基于降維的雙基地MIMO雷達(dá)收發(fā)陣列互耦和幅相誤差校正算法

楊守國,李 勇,張昆輝,郭藝奪

(1.空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院,陜西 西安 710051;2.西北工業(yè)大學(xué)電子信息學(xué)院,陜西 西安 710072)

0 引 言

基于陣列參數(shù)模型的雙基地多輸入多輸出(multiple input multiple output,MIMO)雷達(dá)高分辨角度估計算法[1-3],以其優(yōu)良的高分辨性能受到了人們廣泛的關(guān)注。但高分辨算法龐大的運算量和對誤差的低魯棒性一直是限制其實際工程應(yīng)用的重要瓶頸。隨著高速數(shù)字信號處理器的不斷更新和發(fā)展,以及人們對并行快速算法和次最優(yōu)算法的深入研究,高分辨算法實時實現(xiàn)的問題得到了根本的緩解,但對陣列誤差校正和魯棒的角度估計算法的研究還很不完善。各種高分辨角度估計算法依賴對陣列參數(shù)模型準(zhǔn)確的先驗知識,如典型的多重信號分類(multiple signal classification,MUSIC)算法需要陣列可見區(qū)域(field of view,FOV)內(nèi)陣列流形的精確信息,旋轉(zhuǎn)不變子空間(estimation of signal parameters via rotational invariance techniques,ESPRIT)算法雖然避免了對陣列流形的校正,但需要兩個特性完全相同的子陣結(jié)構(gòu)。這些在實際應(yīng)用中往往是無法實現(xiàn)的,人們對陣列模型已有的先驗知識往往都有一定的偏差。另外,各種高分辨的空間譜估計算法對誤差的魯棒性能很差,對模型誤差往往很敏感[4-5],會導(dǎo)致角度估計性能隨模型的微小擾動而急劇下降。因此,在雙基地MIMO雷達(dá)的工程實際應(yīng)用中,簡單有效的陣列校正方法具有重要的意義。

現(xiàn)有的雙基地MIMO雷達(dá)陣列校正方法大多只考慮存在一種陣列誤差(陣元互耦、陣元幅相或陣元位置)的情況[6-12]。針對收發(fā)陣列陣元互耦問題,文獻(xiàn)[6]給出了一種基于ESPRIT的雙基地MIMO雷達(dá)多目標(biāo)定位及互耦自校正算法,該算法計算量小,無需任何譜峰搜索,但角度估計精度較差;文獻(xiàn)[7]利用兩個一維譜峰搜索首先估計出目標(biāo)的二維角度,在此基礎(chǔ)上得到收發(fā)陣列的互耦矩陣,從而實現(xiàn)陣列誤差的自校正;文獻(xiàn)[8]基于張量分析理論提出了一種實值子空間的目標(biāo)二維角度估計算法;同時,對于收發(fā)陣列陣元幅相誤差校正問題,文獻(xiàn)[9]提出了一種基于輔助陣元法(instrumental sensors method,ISM)的ESPRIT類(ESPRIT-like)算法,但該算法角度和幅相誤差矩陣估計性能均較差。為了解決這個問題,文獻(xiàn)[10]提出了一種基于傳播算子類法的聯(lián)合角度和幅相誤差估計方法;文獻(xiàn)[11]首先通過三線性分解算法來估計目標(biāo)的二維角度,然后用拉格朗日乘數(shù)法得到幅相誤差矩陣;文獻(xiàn)[12]提出了基于ESPRIT算法的角度和幅相誤差聯(lián)合估計方法等。然而,在工程實際應(yīng)用中,通常會遇到雷達(dá)收發(fā)陣列同時存在多種誤差形式,在這種情況下,上述的各種算法性能將會嚴(yán)重下降甚至完全失效。如何對存在兩種以上陣列誤差進(jìn)行校正是目前遇到的一個難點,相關(guān)的研究成果報道比較少。針對這個難題,考慮在收發(fā)陣列中增加輔助陣元來保證擾動參數(shù)估計可用的信息量,這是因為陣列擾動與方位有關(guān),要進(jìn)一步提高擾動參數(shù)估計可用的信息量,增加輔助信源的方法已不再有效?；谶@一思想,本文通過在雙基地MIMO雷達(dá)的收發(fā)端都引入若干個經(jīng)過精確校正的輔助陣元(假設(shè)這些陣元不存在互耦和幅相誤差),并利用子空間理論,提出了一種基于降維的目標(biāo)二維角度及收發(fā)陣列互耦和幅相誤差矩陣的聯(lián)合估計算法。該算法只需要參數(shù)的一維搜索,不存在參數(shù)聯(lián)合估計的局部收斂問題。

1 互耦和幅相誤差的陣列信號模型

考慮一個具有M個發(fā)射陣元和N個接收陣元的雙基地MIMO雷達(dá)系統(tǒng),其收發(fā)陣列都是陣元間距為半波長的均勻線陣。假設(shè)在陣列遠(yuǎn)場的同一距離單元,存在P個非相關(guān)的目標(biāo),它們的波離方向(direction of departure,DOD)和波達(dá)方向(direction of arrival,DOA)分別為φp和θp。記發(fā)射和接收陣列的互耦自由度分別為kt,kr(kt

Ct=toeplitz(ct,ct),Cr=toeplitz(cr,cr)

(1)

式中,ct表示Ct的循環(huán)矢量,ct=[ct1,…,ctkt,0,…,0],0<|ctkt|<…

為了克服收發(fā)陣列的互耦和幅相誤差帶來的影響,這里分別在接收陣列和發(fā)射陣列中引入kr和kt個經(jīng)過精確校正的陣元,其間距仍然是半波長,但是其與原收發(fā)陣列之間的距離足夠遠(yuǎn),使得其與原收發(fā)陣列的互耦效應(yīng)可以忽略不計,假設(shè)其與原陣列的間距分別為dt和dr。這里假設(shè)精確校正的陣元之間不存在陣元互耦誤差,且自身不存在幅相誤差。圖1給出了在原發(fā)射和接收陣列中分別增加輔助陣元后的雙基地MIMO雷達(dá)陣列模型。

圖1 增加輔助陣元后的雙基地MIMO雷達(dá)陣列模型Fig.1 Arrays model of bistatic MIMO radar by applying several instrumental sensors

根據(jù)以上陣列模型,接收的回波信號經(jīng)過匹配濾波器后,可以表示成

(2)

2 基于降維的聯(lián)合估計算法

2.1 目標(biāo)二維角度估計

為了利用文獻(xiàn)[13]中的定理1,通過矩陣運算可以將收發(fā)陣列的互耦和幅相誤差矩陣轉(zhuǎn)換成角度依賴的誤差矩陣,所以式(2)可進(jìn)一步寫成

(3)

因此,基于式(3)可以得到協(xié)方差矩陣為

R=E[x(t)xH(t)]=

(4)

對R做特征值分解,可得其噪聲子空間Un。利用子空間原理,可得

(5)

由于目標(biāo)的二維角度、互耦和幅相誤差系數(shù)都是未知的,要對其求解需要進(jìn)行多維參數(shù)搜索,所以計算量非常龐大,實際中是很難實現(xiàn)的,而且當(dāng)初始值與真值偏離較遠(yuǎn)時,會出現(xiàn)無法局部收斂的問題。為了避免多維參數(shù)搜索問題,這里采用降維的方法來進(jìn)行估計。

根據(jù)文獻(xiàn)[13]中的定理1,我們知道:對于一個任意的M×1維的復(fù)矢量X和任意的M×M維的復(fù)對角陣D,有

D·X=Q1(X)·d

(6)

式中,di=Dii(i=1,2,…,M)是M×1維的復(fù)矢量;[Q1(X)]ij=Xi·δij(i,j=1,2,…,M)是M×M維的復(fù)矩陣,

(7)

式中,

αt(φ)δt(φ)

(8)

將式(7)和式(8)代入式(5)中,并利用Kronecker積的性質(zhì),可得

δH(θ,φ)[IN+1?αt(φ)]HQ1(θ)[IN+1?αt(φ)]δ(θ,φ)=0

(9)

δ(θ,φ)=δr(θ)?δt(φ)

(10)

(11)

注意到對于不同的角度θ和φ,[IMr+1?αt(φ)]δ(θ,φ)不可能恒等于0。因此,式(9)成立的充要條件是當(dāng)(θ,φ)={(θ1,φ1);(θ2,φ2);…;(θP,φP)}時,矩陣Q1(θ)為奇異矩陣[14-15]?；诖嗽?可以得到

(12)

或

(13)

通過式(12)和式(13),可以得到目標(biāo)DOA的估計值。基于對DOA的估計,并觀察到δ(θ,φ)的第一個元素為1,于是可以通過求解下面帶約束條件的優(yōu)化問題來對目標(biāo)的DOD和δ(θ,φ)進(jìn)行估計,得

(14)

(15)

式中,e1=[1,0,…,0]T。

對式(14)應(yīng)用拉格朗日算子法求解,可得

p=1,2,…,P

(16)

通過對φ在(-90°,90°)范圍內(nèi)進(jìn)行譜峰搜索,即可獲得目標(biāo)DOD的估計值,實現(xiàn)二維角度的自動配對,然后利用估計的DOA和DOD就可進(jìn)一步得到δ(θ,φ)的估計值。

2.2 互耦和幅相誤差系數(shù)估計

(17)

式中,⊙表示的是Hadamard積。

由于估計的目標(biāo)DOA存在一定的誤差,根據(jù)式(17)可以建立優(yōu)化函數(shù)為

(18)

假設(shè)接收陣列互耦矩陣Cr是已知的,那么式(18)可進(jìn)一步寫成

(19)

利用文獻(xiàn)[13]中的定理3,進(jìn)而可將Θ寫成

(20)

T(Jn)=T1(Jn)+T2(Jn)

(21)

根據(jù)式(19),可以求得其最優(yōu)解為

(22)

將式(22)代入式(19),可得關(guān)于Cr的優(yōu)化問題,即

(23)

(24)

(25)

3 計算機(jī)仿真

仿真1所提降維算法對目標(biāo)二維角度進(jìn)行估計的結(jié)果

仿真過程中取信噪比(signal-to-noise ratio,SNR)為10 dB,快拍數(shù)設(shè)為256。圖2給出了采用所提降維算法對目標(biāo)二維角度進(jìn)行估計的結(jié)果,其為50次蒙特卡羅實驗的統(tǒng)計結(jié)果。從圖2可以看出:在收發(fā)陣列存在互耦及幅相誤差的條件下,所提算法不需要預(yù)知誤差系數(shù),就可以較為精確地獲得目標(biāo)DOD和DOA的估計值,并對估計的結(jié)果自動配對。因此,該算法可在收發(fā)陣列存在互耦及幅相誤差條件下實現(xiàn)對多目標(biāo)的精確定位。

圖2 目標(biāo)二維角度的估計結(jié)果Fig.2 Estimated result of two-dimensional angle for targets

仿真2算法二維角度估計的統(tǒng)計性能

圖3 目標(biāo)角度估計的RMSE隨SNR變化曲線Fig.3 Curve of RMSE of angle estimation versus SNR

從蒙特卡羅仿真實驗的結(jié)果可以看出,所提算法對目標(biāo)收發(fā)方位角進(jìn)行估計時,的確不需要任何互耦及幅相誤差信息,就可以獲得良好的估計性能。

仿真3收發(fā)陣列校正前后二維MUSIC算法的空間譜曲線及其等高線圖

本仿真主要考察所提算法的互耦及幅相誤差自校正結(jié)果。圖4給出了校正前收發(fā)陣列互耦和幅相誤差矩陣未知情況下的二維MUSIC算法的空間譜曲線及其對應(yīng)的等高線圖。圖5是自校正后的空間譜曲線及其對應(yīng)的等高線圖。

圖4 校正前互耦及幅相誤差矩陣未知的情況Fig.4 Situation of unknown mutual coupling and gain-phase error matrices before calibration

圖5 采用所提算法進(jìn)行互耦及幅相誤差自校正后情況Fig.5 Situation of mutual coupling and gain-phase error calibrated by the proposed algorithm

由圖4和圖5可以看出,校正前互耦及幅相誤差矩陣未知的情況下,二維MUSIC算法的空間譜變化平緩,在空間中目標(biāo)方位處無法形成譜峰,導(dǎo)致不能有效分辨這3個目標(biāo)。而采用所提算法校正后可在目標(biāo)收發(fā)方位處形成明顯而尖銳的譜峰,從而能較好的分辨這3個目標(biāo)。

4 結(jié) 論

本文提出了一種適用于雙基地MIMO雷達(dá)收發(fā)陣列互耦和幅相誤差校正的降維算法。該算法在原收發(fā)陣列中分別增加一些輔助接收和發(fā)射陣元,而這些輔助陣元都經(jīng)過精確校正,這樣在空間存在多個目標(biāo)的情況下,既可以對每個目標(biāo)的收發(fā)方位角,又可以對雷達(dá)收發(fā)陣列的互耦及幅相誤差矩陣進(jìn)行無模糊的聯(lián)合估計。該算法的優(yōu)點在于在聯(lián)合估計過程中,不需要提前知道收發(fā)陣列的誤差系數(shù)等信息,通過引入輔助陣元來避免通常自校正算法導(dǎo)致的參數(shù)估計模糊問題,而且算法運算量較小,只需兩個一維的譜峰搜索,不存在參數(shù)聯(lián)合估計的局部收斂問題。此外,該算法也不需要對第一個收發(fā)陣元的幅度和相位誤差做歸一化處理,從而使得誤差模型更加符合實際情況。