桿—容模型構(gòu)建與分析策略

福建 鄭行軍

在含有電容器的電磁感應(yīng)電路中，由于導(dǎo)體桿做變速運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生變化的電流，使得電容器會(huì)發(fā)生充電或放電現(xiàn)象，呈現(xiàn)與純電阻電路不同的題類特征，分析過(guò)程較為復(fù)雜，其中對(duì)于電容器充放電過(guò)程的電流計(jì)算，學(xué)生更是無(wú)從下手。因此探究桿—容模型的習(xí)題編制，尋找其中的規(guī)律，對(duì)了解動(dòng)生類問(wèn)題在不同電路環(huán)境下的動(dòng)力學(xué)、功能關(guān)系特點(diǎn)有一定的幫助。

題型一、充電式電容器+無(wú)外力推動(dòng)式切割問(wèn)題

【例1】如圖1甲所示，水平面上有兩根足夠長(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌MN和PQ，兩導(dǎo)軌間距為l，電阻均可忽略不計(jì)。在M和P之間接有阻值為R的定值電阻，導(dǎo)體桿ab質(zhì)量為m、有效電阻為r，并與導(dǎo)軌接觸良好。整個(gè)裝置處于方向豎直向上磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，現(xiàn)給ab桿一個(gè)初速度v0，使桿向右運(yùn)動(dòng)。則

( )

B．通過(guò)電阻R的電流I隨時(shí)間t的變化率的絕對(duì)值逐漸增大

D．在C選項(xiàng)中，桿穩(wěn)定后a端電勢(shì)低于b端電勢(shì)

圖1

【答案】AC

【點(diǎn)評(píng)】將導(dǎo)軌之間的電阻改為電容器時(shí)，ab桿穩(wěn)定產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)等于電容器兩端的電壓，結(jié)合電容器的定義式，運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律或動(dòng)量定理，采用微元的思想即可求出ab桿穩(wěn)定后的速度。對(duì)于一般的電磁感應(yīng)問(wèn)題研究思路有兩條：一是從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下物體的平衡問(wèn)題；二是能量角度，重點(diǎn)是分析現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化，這是解題的關(guān)鍵。

題型二、充電式電容器+外力推動(dòng)式切割問(wèn)題

【例2】如圖2所示，處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的兩根足夠長(zhǎng)且電阻不計(jì)的平行金屬導(dǎo)軌相距L，導(dǎo)軌平面與水平面重合，左端用導(dǎo)線連接電容為C的電容器(能承受的電壓足夠大)。已知?jiǎng)驈?qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向豎直向上。一質(zhì)量為m、電阻不計(jì)的直金屬棒垂直放在兩導(dǎo)軌上，一根絕緣的、足夠長(zhǎng)的輕繩一端與棒的中點(diǎn)連接，另一端跨過(guò)定滑輪掛一質(zhì)量為m的重物?，F(xiàn)從靜止釋放重物并通過(guò)輕繩水平拖動(dòng)金屬棒運(yùn)動(dòng)(金屬棒始終與導(dǎo)軌垂直并保持良好接觸，不計(jì)滑輪質(zhì)量和所有摩擦)。求：

(1)若某時(shí)刻金屬棒速度為v，則電容器兩端的電壓多大；

(2)求證：金屬棒的運(yùn)動(dòng)是勻加速直線運(yùn)動(dòng)；

(3)當(dāng)重物從靜止開始下落一定高度時(shí)，電容器帶電荷量為Q，則這個(gè)高度h多大？

圖2

【解析】(1)電容器兩端的電壓等于導(dǎo)體棒切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，得U=E=BLv。

(2)設(shè)經(jīng)過(guò)很短的時(shí)間Δt時(shí)，金屬棒速度變化設(shè)為Δv，金屬棒切割磁感線產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)變化ΔE=BLΔv

電容器兩端電壓的變化ΔU=ΔE=BLΔv

電容器所帶電荷量變化為Δq=C·ΔU=CBLΔv

對(duì)物體m：mg-F拉=ma

對(duì)棒：F拉-BIL=ma

式中各量都是恒量，加速度保持不變，故金屬棒的運(yùn)動(dòng)是勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

【點(diǎn)評(píng)】本題為桿—容充電式問(wèn)題，綜合電磁感應(yīng)與力學(xué)的相關(guān)知識(shí)，解題關(guān)鍵在于運(yùn)用電流的定義式確定電容器充電電流，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)；根據(jù)牛頓第二定律或動(dòng)量定理推導(dǎo)證明；結(jié)合電荷量的公式進(jìn)行求解。

題型三、放電式電容器+動(dòng)桿切割問(wèn)題

【例3】某同學(xué)設(shè)計(jì)的“電磁彈射”裝置如圖3所示，足夠長(zhǎng)的光滑金屬導(dǎo)軌(電阻不計(jì))水平固定放置，間距為l，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的磁場(chǎng)垂直于軌道平面向下。在導(dǎo)軌左端跨接電容為C的電容器，另一質(zhì)量為m、電阻為R的導(dǎo)體棒垂直于導(dǎo)軌擺放。先斷開開關(guān)S，對(duì)電容器充電，使其帶電荷量為Q，再閉合開關(guān)S，關(guān)于該裝置及導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)情況下列說(shuō)法正確的是

( )

圖3

A．要使導(dǎo)體棒向右運(yùn)動(dòng)，電容器的b極板應(yīng)帶正電

C．導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，流過(guò)導(dǎo)體棒橫截面的電荷量為Q

【答案】B

【點(diǎn)評(píng)】開關(guān)閉合后在安培力作用下運(yùn)動(dòng)，由導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)方向可判定電流方向，進(jìn)而可知電容器兩極板電性；導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)時(shí)將形成與原電流相反的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，同時(shí)電容器兩端電壓降低，導(dǎo)體棒兩端電壓升高，當(dāng)二者相等時(shí)，導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)速度最大。該題的關(guān)鍵是判定最大速度，要明確其條件是感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等于電容器兩端的電壓，結(jié)合牛頓運(yùn)動(dòng)定律或動(dòng)量定理求解。

(1)從桿開始運(yùn)動(dòng)至到達(dá)P點(diǎn)F所做的功和電阻R上放出的熱量；

(2)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大??；

(3)越過(guò)P點(diǎn)后桿粘上物體(物體離開水平面)成為一體，并讓ab桿維持速度v0勻速運(yùn)動(dòng)一段足夠長(zhǎng)的時(shí)間后撤去外力，那么撤去外力后桿運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間才能停止運(yùn)動(dòng)？撤去外力后桿運(yùn)動(dòng)了多長(zhǎng)的距離？

圖4

(2)因?yàn)闂U無(wú)質(zhì)量，故拉力必然時(shí)刻等于安培力，有

μmgΔt-BlΔq=m|Δv|

Δq=CΔU=CBl|Δv|

其中|Δv|=v0-v

得CB2l2=m