利用成長模型的自適應垂直坐標序列分析

王夢婷 ,聶建亮,郭春喜,田 婕,王 斌

(1.西安建筑科技大學 理學院 陜西 西安 710055 2.國家測繪地理信息局 大地測量數(shù)據(jù)處理中心,陜西 西安 710054)

地面沉降是近幾十年世界各國普遍發(fā)生的地質災害，對當?shù)厝藗兩钆c經(jīng)濟建設造成了巨大的損失.地面沉降點垂直運動軌跡隨時間要經(jīng)過發(fā)生、發(fā)展、成熟、穩(wěn)定4個階段，運動軌跡一般呈S曲線形式，常速度,常加速度等物理運動模型雖然能夠預報較短時間的平穩(wěn)載體運動狀態(tài)，但并未考慮地質等因素影響，所以長時間預報精度可能不高.地質學者常利用Weibull等成長模型描述地面沉降過程，充分考慮沉降區(qū)域地質條件與水文因素，利用最小二乘等擬合方法整體計算成長模型參數(shù)，有效反演軟地基等地面沉降全過程；考慮到Gompertz模型與Logistic模型需要足夠的施工期或S曲線反彎點以前的沉降觀測樣本，S曲線反轉點沉降值與最終沉降相對不變，Weibull成長模型克服了Gompertz模型與Logistic模型的缺陷，削弱了實測樣本對反彎點的依賴，提高了地面沉降的預報精度[1-3].成長模型作為地面沉降預報模型，能夠改善濾波在地面沉降預報中的地質背景基礎，提高濾波解的估計精度，給出合理的地面沉降機理詮釋.另外由于數(shù)據(jù)處理策略、衛(wèi)星軌道、環(huán)境因素等影響，垂向坐標序列中存在季節(jié)性、非季節(jié)性的有色噪聲，國內(nèi)外學者采用誤差模型改正與自適應濾波方法削弱有色噪聲影響[4-6].如Dong等計算了水體、大氣等質量負荷造成的地殼彈性變形[5-7]；楊元喜等學者提出了自適應濾波算法，構造自適應因子調整預測值協(xié)方差矩陣與觀測噪聲協(xié)方差矩陣的比例關系，提高濾波解的可靠性[8-10].鑒于以上研究基礎，提出基于地面沉降成長模型的自適應濾波算法，利用成長模型作為濾波動力學模型，采用預測殘差構造自適應因子，實時調整狀態(tài)方程與觀測方程的比例關系，進一步提高地面沉降監(jiān)測點的濾波解精度.

1 動力學模型

目前，Kalman濾波的動力學模型有常速度(CV)模型、常加速(CA)模型、一階時間相關(Singer)模型和“當前”統(tǒng)計模型等多種構造形式[10-11].對于變化緩慢的地面沉降監(jiān)測點的垂直運動，常速度、常加速等模型不能較好地描繪地面沉降長期運動規(guī)律，而Gompertz、Logistic、Weibull成長模型是地質學者預測地面沉降全過程的常用模型，能夠更真實地反映監(jiān)測點的垂直運動曲線[1-3].

1.1 成長模型

Gompertz、Logistic成長模型雖能反映監(jiān)測的總體S形沉降過程，在反彎點處與最終沉降的比值為常數(shù)，另外這兩個模型要求在沉降開始階段或S反彎點前需要大量的觀測樣本.而Weibull成長模型能夠克服Gompertz、Logistic成長模型的不足，能夠真實反映監(jiān)測點的瞬時垂直方向的有界變化.

Gompertz成長模型為[1]

x(t)=aexp[-hexp(-bt)]

(1)

其中：a、b、h為待定參數(shù)；t為時間.

Logistic成長模型為

(2)

其中，a、b、h為待定參數(shù)，且均為非負.

Weibull成長模型為

x(t)=a-(a-b)exp[-(ht)c]

(3)

式中，a、b、c、h為待定參數(shù)，a為最終沉降量，b為初始沉降量，h為地基加荷因子，c為綜合影響因子，且a、b、h非負.當a>b時，c>0，反之，c<0.

1.2 濾波動力學模型

考慮沉降點加速度數(shù)值較小，將加速度作為不變值.則第k歷元的Weibull成長模型向量表示簡化為

(4)

預報值對應協(xié)方差矩陣為

(5)

其中，ΣWk計算可以參考文獻[10-11].

2 自適應因子構造

地面沉降監(jiān)測點一般垂直運動較緩慢，多類因素影響導致運動具有不確定性.Weibull成長模型能夠較可靠地描述地面沉降監(jiān)測點的運動狀態(tài)，提高自適應濾波動力學模型的預測值的精度.考慮垂直運動為一維運動，而待估參數(shù)為位置、速度、加速度，最小二乘方法單歷元秩虧，無法利用狀態(tài)不符值構造自適應因子的誤差統(tǒng)計量.因此，根據(jù)預測殘差構造模型誤差統(tǒng)計量[2,8]

(6)

其中，tr(·)表示跡.

位置的自適應因子采用兩段函數(shù)構造[10,12].

(7)

式中，k0為閾值，一般取值3.0～8.5.

而速度、加速度為間接可測參數(shù)[13]，無法通過觀測方程獲得估計值，此處，自適應因子都取1.0.

3 基于成長模型的自適應濾波

第k歷元自適應Kalman濾波解為[10]

(8)

(9)

其中，αk為自適應因子矩陣， 即

第k歷元自適應Kalman濾波殘差為

(10)

4 算例分析

山東省西北部與黃河三角洲是地面沉降嚴重區(qū)域，目前德州、廣饒、齊河地區(qū)沉降嚴重，造成了巨大的經(jīng)濟損失.算例采用沉降嚴重區(qū)域德州(DEZH)、廣饒(GURA)、齊河(QHRS)連續(xù)運行參考站的2010～2015年垂向坐標序列驗證自適應濾波的可靠性，其中數(shù)據(jù)采樣間隔為1d.在計算過程中，首先利用最小二乘方法獲得這些測站的年周期、半年周期等周期項參數(shù)，并在垂向坐標序列中扣除其影響；利用垂向坐標序列獲得成長模型參數(shù)；最終利用自適應濾波處理“干凈”的垂向坐標序列，自適應因子采用預測殘差構造誤差統(tǒng)計量.另外速度譜密度取10-3cm2/s2，觀測值協(xié)方差為10-3cm2.算例采用9種方案：

方案1：Gompertz成長模型；

方案2：標準Kalman濾波，動力學模型采用Gompertz成長模型；

方案3：自適應Kalman濾波，動力學模型采用Gompertz成長模型；

方案4：Logistic成長模型；

方案5：標準Kalman濾波，動力學模型采用Logistic成長模型；

方案6：自適應Kalman濾波，動力學模型采用Logistic成長模型；

方案7：Weibull成長模型；

方案8：標準Kalman濾波，動力學模型采用Weibull成長模型；

方案9：自適應Kalman濾波，動力學模型采用Weibull成長模型.

統(tǒng)計三個連續(xù)運行參考站的不同方案殘差序列，得到各方案RMS，統(tǒng)計于表1，各方案誤差曲線繪于圖1—圖9.

(11)

表1 各方案RMS統(tǒng)計結果Tab.1 The error statistics of the coordinate components

由以上計算結果可以看出：

(1)廣饒、德州、齊河站的地面沉降災害基本上處于成長、成熟階段，Gompertz、Logistic、Weibull成長模型都能夠反映這三個連續(xù)運行站的垂直運動規(guī)律，Weibull成長模型預報精度優(yōu)于Gompertz、Logistic成長模型.

(2)與方案1、4、7相比，方案2、5、8精度有一定程度提高.這是因為在成長模型作為預報模型基礎上，Kalman濾波利用觀測信息，進一步修正預報值結果，提高濾波解的可靠性.

(3)三個站的自適應濾波與成長模型相比，精度平均提高約30%，最大提高幅度51%；三個站的自適應濾波與標準Kalman濾波相比，精度平均提高約25%，最大提高幅度38%.這是因為根據(jù)預測殘差構造誤差統(tǒng)計量，采用兩段函數(shù)構造自適應因子，利用自適應因子合理調整Kalman濾波的動力學模型與觀測值對濾波解的貢獻，進一步提高濾波解的精度與可靠性.

圖1 德州站地面沉降成長模型誤差曲線Fig.1 The error of grown models in DEZH

圖2 德州站標準Kalman濾波誤差曲線Fig.2 The error of Kalman filtering in

圖3 德州站自適應Kalman濾波誤差曲線Fig.3 The error of adaptive Kalman filtering in

圖4 廣饒站地面沉降成長模型誤差曲線Fig.4 The error of grown models in DEZH

圖5 廣饒站標準Kalman濾波誤差曲線Fig.5 The error of Kalman filtering in GURA

圖6 廣饒站自適應Kalman濾波誤差曲線Fig.6 The error of adaptive Kalman filtering in GURA

圖7 齊河站地面沉降成長模型誤差曲線Fig.7 The error of grown models in DEZH

圖8 齊河站標準Kalman濾波誤差曲線Fig.8 The error of Kalman filtering in QHRS

圖9 齊河站自適應Kalman濾波誤差曲線Fig9 The error of adaptive Kalman filtering in QHRS

5 結語

連續(xù)運行參考站在地面沉降中發(fā)揮著不可替代作用，實時監(jiān)測地面點的垂直運動變化.地面沉降成長模型能夠有效描述連續(xù)運行參考站的沉降全過程；而Kalman濾波將地面沉降成長模型作為動力學模型，能夠提高地面點垂直運動的可靠性；自適應Kalman濾波利用自適應因子調整動力學模型與觀測值之間的關系，進一步提高地面沉降監(jiān)測點垂直坐標序列的自適應濾波解精度.另外，地面沉降點受季節(jié)等因素影響，垂直坐標序列中存在有色噪聲，這削弱了常用濾波估計結果的精度，降低了地面沉降速度的可靠性.因此，研究坐標序列的有色噪聲成分及誤差改正模型是下一步的工作.

致謝：感謝山東國土測繪院與陸態(tài)網(wǎng)絡中心提供的試驗觀測數(shù)據(jù).