應用數(shù)學思維巧解生物難題

廣東

隨著高考改革的不斷深入，尤其是不久的將來高考將打破原有的文理分科模式，施行3+3自由選擇考試科目，預計會有許多學生在選擇一些理科科目（如生物）的同時也會搭配部分文科科目（如歷史、地理等），這樣學科間的界限可能會逐步淡化，這就要求學生在平時的學習和備考中應當具備跨學科思維。筆者通過實踐發(fā)現(xiàn)，生物教學中的一些問題偶爾運用數(shù)學的知識來解讀往往會收到更好的效果。

1.自由組合定律與乘法分配律

孟德爾自由組合定律是教學的重點，由此衍生出很多的遺傳概率問題更是歷年高考的難點之一。在多年的教學過程中，筆者發(fā)現(xiàn)數(shù)學中的乘法分配律與之有著較大相似性，利用乘法分配律可以將一些遺傳題變得簡單。公式原型（m+n）（p+q）= mp+mq+np+nq，變形后為（m∶n）（p∶q）=mp∶mq∶np∶nq。

例如兩株純合豌豆親本黃色圓粒（YYRR）和綠色皺粒（yyrr）雜交得到F1（YyRr），F(xiàn)1自交可將其拆分成Yy和Rr，這樣（YY+Yy）∶yy、（RR+Rr）∶rr的比例為（3∶1）（3∶1），根據(jù)乘法分配律的變形公式得出9∶3∶3∶1。這樣如果其中一對性狀存在顯性純合（即YY或RR）致死時，則F1自交比例為（3∶1）（2∶1）或（2∶1）（3∶1），根據(jù)乘法分配律展開為6∶3∶2∶1。如果兩對性狀同時存在顯性純合（即YY和RR）致死現(xiàn)象時，則F1自交比例為（2∶1）（2∶1），展開為4∶2∶2∶1。

2. DNA復制與“同角的互補角相等”

DNA在復制過程中嚴格遵循堿基互補配對原則，所以一個親代DNA分子復制后可以產(chǎn)生的兩個完全相同的子代DNA分子，如圖1親代DNA分子由a和d兩條鏈組成，復制過程中同時生成含a、b鏈和c、d鏈的兩個子代DNA分子。人教版教材必修2第54頁中寫到“復制結束后，一個DNA分子就形成了兩個完全相同的DNA分子”，從而保證了遺傳的穩(wěn)定性，但是教學中部分學生難以理解為什么這兩個子代DNA分子完全相同。

圖1 DNA半保留復制

為此，筆者并沒有直接講生物學的理論，而是列出了幾何學上的對頂角原理（如圖2）：因為∠1與∠2互補（即兩角之和為180°），∠3也與∠2互補，所以∠1=∠3；同理，又因為∠2、∠4都與∠3互補，所以∠2=∠4，即同角的補角總是相等。

圖2 補角與對頂角

用相同的原理，d鏈與a鏈互補，且b鏈也與a鏈互補，因此b、d鏈的堿基序列完全相同 ；同樣a、c鏈都與d鏈互補，則a、c的堿基序列完全相同，因此DNA（ab）與DNA（cd）完全相同。

3. 雜合子Bb的基因型頻率與完全平方公式

對于基因頻率的概念人教版教材必修2第115頁只是簡單地給出一句話來定義，“在一個種群的基因庫中，某個基因占全部等位基因數(shù)的比率”，然而各種教輔資料中出現(xiàn)的與基因頻率計算相關的習題卻常令初學者摸不著頭緒。例如：某二倍體生物種群含有一對等位基因B和b，其基因頻率分別為m和n，若該種群雌雄比例相等，且都能隨機交配產(chǎn)生后代，那么后代的基因型有多少種？所占比例是多少？

經(jīng)思考后學生們異口同聲地回答：F1代基因型有BB、bb和Bb，所占比例分別為m2、n2和mn。學生是怎么考慮的呢？配子B分為雌配子和雄配子，基因頻率為m，由于雌雄配子的結合是隨機的，所以出現(xiàn)BB受精卵的概率就為mm，即m2。同理bb和Bb為n2和mn。

其實學生對于純合子基因頻率的計算是正確的，而對于雜合子Bb基因頻率的計算則出現(xiàn)錯誤，聽了學生的回答筆者明白了學生犯錯的原因。為了計算出雜合子Bb的基因頻率，筆者沒有直接從抽象的遺傳學入手，而是切入到數(shù)學上的完全平方公式：

在基因庫中B的基因頻率為m，b的基因頻率為n；因為 m+n=1→（m+n）2=12→ m2+2mn+n2=1，F(xiàn)1代 BB和bb的基因型頻率分別為m2、n2，所以Bb=1-BB-bb=1- m2-n2=2mn。可為什么是2mn而不是mn呢？為了表述清楚，筆者采用了棋盤的模式向學生展示（如表1）：

表1

棋盤中共出現(xiàn)兩次“Bb（mn）”，一次表示B的精子與b的卵細胞結合生成的受精卵，其概率為mn，另一次表示B的卵細胞與b的精子隨機結合生成的受精卵，概率也為mn，這樣子代出現(xiàn)基因型Bb的概率為2mn。

4.植物激素與集合

植物激素是植物自身分泌的可以調節(jié)其生命活動的化學物質，主要包括生長素、赤霉素、細胞分裂素、脫落酸和乙烯5大類，但是由于植物激素的含量微少、不易保存且作用一次就被滅活，科學家就模仿這些激素人為地合成了一些化學物——植物生長調節(jié)劑，這些物質具有與植物激素相似的化學性質，但更加穩(wěn)定持久，如NAA（萘乙酸），2，4-D與生長素一樣具有兩重性，因此多用于制備除草劑；乙烯容易揮發(fā)，因而人們就合成一種塊狀物質——乙烯利，放在蘋果箱中能夠穩(wěn)定地釋放出氣體乙烯；還有日本科學家參照細胞分裂素而合成的一種能加速水果細胞分裂的膨大劑。由于這些調節(jié)劑具有與相應激素相同的效應，學生在練習中屢屢犯錯，比較常見的就是學生總是把NAA當成生長素的一種（可能由于生長素的英文名是IAA，二者很相似導致的）。為了幫助學生有效地理解植物激素與植物生長調節(jié)劑之間的區(qū)別，筆者想到了用集合來描述二者的關系（如圖3）。從圖中可以清楚地看出生長素、乙烯、脫落酸等是植物激素的子集，乙烯利、膨大劑、NAA等是植物生長調節(jié)劑的子集，而這兩大類本身并沒有交集，這樣就可以用學生熟悉的數(shù)學模型把抽象的生物學問題描述清楚。

圖3

5.種群“J”型曲線λ的取值范圍與增函數(shù)

人教版教材必修3第4章第2節(jié)介紹了“J”型曲線的數(shù)學模型：Nt=N0λt，其中t 為時間，N0為該種群的起始數(shù)量，Nt表示t年后的數(shù)量，λ表示種群數(shù)量是前一年的倍數(shù)。遺憾的是課本中并沒有告訴λ的取值范圍，所以筆者把這個問題帶到了課堂上，學生們不假思索地給出答案：大于0！為什么呢？學生普遍地認為“J”型曲線是在理想條件下發(fā)生的，種群數(shù)量每一年都在不斷地增長，所以λ必須是正數(shù)，所以認為λ的取值范圍大于0！真的是這樣嗎？若利用數(shù)學上的函數(shù)增減性來分析這個問題：假設t年的種群數(shù)量為Nt=N0λt，那么t年后的那一年就是t+1年，其種群數(shù)量就是Nt+1=N0λt+1。那么第t+1年的增長率為（Nt+1-Nt）/ Nt= （N0λt+1-N0λt）/N0λt=（λt+1-λt）/ λt=λ-1。由此可見“J”型曲線的增長率是一個不隨時間的變化而變化的恒定的值，即λ-1，由于“J”型曲線表示種群數(shù)量總是不斷增長的，所以λ-1＞0，即λ＞1，并非大于0。

6.限制酶對DNA分子的切割與幾何中的點、線段、圓

限制酶是基因工程中一類主要的工具酶，其主要作用是對DNA片段中特定的核苷酸序列之間的磷酸二酯鍵進行切割，以產(chǎn)生不同的黏性末端。考試中常以“一個DNA分子鏈上有n個限制酶的酶切位點，經(jīng)徹底酶促反應后可以得到多少個小的片段”的題目進行考查，這類題目如果能把DNA鏈視作一條線段，若干個酶切位點就好比線段上對應的n個點，那么這n個點就可以把線段分成n+1個小線段；有時候試題會把DNA鏈換成具有n個酶切位點的質粒，考查酶切反應，那樣可以把環(huán)狀的質?？闯梢粋€圓，該圓上具有n個點，從而將圓分割成n段?。ㄈ鐖D4）。這樣利用幾何模型的轉換可以把抽象的DNA轉化成學生熟悉的幾何圖像，運用初中學習的數(shù)學知識就可以很好地理解抽象的生物學知識。

圖4

對于生物教學上的難題如果教師只是盯著生物問題本身來給學生反復講解，可能學生仍然云里霧里，不得其解，正所謂“不識廬山真面目，只緣身在此山中”；而古語云：“他山之石可以攻玉”，如果教師偶爾跳出生物圈子，用跨學科（如數(shù)學）的思維來給學生解釋，往往會收到事半功倍的教學效果。