微元觀點(diǎn)在電磁感應(yīng)中的應(yīng)用

廣東 周 璐 李 周

高中物理階段，盡管微積分的應(yīng)用并不廣泛，但“微元”“累加”“無限細(xì)分”等思想?yún)s有著相當(dāng)程度的應(yīng)用。在電磁感應(yīng)的應(yīng)用中，一些模型下的求解諸如：運(yùn)動(dòng)的速度、回路電荷量、回路的焦耳熱等問題必須考慮使用“微元觀點(diǎn)”。本文介紹微元觀點(diǎn)在電磁感應(yīng)中的典型應(yīng)用，并總結(jié)各種方法的適用范圍。

2018年高考數(shù)學(xué)《考試大綱》中明確指出：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(微積分的應(yīng)用)作為高考必考的二十一個(gè)章節(jié)之一，考綱中將其列為第十七章，系人教版教材選修2-2的第一章。2018年的《考試說明》強(qiáng)調(diào)考查導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義、運(yùn)算及應(yīng)用，重點(diǎn)考查利用，導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，研究方程和不等式，不要求學(xué)生具備靈活運(yùn)用的能力。因此，在高中物理的命題過程中，是不會涉及必須用微積分來解決的問題。然而，在高中物理課程中，有相當(dāng)一部分的物理概念的定義和公式的完整推導(dǎo)，比如加速度、瞬時(shí)速度、勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移、電磁感應(yīng)中感應(yīng)電動(dòng)勢等，其實(shí)是依賴于微積分的。

而在實(shí)際的問題講授或解釋中，比如變力做功，人船模型中的位移問題，動(dòng)量定理求解流體問題，電磁感應(yīng)中求解電荷量問題等，教師們會盡量利用“微元”“累加”等思想去呈現(xiàn)問題的邏輯。在近幾年的高考試題中，對此類思想的考查也有加強(qiáng)的趨勢。本文試圖從電磁感應(yīng)中幾道典型例題出發(fā)，展示微元的觀點(diǎn)在電磁感應(yīng)中幾種比較具有代表性的應(yīng)用，簡略總結(jié)相關(guān)方法的優(yōu)點(diǎn)及局限性。

一、微元觀點(diǎn)求解回路電荷量

【例1】如圖1所示，水平放置的間距為L的光滑金屬軌道間存在豎直向下的勻強(qiáng)磁場B，其左側(cè)連接一阻值為R的電阻，一質(zhì)量為m，電阻為r的導(dǎo)體棒垂直平放于軌道上，某時(shí)刻獲得一向右的初速度v0,軌道電阻忽略。求初始時(shí)刻到最終停下，經(jīng)過導(dǎo)體棒的電荷量q。

圖1

【分析】在電磁感應(yīng)中，求某過程經(jīng)過回路中電荷量q是一類常見的問題，一般求變化電流背景下電荷量q的主要方法是

此方法的關(guān)鍵是求解過程中回路磁通量的變化ΔΦ，顯然此題的運(yùn)動(dòng)既非勻速運(yùn)動(dòng)，也非勻變速運(yùn)動(dòng)，因此無法從運(yùn)動(dòng)學(xué)求解其位移，故此方法無法求解上述問題。

【解析】取向右運(yùn)動(dòng)為正方向，應(yīng)用“微元”理論，對運(yùn)動(dòng)過程無限細(xì)分，取其中一段時(shí)間為Δt運(yùn)動(dòng)微元，對導(dǎo)體棒用動(dòng)量定理可得：

-BILΔt=mΔv，其中Δq=IΔt①

對所有運(yùn)動(dòng)微元作同樣計(jì)算，然后累加

-BL∑Δq=m∑Δv②

可得-BLq=m(0-v0) ③

【總結(jié)】在電磁感應(yīng)所涉及的運(yùn)動(dòng)過程中，安培力的沖量可以和經(jīng)過回路的電荷量聯(lián)系起來-BILΔt=-BLΔq,若已知物體運(yùn)動(dòng)始末的動(dòng)量變化，即可以利用動(dòng)量定理求解電荷量q。

【變型】如圖2所示，水平放置的間距為L的光滑金屬軌道間存在豎直向下的勻強(qiáng)磁場B，其左側(cè)連接一電容為C的電容器，一質(zhì)量為m，電阻為r的導(dǎo)體棒垂直平放于軌道上，某時(shí)刻獲得一向右的初速度v0,軌道電阻忽略。求初始時(shí)刻到運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定的過程中，經(jīng)過導(dǎo)體棒的電荷量q。

圖2

【分析】從導(dǎo)體棒向右運(yùn)動(dòng)過程中，左側(cè)電容器電量增加，極板間電壓不斷升高，右側(cè)導(dǎo)體棒會受到向左的安培力而減速，所產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢不斷減小，當(dāng)左右兩側(cè)“電動(dòng)勢”相等時(shí)，充電停止，安培力消失，導(dǎo)體棒以此時(shí)勻速向右運(yùn)動(dòng)下去。

【解析】設(shè)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定時(shí)導(dǎo)體棒的速度為v，電容器上的帶電荷量為q,則

取向右為正方向，對運(yùn)動(dòng)過程無限細(xì)分，選其中一個(gè)運(yùn)動(dòng)微元，由動(dòng)量定理可得

-BILΔt=mΔv，其中Δq=IΔt②

對所有運(yùn)動(dòng)微元作同樣計(jì)算，然后累加

-BL∑Δq=m∑Δv③

可得-BLq=m(v-v0) ④

二、微元觀點(diǎn)求解變加速運(yùn)動(dòng)的速度

【例2】如圖3所示，光滑絕緣桌面上，一邊長為L，總電阻為R，質(zhì)量為m的單匝正方形線框以初速度v0向右運(yùn)動(dòng)，虛線右側(cè)有豎直向下的勻強(qiáng)磁場B，若線框能完全進(jìn)入磁場，則線框完全進(jìn)入磁場的速度v為多少？

圖3

【解析】取向右運(yùn)動(dòng)為正方向，對運(yùn)動(dòng)過程無限細(xì)分，取其中一運(yùn)動(dòng)微元，由動(dòng)量定理可得

-BILΔt=mΔv①

對所有運(yùn)動(dòng)微元作同樣計(jì)算，然后累加

【總結(jié)】在電磁感應(yīng)所涉及的運(yùn)動(dòng)中，關(guān)于安培力的沖量微元的變型，不僅有例1中提到的，可以關(guān)聯(lián)到回路中電荷量q，而且可以和運(yùn)動(dòng)的位移x有關(guān)聯(lián)。

三、微元觀點(diǎn)求解回路焦耳熱

(1)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，經(jīng)過回路的電荷量q。

(2)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，回路的焦耳熱Q。

圖4

【解析】(1)運(yùn)動(dòng)過程中，初始時(shí)刻E>BLv0，則導(dǎo)體棒應(yīng)向右加速運(yùn)動(dòng)，直到

此時(shí)回路中的電流消失，導(dǎo)體棒速度達(dá)到最大。

對運(yùn)動(dòng)過程無限細(xì)分，取其中一運(yùn)動(dòng)微元，由動(dòng)量定理可得

BILΔt=mΔv，其中Δq=IΔt②

對所有運(yùn)動(dòng)微元作同樣計(jì)算，然后累加

BL∑Δq=m∑Δv③

可得BLq=m(v-v0) ④

(2)回路的能量來源于電源，在時(shí)間微元Δt內(nèi)，電源消耗的總能量為

ΔE電=EIΔt=EΔq⑥

聯(lián)合④式，累加上式可得

電源消耗的能量，一部分轉(zhuǎn)化為回路的焦耳熱Q，另一部分轉(zhuǎn)化為導(dǎo)體棒的動(dòng)能，即

聯(lián)合①⑥⑦可解得

【問題延伸】在高中電磁感應(yīng)的學(xué)習(xí)中，許多資料書中或者教師在教學(xué)過程中都會提到一個(gè)結(jié)論：|WF安|=Q,即電磁感應(yīng)中，安培力做功的大小等于回路中的焦耳熱。于是在上述問題的課堂講解后，就有相當(dāng)多的同學(xué)提出，能否利用上述結(jié)論來解決上題中的第二問

【問題解釋】對于這個(gè)問題，需加以強(qiáng)調(diào)，因?yàn)樵陔姶鸥袘?yīng)章節(jié)的實(shí)際教學(xué)中，盡管教科書中沒有給出此結(jié)論，但在實(shí)際的解題過程中卻有大量用到，實(shí)際上此結(jié)論也有一定的實(shí)用范圍。我們先來看一下上述結(jié)論的證明過程

安培力做功微元ΔWF安=BILΔx，而Δx=vΔt

則ΔWF安=BLvΔq

總電阻為R的回路中，焦耳熱微元ΔQ=I2RΔt，而 Δq=IΔt

則ΔQ=IRΔq

四、方法的總結(jié)及局限性說明

在高中物理的課程設(shè)置中，盡管對于微積分的全面應(yīng)用能力不作要求，然而關(guān)于“微元”“無限細(xì)分”“累加”等思想仍有一定要求，特別是在高三總復(fù)習(xí)階段，有些電磁感應(yīng)中的題目，“微元”觀點(diǎn)的應(yīng)用幾乎是解決問題的唯一途徑。本文中，首先列舉電磁感應(yīng)中安培力沖量微元的兩種變式，以展示沖量微元與回路電荷量q和運(yùn)動(dòng)速度之間的關(guān)聯(lián)

-BILΔt=-BLΔq

1.本文對求解回路中電荷量q存在兩種常見方法做了簡單總結(jié)：

(1)利用上述變型再結(jié)合動(dòng)量定理

此種方法要求，知曉運(yùn)動(dòng)過程中物體的動(dòng)量的變化，而且，若物體除安培力外，還受到其他力作用，則此種方法可能會因缺少條件而難以達(dá)到目的。

(2)利用結(jié)論

此種方法要求回路中電動(dòng)勢必須為感應(yīng)電動(dòng)勢，若含有電容器或直流電源，此結(jié)論并不適用。

2.在電磁感應(yīng)用運(yùn)動(dòng)中，很多運(yùn)動(dòng)都是變加速度運(yùn)動(dòng)，因此位移、時(shí)間、速度等運(yùn)動(dòng)學(xué)信息難以求解，上述的變型為我們提供了一種簡單電磁感應(yīng)運(yùn)動(dòng)中位移與速度之間的關(guān)聯(lián)，但值得注意的是此種變型要求回路電動(dòng)勢E=BLv。

BILΔx=I2RΔt

3.在電磁感應(yīng)過程中，關(guān)于安培力做功大小和回路所產(chǎn)生熱量的關(guān)系，有資料書中給出了WF安=Q的結(jié)論，但從上述推導(dǎo)過程中可以見到，此結(jié)論成立的前提仍是回路電動(dòng)勢E=BLv。特別注意若回路中含有電容器，直流電源等，結(jié)論不可直接使用。