品嘗數(shù)學的味道

江婷婷

智趣數(shù)學呼喚智趣課堂。智趣課堂應該有思想的味道、思維的味道和思考的味道。

思想的味道

抽象思想、推理思想是數(shù)學的基本思想。它們不是游離于數(shù)學知識之外，而是蘊涵于知識的形成、發(fā)展和應用過程之中。教師在分析處理教材與開發(fā)課程資源時，從教知識的層面上升到教思維與思想的層面，數(shù)學課才會充滿思想的味道。筆者以四年級上冊《平行與垂直》為例進行說明。

第一，“垂直與平行”概念的形成過程蘊含抽象思想。垂直與平行的概念包括垂直與平行的形狀、大小、位置關系、變換過程等。與此相關的知識，學生在日常生活中已廣泛接觸過，但他們見到的形狀、感知到的概念與規(guī)范的數(shù)學知識又有差異。這就要求教師借助日常事物和現(xiàn)象抽象出相關形狀和概念，幫助學生把感性認識上升到理性認識層面來。

比如教學“平行”概念時，可以設計一組動態(tài)素材：把相交的兩條直線放在格子圖里，緩慢地移動其中一條直線，反復引導學生觀察、思考“兩條直線是否還相交，交點在哪兒”；即將平行時，有的學生認為不相交了，有的學生指出“還沒有完全放平”；教師繼續(xù)移動，讓兩條直線完全平行，學生觀察后發(fā)現(xiàn)，此時的兩條直線中間相隔3個完整的方格，進而想象出在這種情況下，兩條直線無論怎樣延長也找不到交點。至此，“平行”的概念在觀察與想象中自然而然地產(chǎn)生了。

垂直是特殊的相交，也可以通過一組動態(tài)素材進行教學：出示一組相交直線，不斷旋轉其中一條直至垂直后，引導學生觀察兩條直線中間的四個角都是直角，并告訴學生，這樣的情形叫“垂直”。這種抽象概括建立在學生充分觀察、思考的基礎之上，既有利于學生理解概念，又能讓他們學會用數(shù)學眼光觀察世界。

第二，垂線的畫法蘊含推理思想。畫垂線分兩種情況：一種是過直線上一點作已知直線的垂線，另一種是過直線外一點作已知直線的垂線。教材具體給出了前一種情況的畫法（用連續(xù)的三幅圖表明畫的步驟），但沒配文字說明；后一種情況則只提出了問題，沒有提供解決問題的方法，這無疑為知識點的掌握設置了障礙。解決這個問題的最好方法是動手操作：過直線上一點畫已知直線的垂線，可以采用直觀演示法。完成這一知識點后，利用知識遷移法，讓學生自主探究，完成“過直線外一點作垂線”的任務。學生完成任務的過程就是體驗推理思想的過程，因為“過直線上一點作垂線”和“過直線外一點作垂線”具有內在聯(lián)系，教師先演示后放手的目的就是讓學生通過推理發(fā)現(xiàn)這種聯(lián)系，并把在演示中學到的方法運用到自主探究之中。

思維的味道

數(shù)學教學的核心是教思維，而推理是數(shù)學思維的基本方式。數(shù)學教學中最常用的推理有合情推理、演繹推理等。合情推理是從已有的基本事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比的方式推斷出結果的思維過程，包括歸納推理、類比推理等。演繹推理是從已有的基本事實出發(fā)，按照邏輯推理的法則推斷出結果的思維過程。合情推理和演繹推理功能不同、特點不同，在數(shù)學教學中分別起著不同的作用。如：涉及性質、公式、法則、定律等基本事實時，可以通過合情推理得出相應結論，而結論的具體應用又是從一般結論到特殊對象的演繹推理過程。

要讓數(shù)學課堂具有思維的味道，教師必須善于從數(shù)學推理的角度分析教材、設計教學。如：教學四年級下冊的《三角形內角和》時，教師可以統(tǒng)籌安排教材內容，通過合情推理和演繹推理兩種思維方式，引導學生深入理解“任意三角形的內角和是180°”。

首先，按照編者設計意圖，運用合情推理中的歸納推理得出三角形內角和。即：先引導學生畫出不同類型的三角形，量一量，算一算，三角形3個內角的和是多少度。學生通過度量、計算，發(fā)現(xiàn)直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的內角和都大約是180°。接著，引導學生分別把自己手中的三角形的三個角剪下來，再拼一拼，看看拼成了一個什么角。學生拼后發(fā)現(xiàn)，不論是哪一種三角形，結果都能拼成一個平角（180°）。據(jù)此，運用歸納推理，就得出了“三角形的內角和是180°”的結論。

其次，在學完“四邊形的內角和是多少度”后，我們又可以運用演繹推理，進一步驗證“三角形的內角和是180°”的正確性。即：首先引導學生理解長方形內角和是360°；接著課件出示圖1，讓學生直觀看到，任意一個長方形都可以分割成兩個完全一樣的直角三角形，同理，兩個完全一樣的直角三角形一定能夠拼成一個長方形；然后，引導學生觀察分割成的直角三角形的內角和與長方形的內角和之間的關系，也就是長方形的內角和等于每個直角三角形內角和的2倍，所以直角三角形的內角和是360°÷2=180°；最后引導學生發(fā)現(xiàn)銳角三角形、鈍角三角形也能分割成兩個直角三角形（圖2、圖3），從而得出“銳角三角形、鈍角三角形的內角和也是180°”的結論。

三角形按角的特點可以分為直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形，它們的內角和都是180°，那么，“任意三角形的內角和是180°”的結論就成立了。這樣設計、組織教學，明顯是運用了演繹推理。

思考的味道

以核心問題為統(tǒng)領、以問題串為線索引導學生由淺入深地進行思考，在問題的解決過程中掌握基礎知識，獲得基本技能，感悟數(shù)學基本思想，積累思維活動經(jīng)驗，這樣的課堂必然彌漫著思考的味道。

教學四年級上冊《角的度量》，教師開課時創(chuàng)設了一個到游樂場游玩的情境，并提出“這里有三種角度不同的滑梯，你喜歡玩哪一種？為什么？”的問題。接著，動畫演示小朋友玩三種角度不同滑梯的過程，讓學生談談自己的看法。教師適時追問：“三種滑梯坡度的不同是由什么決定的？要想知道它們的角度，我們該怎么辦？”由此引出本節(jié)課的核心問題：“用什么去量角？量角器上有沒有角？”然后，用問題串引導學生邊思考邊學習，如“如果有角，角在哪里？”“用量角器怎么量角？”等。學生嘗試量角之后，教師問：“你還有其他問題嗎？”“有沒有”“在哪里”“怎么量”“還有嗎”不僅把學習置于數(shù)學思考和問題解決之中，讓學生在數(shù)學思考過程中體會到思維的樂趣，而且引發(fā)了他們新的思考。如：學生在學習過程中提出了“為什么要把量角器設計成半圓形？是否和發(fā)明地的文化有關？”等問題。

（作者單位：京山市孫橋鎮(zhèn)小學）