橫觀各向同性雙參數(shù)地基上矩形薄板的彎曲

何芳社，悅 峰

(西安建筑科技大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710055)

研究結(jié)構(gòu)物基礎(chǔ)與支撐土介質(zhì)間的相互作用對(duì)結(jié)構(gòu)工程和巖土工程均具有重要意義.隨著建設(shè)項(xiàng)目的不斷增多，出現(xiàn)了許多梁狀、板狀和殼型的結(jié)構(gòu)物，相應(yīng)地對(duì)于基礎(chǔ)與地基提出更高的標(biāo)準(zhǔn)和要求.特別是基礎(chǔ)工程具有隱蔽性，對(duì)于結(jié)構(gòu)的安全和經(jīng)濟(jì)方面會(huì)有重大的影響；工程中質(zhì)量事故有一部分出現(xiàn)在基礎(chǔ)與地基中，不但損失巨大，而且難以采取合適的措施來(lái)加固.學(xué)術(shù)界和工程界致力于如何將這些工程實(shí)例合理地簡(jiǎn)化為相應(yīng)的彈性地基上的梁、板、殼的問(wèn)題，并進(jìn)行更加準(zhǔn)確且簡(jiǎn)便的計(jì)算.針對(duì)彈性地基上梁、板、殼的模型，國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者都進(jìn)行了許多富有成果的工作.比如 Vallabhan C V G等對(duì)雙參數(shù)地基上板、梁的能量和參數(shù)及內(nèi)力、邊界條件進(jìn)行了求解說(shuō)明[1].Yang用有限元法分析雙參數(shù)地基時(shí)指出還沒(méi)有方法可以計(jì)算參數(shù)值[2].Jones和Xenophontos推導(dǎo)出了雙參數(shù)地基中參數(shù)和表面變形的聯(lián)系[3].Nogami和Lam分析了地基板的雙參數(shù)模型，然而此方法僅限于平面應(yīng)變[4].Celep Z分析研究了無(wú)拉力情形下彈性地基上矩形板的彎曲[5].國(guó)內(nèi)方面，王克林、黃義[6]和張福范、黃曉梅[7]用疊加法分析探討了地基上矩形板體的彎曲；陳叔陶等根據(jù)變分原理通過(guò)Ritz法分析求解了彈性地基上板體的彎曲[8]；閻紅梅、崔維成等引入新?lián)隙群瘮?shù)，通過(guò)伽遼金法對(duì)彈性地基上矩形板進(jìn)行了研究[9].

前人對(duì)地基板經(jīng)典問(wèn)題的研究存在有待深入探討的方面.比如現(xiàn)有的彈性地基理論體系認(rèn)為介質(zhì)是連續(xù)、線彈性、均勻和各向同性的，且服從小變形假設(shè).對(duì)應(yīng)的彈性地基模型可總結(jié)為：文克爾模型、雙參數(shù)模型和彈性半空間模型[10].但試驗(yàn)表明許多地基的性質(zhì)更接近于橫觀各向同性.鑒于目前對(duì)橫觀各向同性地基上矩形板的研究并不充分，本文考慮地基橫觀各向同性，研究雙參數(shù)地基上矩形板的彎曲問(wèn)題，對(duì)地基與矩形薄板的相互作用進(jìn)行系統(tǒng)的分析.首先利用最小勢(shì)能原理，經(jīng)過(guò)變分運(yùn)算，建立了橫觀各向同性彈性地基上板的控制微分方程和邊界條件，該結(jié)果可退化到經(jīng)典的雙參數(shù)彈性地基板理論.綜上所述，本文的創(chuàng)新之處在于：從能量角度出發(fā)，考慮實(shí)際土體的橫觀各向同性的屬性，改進(jìn)和豐富了符拉索夫雙參數(shù)彈性地基模型，具有一定的學(xué)術(shù)與應(yīng)用價(jià)值.為驗(yàn)證理論正確性，最后利用里茲法進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，效果較好.

1 系統(tǒng)形變勢(shì)能

將地基—板作為一個(gè)整體，該系統(tǒng)的總勢(shì)能泛函[11-12]為

U=UP+US+Uq

(1)

式中，各物理量依次為總勢(shì)能，板的形變勢(shì)能，地基的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能.

根據(jù)彈性薄板理論[13]，得板的形變勢(shì)能

(2)

根據(jù)彈性理論中彈性體的形變勢(shì)能，有

(3)

假定地基的水平位移分量us=0,vs=0，豎直位移分量ws(x,y,z)=w(x,y)φ(z)，φ(z)為衰減函數(shù)，且滿足條件φ(0)=1,φ(H)=0.令E1,μ1為各向同性面內(nèi)變形模量和泊松比，E2,μ2為各向同性面法線方向變形模量和泊松比，G為與各向同性面垂直的平面內(nèi)剪切模量.則橫觀各向同性彈性地基的本構(gòu)關(guān)系和幾何關(guān)系[14][15]為

(4)

其中的Cij是地基土的物性常數(shù)，與工程常用的材料彈性常數(shù)有如下關(guān)系

(5b)

(6a)

(6b)

將上面(4)和(6)式代入(3)式，得地基的形變勢(shì)能

(7)

其中：VS為地基體積區(qū)域；ΩS為地基表面區(qū)域.

(8)

外力勢(shì)能為

(9)

2 控制方程和邊界條件

由最小勢(shì)能原理，經(jīng)過(guò)變分，可得板控制方程

D4w=q-kw+Gp2w

(10)

及板外地基控制方程

-kws+Gp2ws=0

(11)

圖1 彈性地基板示意圖Fig.1 Element of plate and foundation

α2=k/Gp(12)

表1 地基撓度的表達(dá)式Tab.1 Deflection expression of foundation

經(jīng)過(guò)計(jì)算，并注意到變分項(xiàng)的任意性，可得關(guān)于x=a邊和(a,b)角點(diǎn)的邊界條件如下

若邊界為固定邊，則撓度與轉(zhuǎn)角為零，即

(13)

若邊界為簡(jiǎn)支邊，則撓度與彎矩為零，即

(14)

若邊界情況為自由邊，得

(15)

Mx|x=a=0

(16)

當(dāng)(a,b)為自由角點(diǎn)時(shí)，則δw為零，得

(17)

(18)

3 算例

采用里茲法對(duì)彈性地基上矩形薄板進(jìn)行計(jì)算.對(duì)于四邊自由的邊界條件而言，可以選取如下的撓曲試函數(shù)

(19)

由下列各式

20)

(21)

分別整理后可以得到如下系列方程組，即

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

可見(jiàn)未知數(shù)的數(shù)目和方程的個(gè)數(shù)相等，問(wèn)題可解.以下算例中均取m=50,n=50.

例1 取板的彈性模量E=1.96×104MPa，泊松比為μ=0.167，地基的彈性模量為Es=39.2 MPa，泊松比為μs=0.4，深度為H=0.6 m，地基參數(shù)γ=1.55，板寬a=1 m，板厚h=0.04 m，集中力P=98 kN，均布荷載q=9.8 kN/m2.

圖2是依據(jù)本法繪制的雙參數(shù)地基上矩形薄板的撓度圖，圖3是彎矩圖，宏觀定性看出圖形的趨勢(shì)走向及數(shù)值大小與實(shí)際符合.表2中第一行是雙參數(shù)地基矩形薄板的精確解[18-19]，第二行是本文由橫觀各向同性彈性地基退化為各向同性彈性地基的計(jì)算結(jié)果.微觀定量進(jìn)行比較，兩者結(jié)果吻合良好，百分誤差都在可接受的較小范圍之內(nèi)，證明了分析結(jié)果的可靠性.

圖2 矩形板的撓度分布Fig.2 Deflection distribution of rectangular plate

圖3 矩形板的彎矩分布Fig.3 Bending moment of rectangular plate

表2 例1中板的撓度值/mTab.2 Deflection of rectangle plate in Example 1

例2 矩形薄板的物理和幾何參數(shù)，荷載情況同例1，橫觀各向同性地基參數(shù)選取如下，Es1=39.2 MPa,Es2=29.4 MPa,μ1=0.4,μ2=0.4,G=14 MPa,計(jì)算結(jié)果見(jiàn)文后的表3.

由于現(xiàn)有文獻(xiàn)中沒(méi)有關(guān)于橫觀各向同性雙參數(shù)地基上矩形薄板受橫向荷載作用的彎曲撓度，所以本算例只與退化后的各向同性雙參數(shù)地基上矩形薄板的結(jié)果相比較.

首先，經(jīng)過(guò)編程運(yùn)算，橫觀各向同性雙參數(shù)地基上受橫向荷載作用的矩形薄板的變形圖與圖2相似，也就是圖形的趨勢(shì)走向及數(shù)值大小與實(shí)際吻合.其次，定量地分析，表3中第一行是本文各向同性雙參數(shù)地基板的撓度，第二行是本文橫觀各向同性雙參數(shù)地基板的計(jì)算結(jié)果.經(jīng)過(guò)比較，同性地基情況解略大于橫觀各向同性地基情況的解.定性分析原因在于地基土體假設(shè)為橫觀各向同性體，相比于各向同性體而言，土體的本構(gòu)關(guān)系有所不同；也就是在對(duì)橫觀各向同性地基假定彈性常數(shù)時(shí)，彈性模量比各向同性地基土的較小，從而導(dǎo)致橫觀各同性雙參數(shù)的地基參數(shù)k變大，所以板與地基的變形局部變小.最后，值得一提的是，關(guān)于結(jié)果符合工程實(shí)際的討論中，本文只在理論上給出證明，即采用更接近工程實(shí)際情況的橫觀各向同性地基來(lái)推導(dǎo)計(jì)算，核心在于其本構(gòu)關(guān)系不同于經(jīng)典的各向同性雙參數(shù)地基；缺少通過(guò)原位試驗(yàn)來(lái)測(cè)量矩形薄板受載后的變形結(jié)果，或者利用有限元軟件來(lái)模擬計(jì)算，這將是之后科研的方向和目標(biāo).

另外，參考文獻(xiàn)[18-19]中采用了一些舊的單位制，為了既可方便地與已有結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，同時(shí)又遵循國(guó)標(biāo)單位制，現(xiàn)給出基本的單位換算關(guān)系1 t=103kg,1 Pa=1 N/m2,g=9.8 m/s2

表3 例2中板的撓度值(m)Tab.3 Deflection of rectangle plate in Example 2

4 結(jié)論

分析了橫觀各向同性雙參數(shù)彈性地基上矩形薄板的彎曲問(wèn)題，主要工作為：考慮地基土體的橫觀各向同性，推導(dǎo)出地基—板系統(tǒng)的形變勢(shì)能，利用最小勢(shì)能原理，通過(guò)變分運(yùn)算，建立了彈性地基上矩形薄板彎曲的控制方程和邊界條件；然后選取撓度試函數(shù)，采用里茲法求解四邊自由矩形板受橫向荷載的彎曲撓度.得到如下幾點(diǎn)結(jié)論：

(1)從能量方面出發(fā)，利用最小勢(shì)能原理推導(dǎo)出橫觀各向同性雙參數(shù)地基上矩形薄板彎曲的控制方程和邊界及角點(diǎn)條件.考慮實(shí)際地基土體的橫觀各向同性，改進(jìn)和豐富了符拉索夫雙參數(shù)彈性地基模型，可促進(jìn)其更加廣泛地應(yīng)用.

(2)橫觀各向同性雙參數(shù)彈性地基模型，與Vlasov雙參數(shù)彈性地基模型一樣，用兩個(gè)獨(dú)立參數(shù)表示抗壓和抗剪性能.主要區(qū)別在于考慮地基土體橫觀各向同性時(shí)，由土體本構(gòu)關(guān)系不同而導(dǎo)致的雙參數(shù)具體計(jì)算表達(dá)形式不同.

(3)選取合適的撓度函數(shù)，將地基上板受橫向荷載作用的控制微分方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組的求解問(wèn)題.算例分為退化成各向同性雙參數(shù)和橫觀各向同性雙參數(shù)地基兩種.模型退化過(guò)程中，通過(guò)與其他文獻(xiàn)的計(jì)算結(jié)果對(duì)比，兩者吻合良好，證明了本文理論推導(dǎo)和計(jì)算結(jié)果的正確性.

(4)結(jié)果表明，考慮地基土體的橫觀各向同性屬性時(shí)，矩形板和地基的變形會(huì)與各向同性彈性地基的情況不同，即地基模型的假設(shè)簡(jiǎn)化會(huì)對(duì)板的彎曲產(chǎn)生一定的影響，所受影響的大小由選取的橫觀各向同性地基土體的物性常數(shù)來(lái)決定.

總之，本文對(duì)于橫觀各向同性雙參數(shù)地基上四邊自由矩形薄板的彎曲問(wèn)題進(jìn)行了相關(guān)研究.修正的模型和方法具有一定的創(chuàng)新性，相關(guān)成果和結(jié)論具有重要的理論意義，同時(shí)對(duì)于實(shí)際工程問(wèn)題的解決和設(shè)計(jì)仿真軟件的開(kāi)發(fā)等方面均具有指導(dǎo)價(jià)值和參考作用.