解決。3）貝葉斯估計允許將殘差方差和殘差相關(guān)的先驗(yàn)信息納入分析過程，從而使得假設(shè)模型能更好地反映研究者的理論構(gòu)想和先驗(yàn)信念[30]。4）貝葉斯估計可以將前人研究成果以先驗(yàn)分布的形式納入當(dāng)前的研究中，體現(xiàn)研究的繼承性。具體來說，貝葉斯估計可將來源于元分析、先前相同主題研究、預(yù)研究或者領(lǐng)域?qū)＜业淖兞筷P(guān)系的方向和強(qiáng)度先驗(yàn)信息，與當(dāng)前觀測數(shù)據(jù)相結(jié)合，構(gòu)建參數(shù)的可信區(qū)間，從而更新先驗(yàn)知識[37]。除上述4個優(yōu)勢之外，文獻(xiàn)[8,9,25,30,36,37,39]表明貝葉斯估計還有其他特點(diǎn)和優(yōu)勢。

當(dāng)然，貝葉斯方法也受到諸多質(zhì)疑，尤其是在先驗(yàn)的選擇問題上[27]。批評者認(rèn)為先驗(yàn)的選擇完全基于研究者的主觀決策，并警告稱應(yīng)警惕因錯誤選擇先驗(yàn)而造成的嚴(yán)重后果。支持者為此做了諸多努力，并給出具體建議。如：van de Schoot等(2014)[37]的研究結(jié)果顯示，對誤設(shè)先驗(yàn)信息所造成的后果可不必過于擔(dān)心，但是，研究者有義務(wù)確保先驗(yàn)選擇的透明度。如：清晰、準(zhǔn)確的描述所使用的先驗(yàn)信息，并陳述理由及其來源；如果使用了不同先驗(yàn)分布，還需用表格呈現(xiàn)敏感度分析的信息。通過這種方式，讀者可以自行決定他們是否信服。近來，Zondervan-Zwijnenburg等(2017)[40]介紹了一份先驗(yàn)信息的獲取和使用指南，并通過實(shí)際研究案例示范了如何獲取先驗(yàn)信息。這些學(xué)者的工作均有助于推動先驗(yàn)信息使用的規(guī)范化。需要指出的是，應(yīng)用貝葉斯方法的學(xué)者也有義務(wù)在確保先驗(yàn)信息設(shè)定的透明度和合理性的前提下，規(guī)范、合理地使用先驗(yàn)信息。比如使用先驗(yàn)信息的一個常見錯誤做法是反復(fù)嘗試各種不同的先驗(yàn)信息，然后選擇對自己有利的結(jié)果進(jìn)行報告。這種做法與捏造數(shù)據(jù)同屬違反學(xué)術(shù)道德行為[40]。其實(shí)，選擇使用信息先驗(yàn)的理由不應(yīng)該是為了獲得統(tǒng)計上顯著的結(jié)果，而應(yīng)該是納入可資利用的先驗(yàn)信息后，有助于回答那些懸而未決的研究問題。只要恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用信息先驗(yàn)，不管結(jié)果如何，都不會掩蓋該項(xiàng)研究自身的價值。

5 結(jié)論

貝葉斯估計可幫助研究者有效應(yīng)對小樣本數(shù)據(jù)造成的困擾?？傮w而言，信息先驗(yàn)貝葉斯估計通過將參數(shù)的先驗(yàn)信息納入分析過程，同時兼顧了小樣本量條件下模型參數(shù)估計精度和統(tǒng)計檢驗(yàn)力。具體而言，信息先驗(yàn)貝葉斯估計將先前研究結(jié)果以先驗(yàn)信息的方式納入分析過程，結(jié)合當(dāng)前觀測數(shù)據(jù)，使研究假設(shè)在小樣本量條件下獲得檢驗(yàn)的機(jī)會；通過納入殘差方差的先驗(yàn)信息，避免小樣本量條件下最大似然估計常見的違犯估計問題；通過納入殘差相關(guān)的先驗(yàn)信息，真實(shí)反映模型中必然存在的微小但不為零的殘差相關(guān)，有助于改善模型擬合程度。

應(yīng)用信息先驗(yàn)貝葉斯估計需要注意以下幾點(diǎn)。1）雖然信息先驗(yàn)貝葉斯估計可以幫助研究者在小樣本量條件下獲得有意義的結(jié)果。但研究者在面對小樣本數(shù)據(jù)時，首要考慮的問題仍應(yīng)該是有沒有可能增加樣本量，其次才是先驗(yàn)信息的選擇問題。2）清晰、準(zhǔn)確的描述所使用的先驗(yàn)信息，并陳述理由及其來源，確保先驗(yàn)信息選擇的透明度。3）信息先驗(yàn)貝葉斯估計需進(jìn)行敏感度分析，以考查不同先驗(yàn)信息對后驗(yàn)估計的影響。進(jìn)行敏感度分析至少也要報告使用統(tǒng)計分析工具軟件中的默認(rèn)先驗(yàn)信息和研究者經(jīng)過檢索、論證確定的先驗(yàn)信息的模型參數(shù)估計結(jié)果，并用表格呈現(xiàn)。4）解釋使用不同先驗(yàn)信息所造成的分析結(jié)果的差異。5）方法是服務(wù)于研究問題的，貝葉斯方法也不例外。選擇使用信息先驗(yàn)貝葉斯估計的最重要原因應(yīng)是有助于特定(領(lǐng)域)研究問題的解決。先驗(yàn)信息的檢索和選擇可能是一項(xiàng)高度精細(xì)化且費(fèi)時費(fèi)力的任務(wù)，但有助于明晰當(dāng)前研究與前人研究的區(qū)別。恰當(dāng)?shù)南闰?yàn)信息提供了對該領(lǐng)域研究現(xiàn)狀的深刻見解，將其納入當(dāng)前研究，有助于該領(lǐng)域科學(xué)知識的更新。而所有已發(fā)表的研究也都應(yīng)為未來同類研究提供先驗(yàn)信息，進(jìn)而有助于該領(lǐng)域科學(xué)知識的積累。

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①逆威沙特分布中的第2個參數(shù)代表自由度，其數(shù)值越大，則先驗(yàn)方差越小，所攜帶的信息量就越大。依據(jù)Muthén等(2012)建議的方法，本文中該參數(shù)設(shè)為12，即模型中觀測條目個數(shù)加6。

Latent Variable Modeling with Small Sample Data: The Application of Bayesian Estimation

YAN Ning1,2, MAO Zhi-xiong1, LI Ying3, LI Yu-lei1, GUO Lu1

1. Beijing Sport University, Beijing 100084, China; 2. Beijing Union University, Beijing 100101, China; 3. Beijing Sino-French Experimental School, Beijing 100095, China.

The aim is to provide an empirical example of physical exercise based on the theory of planned behavior to show how Bayesian structural equation model analysis small sample data. Bayesian approach can be used with small sample sizes since they do not rely on large sample theory and allows estimating all possible residual covariance in measurement model, neither of which are possible with frequentist methods; and Bayesian estimation with informative priors allows results from all previous research to be combined with estimates of study effects using Bayes’ theorem, yielding support for hypotheses that is not obtained with frequentist methods. Compared with maximum likelihood estimation, Bayesian estimation might help to eliminate the worry about small sample sizes and the inadmissible parameters, better reflects the researcher’s theories and prior beliefs, and create cumulative knowledge. Nonetheless, Bayesian estimation is not a panacea, it is absolutely necessary to be transparent with regard to which priors were used and why.

G80-32

A

1002-9826(2018)06-0052-07

10.16470/j.csst.201806007

2017-11-15；

2018-08-11

北京體育大學(xué)科技創(chuàng)新團(tuán)隊課題(2015TD001)。

晏寧,男,副教授,主要研究方向?yàn)殄憻捫袨榇龠M(jìn)、大學(xué)生心理健康教育, E-mail: yanning@buu.edu.cn