關(guān)于二次函數(shù)中面積倍數(shù)問題的解題思考

周國蓉　王杰　張靜

【摘 要】重慶市數(shù)學(xué)中考壓軸題加強(qiáng)了面積類問題的考察，本文對中考題二次函數(shù)中出現(xiàn)的面積倍數(shù)問題（面積相等、面積分割、面積翻倍問題）的解題方法進(jìn)行了操作性總結(jié)。

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)；面積相等問題；分割面積問題；面積倍數(shù)問題

中圖分類號： G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號： 2095-2457（2018）23-0115-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.23.051

【Abstract】The examination of the mathematics test in Chongqing has strengthened the investigation of the area problem. This paper summarizes the problem solving method of the area multiple problem （area equal， area division， area doubling problem） appearing in the quadratic function of the middle test.

【Key words】Quadratic function； Area equality problem； Partition area problem； Area multiple problem

1 研究背景

在數(shù)學(xué)問題解決的研究中，幾何問題總是受到格外的青睞，其主要原因就在于幾何中的問題解決具有鮮明的個性、豐富的題型以及如萬花筒般的解題方法與過程[1]，而面積問題是數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)中的“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”， 常結(jié)合一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、三角形全等及相似、四邊形、圓等初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容來進(jìn)行考查[2]。

近幾年，重慶市中考題的壓軸題主要是二次函數(shù)為背景，其第二小問先是解決面積類問題，求出拋物線上的某動點(diǎn)，接著利用該點(diǎn)來解決“將軍飲馬”類問題。通過對近十年重慶市中考題壓軸題進(jìn)行梳理，可以發(fā)現(xiàn)對面積類問題的考察主要三方面：面積的最值問題，面積的定值問題，面積的倍數(shù)關(guān)系問題。本文就重點(diǎn)討論一類兩個定點(diǎn)一個動點(diǎn)的三角形面積倍數(shù)問題。

2 方法總結(jié)

對于二次函數(shù)中兩定一動的三角形面積倍數(shù)關(guān)系，本文主要從三方面來討論：（1）面積相等問題。其題型主要兩類，一類是以定直線為共同邊，在拋物線上找點(diǎn)使得面積相等，解題方法主要有等積變形和定值法。二類是以動直線為共同邊，在拋物線上找點(diǎn)使得面積相等。其解題方法主要是利用等積變形使得高相等。（2）分割面積問題，其解題方法主要是將面積比轉(zhuǎn)化為線段比，通過“化斜為直”來解決。（3）面積倍數(shù)問題，其解題方法可以轉(zhuǎn)化為面積定值解決。其具體過程如下表1：

3 例題精講

例1面積相等問題

4 進(jìn)一步思考

通過面積倍數(shù)問題的三種題型的歸納總結(jié)，我們不難發(fā)現(xiàn)，其主要是要樹立數(shù)形結(jié)合、函數(shù)的數(shù)學(xué)思想，從而構(gòu)建出關(guān)于面積的函數(shù)模型。顧泠沅曾提出幾何可以為學(xué)生提供不同層次的合情推理的機(jī)會，它也常常被作為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造能力的有效途徑。在教學(xué)中，更應(yīng)該使幾何擺脫以往的孤立性，讓學(xué)生在解決任何數(shù)學(xué)問題時都盡可能地給出幾何解釋[1]。那如何提高幾何的教學(xué)成效性，將是我們進(jìn)一步思考的方向。

表1

【參考文獻(xiàn)】

[1]顧泠沅.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海教育出版社，2009.10.

[2]張美琴.初中數(shù)學(xué)面積問題的類型及解題策略[J].中學(xué)教學(xué)參考，2017.10.