求解相對位移的三種方法比較

2018-12-07 05:46:00重慶楊天才

教學考試(高考物理) 2018年5期

重慶楊天才

兩個物體之間的相對運動是一種常見的運動形式，即某一物體對另一物體而言的相對位置的連續(xù)變動，如：追及問題、傳送帶問題、滑塊木板問題、碰撞問題等。筆者將引入相對位移公式來探究其中的典型模型，同時圖象和數學公式雖然都能反映物體的運動規(guī)律，但圖象比公式直觀、簡便、巧妙，有獨特的優(yōu)越性，特別是在分析解決兩個物體之間的相對運動時尤為突出。以下是三種方法的比較：

【例1】甲火車正以速率v1向前行駛，司機突然發(fā)現正前方同一軌道上距離為x處有另一火車乙，正以較小的速率v2沿同方向做勻速運動，甲車司機由發(fā)現情況到開始剎車所用時間(反應時間)為Δt，甲車在剎車過程中做勻減速運動。要使兩列火車不相撞，甲車剎車時的加速度a的大小至少應是多少？

【原解】兩車恰好不相撞時，二者速度相同，均為v2，設甲車由剎車到共速所用時間為t，加速度大小為a

x甲=x+x乙

x甲=v1Δt+v1t-at2/2

x乙=v2(Δt+t)

v2=v1-at

【相對位移法解析】反應時間內兩車勻速運動

由x相=v相t，甲相對乙的位移為x1=(v1-v2)Δt

甲車相對乙車的運動滿足

(v2-v2)2-(v1-v2)2=2(-a-0)(x-x1)

【圖象法解析】設甲車由剎車到共速所用時間為t，加速度大小為a，在同一坐標系內畫出甲、乙火車運動的v-t圖象，如圖1所示,由題意陰影部分面積在數值上等于相對位移，即

圖1

【例2】一水平的淺色長傳送帶上放置一煤塊(可視為質點)，煤塊與傳送帶之間的動摩擦因數為μ。初始時，傳送帶與煤塊都是靜止的。現讓傳送帶以恒定的加速度a0開始運動，當其速度達到v0后，便以此速度做勻速運動。經過一段時間，煤塊在傳送帶上留下了一段黑色痕跡后，煤塊相對于傳送帶不再滑動，求此黑色痕跡的長度。

【原解】根據“傳送帶上有黑色痕跡”可知，煤塊與傳送帶之間發(fā)生了相對滑動，煤塊的加速度a小于傳送帶的加速度a0。根據牛頓運動定律，可得a=μg

設經歷時間t，傳送帶由靜止開始加速到速度等于v0，煤塊則由靜止加速到v，有

v0=a0t

v=at

由于a

再經過時間t′，煤塊的速度由v增加到v0，有

v0=v+at′

此后，煤塊與傳送帶運動速度相同，相對于傳送帶不再滑動，不再產生新的痕跡。

設在煤塊的速度從0增加到v0的整個過程中，傳送帶和煤塊移動的距離分別為x0和x，有

傳送帶上留下的黑色痕跡的長度l=x0-x

【相對位移法解析】同理a=μg，設經歷時間t1，傳送帶由靜止開始加速到速度等于v0

設經歷時間t2，煤塊由靜止開始加速到速度等于v0

黑色痕跡的長度為

圖2

【圖象法解析】同理a=μg

設經歷時間t1，傳送帶由靜止開始加速到速度等于v0

設經歷時間t2，煤塊由靜止開始加速到速度等于v0

在同一坐標系內畫出傳送帶和煤塊運動的v-t圖象，如圖2所示

【例3】如圖3所示，一塊質量為M，長為L的均質板放在很長的光滑水平桌面上，板的左端有一質量為m的小物體(可視為質點)，物體上連接一根很長的細繩，細繩跨過位于桌邊的光滑定滑輪。某人以恒定的速率v向下拉繩，物體最多只能到達板的中點，而板的右端尚未到達桌邊定滑輪處。試求：

(1)物體剛到達板中點時板的位移；

(2)若板與桌面之間有摩擦，為使物體能達到板的右端，板與桌面之間的動摩擦因數的范圍是多少。

圖3

【原解】(1)m與M相對運動時，m勻速運動有vt=x1

M勻加速運動有vt/2=x2x1-x2=L/2

聯立以上三式得x2=L/2。

(2)設m與M之間摩擦因數為μ1，當桌面光滑時有

μ1mg=Ma1v2=2a1x2

如果板與桌面有摩擦，因為M與桌面摩擦因數越大，m越易從右端滑下，所以當m滑到M右端兩者剛好共速時摩擦因數最小，設為μ2

【相對位移法解析】(1)設板的加速度、位移分別為a、x板，則由題意有v2-02=2ax板

(2)設小物體和板間的動摩擦因數為μ

v2=2ax板

設板和地面間的動摩擦因數為μ′，同理，物體相對板滿足

(2)若小物體和板間的動摩擦因數為μ，

設板和地面間的動摩擦因數為μ′

同理板的位移與物體比板多運動的位移相等，即

x板=L

【例4】如圖5，在一光滑的水平面上有兩塊相同的木板B和C。重物A(視為質點)位于B的右端，A、B、C的質量相等?，FA和B以同一速度滑向靜止的C、B與C發(fā)生正碰。碰后B和C粘在一起運動，A在C上滑行，A與C有摩擦力。已知A滑到C的右端而未掉下。問：從B、C發(fā)生正碰到A剛移到C右端期間，C所走過的距離是C板長度的多少倍。

圖5

【原解】設A、B、C的質量均為m。碰撞前，A與B的共同速度為v0，碰撞后B與C的共同速度為v1。對B、C，由動量守恒定律得mv0=2mv1

設A滑至C的右端時，三者的共同速度為v2

對A、B、C，由動量守恒定律得2mv0=3mv2

設A與C的動摩擦因數為μ，從發(fā)生碰撞到A移至C的右端時C所走過的距離為x，對B、C由功能關系

設C的長度為l，對A由功能關系

在同一坐標系內畫出A和BC運動的v-t圖象如圖6所示

圖6

C所走過的距離與C板長度的比值為

【例5】一個質量為M的絕緣小車，靜止在光滑水平面上，在小車的光滑板面上放一質量為m、帶電荷量為+q的帶電小物塊(可視為質點)，小車質量與物塊質量之比M∶m=7∶1，物塊距小車右端擋板距離為L，小車車長為 1.5L，如圖7所示，現沿平行車身方向加一電場強度為E的水平向右的勻強電場，帶電小物塊由靜止開始向右運動，而后與小車右端擋板相碰，若碰后小車速度大小為碰撞前小物塊速度大小的1/4，并設小物塊滑動過程及其與小車相碰的過程中，小物塊帶電荷量不變，且碰撞時間極短、總能量不變。